基于漢默斯里序列抽樣的姿控系統(tǒng)隨機(jī)穩(wěn)定性評估*

劉曉東 張 玉,2 高 博 杜立夫

1.北京航天自動控制研究所，北京 100854 2.宇航智能控制技術(shù)國家級重點實驗室，北京 100854

為了克服傳統(tǒng)魯棒控制系統(tǒng)設(shè)計方法在工程實際應(yīng)用中存在的缺陷，在20世紀(jì)80年代末、90年代初，美國普林斯頓大學(xué)的Stengel等提出了線性時不變控制系統(tǒng)隨機(jī)魯棒性的概念[1-3]。通過對控制系統(tǒng)特征值的蒙特卡洛估計獲得其隨機(jī)特征根分布，用標(biāo)量的不確定性概率來表述隨機(jī)魯棒穩(wěn)定性，并用不穩(wěn)定概率的置信區(qū)間表述蒙特卡洛估計的計算收斂性問題。這種基于隨機(jī)特征根分布概念的隨機(jī)魯棒性分析方法具有較為廣泛的適應(yīng)性，不僅適合于常見的高斯型參數(shù)不確定性系統(tǒng)，也適合于非高斯型且有界的參數(shù)不確定性系統(tǒng)[4]。

在研究飛行器姿態(tài)控制系統(tǒng)的隨機(jī)魯棒性能分析時，通常采用蒙特卡洛估計來量化飛行器姿態(tài)控制系統(tǒng)的魯棒性能[5-7]。實際上，飛行器姿態(tài)控制系統(tǒng)的隨機(jī)魯棒性能分析具體可以分為2個方面：1)控制律設(shè)計階段的隨機(jī)魯棒性能分析，目的是采用定量概率形式描述閉環(huán)系統(tǒng)統(tǒng)計意義上的穩(wěn)定性(如判斷所有特征根是否都在s平面左半平面)以及穩(wěn)定裕度(幅值裕度和相位裕度)等；2)控制系統(tǒng)仿真驗證階段的隨機(jī)魯棒性能分析，目的是采用定量概率形式評估系統(tǒng)統(tǒng)計意義上的性能指標(biāo)(如有界穩(wěn)定性、調(diào)節(jié)時間、超調(diào)量、跟蹤精度和約束條件是否被滿足等)。

蒙特卡洛抽樣(Monte-Carlo sampling，MCS)是一種隨機(jī)性抽樣方法，其關(guān)鍵是產(chǎn)生符合輸入狀態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)，其缺點在于計算收斂所需的樣本數(shù)目多，導(dǎo)致計算量大，計算負(fù)擔(dān)重。為了改善這一問題，提出了利用“充滿空間設(shè)計”原則的現(xiàn)代試驗方法，此類方法能夠確保樣本點充滿整個設(shè)計空間，并且最大限度地反映設(shè)計空間的特征，進(jìn)而減小樣本數(shù)目，提高計算效率。目前常見的“充滿空間設(shè)計”的抽樣方法包括[8]：1)均勻抽樣(uniform sampling，US)，一種只考慮樣本點在設(shè)計空間內(nèi)均勻散布的抽樣方法；2)拉丁超立方抽樣(Latin hypercube sampling，LHS)，由McKay于1979年首次提出，采用一種受約束的抽樣方法來安排樣本點；3)漢默斯里序列抽樣(Hammersley sequence sampling，HSS)是以漢默斯里序列點為基礎(chǔ)發(fā)展出來的一種抽樣方法，采用一種低距、超均勻分布的確定性抽樣方法來安排樣本點。文獻(xiàn)[9-11]詳細(xì)分析了HSS抽樣方法相比MCS和LHS抽樣方法的優(yōu)勢，其主要體現(xiàn)在多維抽樣空間的均勻分布性以及收斂的快速性方面。為了克服傳統(tǒng)頻域設(shè)計中穩(wěn)定性評估原則的保守性，本文將對飛行器姿態(tài)控制系統(tǒng)開展隨機(jī)穩(wěn)定性評估研究，并將HSS抽樣方法引入其中以代替?zhèn)鹘y(tǒng)MCS抽樣方法，采用定量概率形式描述控制系統(tǒng)統(tǒng)計意義上的幅值裕度和相位裕度，即所謂的控制系統(tǒng)隨機(jī)穩(wěn)定裕度評估。

1 問題描述

1.1 傳統(tǒng)抽樣方法

以二維空間為例，圖1(a)～(c)分別展現(xiàn)了MCS、US以及LHS的樣本二維分布，抽樣數(shù)取為100。由此，可以較清晰地展現(xiàn)出3種傳統(tǒng)抽樣方法在二維空間的樣本分布情況。

圖1 三種抽樣方法的樣本分布二維圖

1.2 基本HSS抽樣方法

Hammersley序列生成算法的基本思想是[9]：對于任意一個整數(shù)n，若表達(dá)為各個位數(shù)的組合n=nmnm-1…n2n1n0，則它可以表示為基于一個基數(shù)R的形式：

n=n0+n1R+n2R2+…+nmRm

(1)

式中，m=[logRn]=[lnn/lnR]，中括號表示取整數(shù)部分。然后，通過顛倒位數(shù)的順序，基于基數(shù)R的倒數(shù)(稱為逆基數(shù))可以在區(qū)間[0 1]內(nèi)構(gòu)造唯一的小數(shù)，該方法可表示為：

φR(n)=n0n1n2…nm=n0R-1+

n1R-2+…+nmR-m-1

(2)

于是，N個k維Hammersley序列點xk(n)可以構(gòu)造為：

(3)

xk(n)=1-zk(n),n=1,2,…,N

(4)

其中，R1,R2,…,Rk-1表示前k-1個自然素數(shù)?；谌缟蠘?gòu)造方法，選取抽樣數(shù)目為100，圖2展示了采用HSS抽樣的樣本分布二維圖。

圖2 HSS抽樣的樣本分布二維圖

由圖1～2可以看出，在指定抽樣數(shù)目的情況下，US、LHS和HSS抽樣3種方法都可以實現(xiàn)樣本在整個二維單位空間的分布，然而采用HSS方法時樣本分布更加均勻、空間充滿特性更好，直觀體現(xiàn)出其優(yōu)勢所在。相比之下，MCS樣本的局部聚集性較高，若要實現(xiàn)更好的空間填充性，則需要更多的抽樣數(shù)目。

1.3 歸一化HSS抽樣方法

因為按照傳統(tǒng)漢默斯里序列的生成準(zhǔn)則，其生成的樣本均勻分布在單位超立方體內(nèi)，即每一維變量的值均在[0 1]區(qū)間內(nèi)。然而，飛行器各個不確定參數(shù)的變化區(qū)間并非一定在[0 1]區(qū)間內(nèi)，且不盡相同。因此，在隨機(jī)魯棒性能分析之前，需要首先解決多維空間指定區(qū)間的漢默斯里序列生成問題，即需要對傳統(tǒng)漢默斯里序列的生成準(zhǔn)則進(jìn)行適應(yīng)性處理。

假設(shè)某一維不確定參數(shù)的變化區(qū)間為[xminxmax]，利用傳統(tǒng)漢默斯里序列準(zhǔn)則生成的樣本值為x(x∈[0 1])，則將x映射到[xminxmax]區(qū)間的映射法則如下：

x′=xmin+(xmax-xmin)x

(5)

2 基于HSS抽樣的隨機(jī)穩(wěn)定性評估方法

頻域分析法可根據(jù)系統(tǒng)傳遞函數(shù)得到系統(tǒng)相應(yīng)的頻率特性，該頻率特性具有較明確的物理意義，并可作為分析控制系統(tǒng)性能的依據(jù)。當(dāng)控制系統(tǒng)階數(shù)較高時，頻域分析法避免了直接求解高階微分方程帶來的困難，具有更優(yōu)越的實用性和方便性，故而在實際設(shè)計中得到廣泛的應(yīng)用。在頻域設(shè)計的指標(biāo)評估體系中，穩(wěn)定裕度是衡量閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定程度的重要指標(biāo)，包括幅值裕度和相位裕度。

對于飛行器姿態(tài)控制系統(tǒng)的傳統(tǒng)設(shè)計而言，在系統(tǒng)各種不確定性的極限偏差組合狀態(tài)下，要求均滿足幅值裕度和相位裕度的指標(biāo)要求，這就給姿態(tài)控制系統(tǒng)的設(shè)計帶來了保守性。因此，將隨機(jī)魯棒分析的理念引入到飛行器姿控系統(tǒng)頻域設(shè)計的穩(wěn)定裕度評估過程。

下面首先構(gòu)造隨機(jī)幅值裕度分析和隨機(jī)相位裕度分析的概念，定義如下。

隨機(jī)幅值裕度分析：在系統(tǒng)參數(shù)隨機(jī)變化的情況下，應(yīng)用統(tǒng)計概率對開環(huán)系統(tǒng)可接受的幅值裕度進(jìn)行描述。

隨機(jī)相位裕度分析：在系統(tǒng)參數(shù)隨機(jī)變化的情況下，應(yīng)用統(tǒng)計概率對開環(huán)系統(tǒng)可接受的相位裕度進(jìn)行描述。

考慮隨機(jī)采樣，通過計算樣本頻率的方法來計算開環(huán)系統(tǒng)可接受幅值/相位裕度的概率，即：

(6)

其中，A(v)是開環(huán)系統(tǒng)的幅值或相位裕度；v是不確定參數(shù)的隨機(jī)向量；PA是開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定裕度可接受的概率；Am表示可接受的幅值或相位裕度最小值；M(·)是在N次估計當(dāng)中幅值或相位裕度可接受的數(shù)目。

通過隨機(jī)幅值裕度和隨機(jī)相位裕度分析，可以獲得開環(huán)系統(tǒng)滿足設(shè)計要求的統(tǒng)計意義上的描述。以此作為設(shè)計指標(biāo)，可以從一定程度上提高設(shè)計的靈活性，避免由于傳統(tǒng)穩(wěn)定裕度評估方法帶來的保守性。同時，在對系統(tǒng)不確定參數(shù)偏差進(jìn)行隨機(jī)抽樣時，采用歸一化的HSS抽樣算法進(jìn)行概率估計，以提高穩(wěn)定性評估過程的效率。

考慮飛行器姿態(tài)控制系統(tǒng)的對象特性和控制器環(huán)節(jié)，采用基于歸一化的HSS抽樣算法的隨機(jī)幅值/相位裕度的概率評估，其概率估計公式如下：

(7)

3 仿真結(jié)果

本部分將對比采用傳統(tǒng)MCS抽樣方法以及HSS抽樣方法下某飛行器姿態(tài)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性評估情況，并分析本文方法的優(yōu)勢。

選取某飛行特征點用作后續(xù)分析，分別采用2種抽樣方法對該特征點處的飛行器姿態(tài)控制系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性評估，而且為了更加清楚地對比2種方法的區(qū)別，傳統(tǒng)MCS方法的抽樣數(shù)目選取為20000，而HSS方法的抽樣數(shù)目僅為10000。下面分別從隨機(jī)幅值裕度和隨機(jī)相位裕度2個方面分析統(tǒng)計結(jié)果。

首先，圖3～4展現(xiàn)了2種抽樣方法下飛行器姿控系統(tǒng)相位裕度的統(tǒng)計結(jié)果，包括隨機(jī)分布圖、分布直方圖、概率分布曲線和概率密度曲線，用于直觀了解相位裕度的分布情況。

同樣的，由圖3～4可以看出：1)兩種評估方案下概率統(tǒng)計曲線的大致趨勢是相同的；2)當(dāng)采用本文評估方案時，雖然樣本的數(shù)目要少一半，但其相位裕度的分布要更廣一些，這也從側(cè)面反映出該評估方案的樣本分布要更廣，即樣本的空間充滿特性更好。同時，假設(shè)可接受的相位裕度至少為30°，那么在HSS抽樣方法下可接受相位裕度的概率為M(Pm≥30°)/10000×100%，其中M(Pm≥30°)表示10000次抽樣結(jié)果中相位裕度大于30°的數(shù)目。

圖3 采用MCS抽樣方案的相位裕度統(tǒng)計結(jié)果

圖4 采用HSS抽樣方案的相位裕度統(tǒng)計結(jié)果

然后，對比2種抽樣方案下飛行器姿控系統(tǒng)幅值裕度的統(tǒng)計結(jié)果，包括隨機(jī)分布圖、分布直方圖、概率分布曲線和概率密度曲線，可以得出與相位裕度統(tǒng)計分析時相同的結(jié)論。同時，假設(shè)可接受的幅值裕度至少為4dB，那么在HSS抽樣方法下可接受幅值裕度的概率為M(Am≥4dB)/10000×100%，其中M(Am≥4dB)表示10000次抽樣結(jié)果中幅值裕度大于4dB的數(shù)目。

4 結(jié)論

提出了一種基于漢默斯里序列抽樣的隨機(jī)穩(wěn)定性評估方法，并將其應(yīng)用于飛行器姿態(tài)控制系統(tǒng)的設(shè)計過程。相比基于蒙特卡洛抽樣的傳統(tǒng)評估方法，采用漢默斯里序列抽樣的分析與評估方法，不僅可以從一定程度上減小計算機(jī)仿真次數(shù)，節(jié)省仿真評估時間，而且還可以提高收斂精度。計算機(jī)仿真結(jié)果表明，在采樣數(shù)目較少的情況下，本文評估方案下樣本分布要更廣、樣本的空間充滿特性更好。HSS抽樣方法可進(jìn)一步應(yīng)用于姿控系統(tǒng)的仿真驗證階段，關(guān)于此部分的研究將在后續(xù)工作中給出。