利用數學思想方法解決方程類問題

吳葉

一、整體思想

整體思想方法在解方程（組）等方面有廣泛的應用，整體代人、整體運算、整體設元、整體處理等都是整體思想方法在解數學問題中的具體體現(xiàn)。

例1 閱讀下面的材料，解決問題：

解方程x4_5x2+4=0。這是一個一元四次方程，根據該方程的特點，它的解法通常是：

設X2=y，那么X4=y2，于是原方程可變?yōu)閥2-5y+4=0，解得Y1=l，Y2=4。

當y=l時，X2=1，∴x=+l;

當y=4時，x2=4，∴x=+2;

∴原方程有四個根：x1=l，x2=-1，X3=2，X4=-2。

請參照例題，解方程（X2+X）2-4.（X2+X）-12 =0。

【分析】根據閱讀材料中的例子和換元法可以解答本題。

解：設x2+x=y，原方程可變?yōu)閥2—4y-12=0，解得y.=6，Y2=-2。當y=6時，X2+X =6，得xi=-3，X2=2;當y=-2時，X2+x=-2，得方程x2+x+2=0，∵△=b2-4ac=12-4X2=_7<0，此時方程無實根。所以原方程有兩個根：x1=-3，X2=2。

【點評】本題考查用換元法解一元二次方程，解答本題的關鍵是讀懂材料，明確題意。

二、轉化思想

解一元一次方程，根據等式的基本性質，把方程轉化為x=a的形式;解二元一次方程組，是把它轉化為一元一次方程來解;類似地，解三元一次方程組，是把它轉化為二元一次方程組來解;解一元二次方程，是把它轉化為兩個一元一次方程來解。各類方程的解法不盡相同，但是它們有一個共同的基本數學思想，那就是轉化，把未知轉化為已知。

例2 一元三次方程x3+x2-2x=0，可以通過因式分解把它轉化為x（x2+x-2）=0，解方程x=0和X2+X-2=0，可得方程x3+x2-2x=0的解。

（1）問題：方程x3+x2-2x=0的解是x1=0，X2=____，X3=____;

（2）拓展：用轉化思想求方程

的解。

【分析】（1）把左邊的多項式進行因式分解，就達到了轉化的目的，然后求解;

（2）對方程兩邊進行平方，就能把無理方程轉化為整式方程，但要注意，由于出現(xiàn)了二次根號，所以要進行驗根。

解：（ l）x3+x2_2x=0，x（x2+x_2）=0，x（x+2）（x-l）=0，所以x=0或x+2 =0或x-l=0，∴x1=0，X2=-2，X3=1.

（2）? ，方程的兩邊平方，得2x+3 =X2，

即x2-2x-3=0，（x-3）（x+l）=0，

∴x-3=0或x+l=0，

∴x1=3，X2=-1。

當x=-l時，

=l，1≠-1，所以-1不是原方程的解。所以方程

的解是x=3。

【點評】本題表面上看是考查一元二次方程的解法，實際上主要考查轉化的思想方法。特別注意，我們在遇到解無理方程時需要驗根。

三、分類思想

分類討論思想是中學階段必須掌握的重要思想方法，在中考中經常會出現(xiàn)帶有這種思想的考題。

例3 已知用2輛A型車和l輛B型車載滿貨物一次可運貨10噸;用l輛A型車和2輛B型車載滿貨物一次可運貨11噸。某物流公司現(xiàn)有31噸貨物，計劃同時租用A型車a輛，B型車b輛，一次運完，且恰好每輛車都載滿貨物。

根據以上信息，解答下列問題：

（1）1輛A型車和l輛B型車都載滿貨物一次可分別運貨多少噸？

（2）請你幫該物流公司設計租車方案：

（3）若A型車每輛需租金100元/次，B型車每輛需租金120元/次。請選出最省錢的租車方案，并求出最少租車費。

【分析】（1）根據“用2輛A型車和1輛B型車載滿貨物一次可運貨10噸”和“用l輛A型車和2輛B型車載滿貨物一次可運貨11噸”可以分別列出方程，組成方程組后進行求解;

（2）由題意理解出：3a+4b=31，解此二元一次方程，求出其整數解，得到三種租車方案;

（3）根據（2）中所求方案，利用A型車每輛需租金100元/次，B型車每輛需租金120元欣，分別求出租車費用即可。

解：（1）設每輛A型車、B型車都裝滿貨物一次可以分別運貨x噸、y噸，依題意列方程組得：

答：1輛A型車裝滿貨物一次可運3噸，1輛B型車裝滿貨物一次可運4噸。

（2）結合題意和（1）得：3a+4b=

答：有3種租車方案。A型車9輛，B型車l輛;A型車5輛，B型車4輛;A型車1輛，B型車7輛。

（3）∵A型車每輛需租金100元/次，B型車每輛需租金120元欣，

∴方案一需租金：9xlOO+lx120=1020（元）;方案二需租金：5x100+4x120=980（元）;方案三需租金：lxl00+7x120=940（元）。

∴最省錢的租車方案是方案三：A型車l輛，B型車7輛，最少租車費為940元。

【點評】本題主要考查了分類的思想方法，對可能出現(xiàn)的結果需要加以分類討論，并歸納總結得出答案。

如果我們對數學進行簡單的理解，那么數學就可以看成由顯性的數學知識技能和隱性的數學思想方法兩部分組成。對于方程這一板塊來說也是如此。所以，學好方程這一板塊的知識體系是基礎和前提，利用方程這一板塊的數學思想方法來解決問題是關鍵和目標。

（作者單位：江蘇省無錫市新區(qū)第一實驗學校）