高一物理中滲透極限方法教育探討

(廣西壯族自治區(qū)南寧市第三中學(xué),廣西 南寧 530201)

科學(xué)思維是學(xué)生在學(xué)習(xí)和運(yùn)用物理知識(shí)和方法過(guò)程中必備的能力,也是核心素養(yǎng)的重要方面,教師應(yīng)有意識(shí)地在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維能力。人教版教材中多次展現(xiàn)極限方法的運(yùn)用,其目的是讓學(xué)生通過(guò)多次接觸,逐步領(lǐng)悟、掌握；微元法是極限方法的基本應(yīng)用,運(yùn)用微元法可以快速解決較復(fù)雜的高中物理問(wèn)題,只有對(duì)極限方法有了一定的理解,才能理解和應(yīng)用微元法?？茖W(xué)思維的形成需要學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中不斷體會(huì)和領(lǐng)悟,這就要求教師在教學(xué)中應(yīng)有意識(shí)、有計(jì)劃地進(jìn)行滲透。

依據(jù)皮亞杰認(rèn)知發(fā)展理論,高一學(xué)生處在“形式運(yùn)算階段”,多數(shù)學(xué)生具備一定的抽象思維能力,但仍較薄弱。筆者按照“初步體會(huì)—初步感受應(yīng)用—初步嘗試應(yīng)用—再次感悟”的程序，在高一逐步進(jìn)行滲透,使學(xué)生對(duì)極限方法經(jīng)歷螺旋式上升的理解過(guò)程。

1 逐步體會(huì)

高中物理首次運(yùn)用極限方法的是瞬時(shí)速度的概念,在瞬時(shí)速度的教學(xué)中,讓學(xué)生了解極限方法,初步體會(huì)即可。

師：我們知道平均速度是描述一段時(shí)間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)快慢,如果想知道劉翔在經(jīng)過(guò)終點(diǎn)那一刻的速度是多大,該怎么辦呢?

圖1

生：第3張，時(shí)間間隔是0.02s,更精確。

通過(guò)討論,教師給出瞬時(shí)速度的定義,并明確向?qū)W生指出：時(shí)間間隔Δt非常非常小,無(wú)限接近于0,這在技術(shù)上很難實(shí)現(xiàn),但我們可以運(yùn)用極限思維在頭腦中“實(shí)現(xiàn)”,因此極限思維是處理物理問(wèn)題的一種重要思維方法。

2 感受應(yīng)用

學(xué)習(xí)過(guò)瞬時(shí)速度后,學(xué)生初步了解了極限思維,但尚未明了如何應(yīng)用極限思維解決物理問(wèn)題。必修一2.3節(jié)中通過(guò)“無(wú)限分割”v-t圖像得出“面積代表位移”結(jié)論,又運(yùn)用了極限方法，本節(jié)是使學(xué)生感受利用極限思維解決問(wèn)題的重要契機(jī)。

師生共同學(xué)習(xí)了教材“思考與討論”的內(nèi)容后，教師提問(wèn)：如何在小車的v-t圖像上運(yùn)用極限方法？

生：在v-t圖像中每一個(gè)小矩形代表一段時(shí)間內(nèi)的位移,這些矩形“面積”之和就是物體運(yùn)動(dòng)的位移(如圖2)。

圖2

師：如果時(shí)間間隔取的是0.04s,還是采用上述方法估算位移,我們又該如何在v-t圖像中體現(xiàn)呢?如果時(shí)間間隔取得更小,比如取0.02s、0.01s，甚至更小呢?

師生共同探究：時(shí)間間隔越小,相當(dāng)于把時(shí)間均分的份數(shù)越多,借助GeoGebra分析，把時(shí)間分割成多份(圖3為分割成20份、圖4為分割成100份),我們發(fā)現(xiàn)時(shí)間被分割的份數(shù)越多,小矩形越多,小矩形“面積”之和就越接近于圖線與坐標(biāo)軸圍成的“面積”,我們可以想象：當(dāng)時(shí)間被分割成無(wú)限多份,這些無(wú)限多個(gè)小矩形“面積”之和就等于梯形的“面積”。極限是一種重要的思想方法,之前由平均速度引出瞬時(shí)速度時(shí)我們也用到了極限方法。

圖3

圖4

在教學(xué)中,通過(guò)“無(wú)限分割”時(shí)間,獲取時(shí)間微元Δt,在Δt時(shí)間內(nèi)把“變速”當(dāng)“勻速”,再對(duì)所有Δt內(nèi)的勻速直線運(yùn)動(dòng)的位移求和，即為勻變速直線運(yùn)動(dòng)的總位移。微元法是極限方法的基本應(yīng)用之一,在上述教學(xué)中已有體現(xiàn),但是不宜要求學(xué)生完全掌握,只要求學(xué)生初步感受利用極限方法解決物理問(wèn)題。另外在新課教學(xué)中借助GeoGebra軟件進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示,可以讓學(xué)生經(jīng)歷從感性到理性的認(rèn)知過(guò)程,更有利于學(xué)生接受極限方法。

3 嘗試應(yīng)用

3.1 向心加速度表達(dá)式的推導(dǎo)

必修2第五章第5節(jié)“做一做”欄目從一般性的結(jié)論出發(fā),利用極限方法從理論上研究向心加速度的方向和表達(dá)式。由于向心加速度表達(dá)式的推導(dǎo)過(guò)程比較抽象,很多教師在教學(xué)中回避了推導(dǎo)過(guò)程,直接把公式告知學(xué)生。筆者認(rèn)為：學(xué)生經(jīng)歷了幾次極限方法的滲透和感悟,已具備在教師的幫助下嘗試使用極限方法解決問(wèn)題的能力,因此本節(jié)課是學(xué)生嘗試使用極限方法的良機(jī)。

(1) 向心加速度的方向

圖5

圖6

(2) 向心加速度表達(dá)式

3.2 開普勒第二定律的證明

開普勒第二定律也叫面積定律,即：行星與太陽(yáng)的連線在相等的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)相等的面積。根據(jù)開普勒第二定律可推知：行星在遠(yuǎn)日點(diǎn)速度小,在近日點(diǎn)速度大。

圖7

3.3 重力做的功

如圖8所示，小球A從同一高度按不同的路徑下降到另一高度,對(duì)于按(1)、(2)方式下降,學(xué)生利用公式W=Fscosθ，能快速計(jì)算出重力做功為mgh。若小球按任意曲線下降,該如何求解呢?教師引導(dǎo)學(xué)生：

圖8

(1) 在求解勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移時(shí),我們是把物體的運(yùn)動(dòng)分解成很多段“勻速運(yùn)動(dòng)”,通過(guò)類比,小球下降的路徑能不能也分成很多段?

(2) 當(dāng)分的段數(shù)越多,每一間隔就越接近一段傾斜的線段,物體通過(guò)s1這段位移時(shí),重力做的功是多少?

答：ΔW1=mgs1cosθ=mgΔh1。

(3) 物體通過(guò)整個(gè)路徑,重力做的功是多少?

答：W=W1+W2+…=mg(Δh1+Δh2+…)=mgh。

證明過(guò)程利用極限方法來(lái)“化曲為直”,使復(fù)雜的物理問(wèn)題轉(zhuǎn)變成簡(jiǎn)單的問(wèn)題。先無(wú)限分割,對(duì)一微元過(guò)程進(jìn)行分析,找出規(guī)律,再求和,展現(xiàn)了微元法的基本應(yīng)用步驟。

4 再次感悟

關(guān)于“彈性勢(shì)能的表達(dá)式”,課標(biāo)明確提出“著重體會(huì)探究過(guò)程,領(lǐng)悟研究方法”。功與能有密切的關(guān)系,可通過(guò)彈力做功去

研究彈性勢(shì)能。彈簧的形變量越大,彈力越大,彈力做功屬于變力做功,如何求出彈簧被拉長(zhǎng)x的過(guò)程中彈力做的功?教師引導(dǎo)學(xué)生回憶求勻變速直線運(yùn)動(dòng)位移的方法：把物體的運(yùn)動(dòng)分割成很多份,每一小份速度的變化很小,可以近似認(rèn)為每一份是勻速運(yùn)動(dòng),求出每一小份的位移后再求和。對(duì)于彈力做功,可用同樣的方法來(lái)處理：把彈簧被拉長(zhǎng)的過(guò)程分解成很多段,每一小段的長(zhǎng)度為Δx1,Δx2,Δx3,…每一小段的拉力認(rèn)為是不變的,即每一小段的彈力分別為F1,F2,F3,…整個(gè)過(guò)程彈力做功為F1Δx1+F2Δx2+F3Δx3+…類比勻變速直線運(yùn)動(dòng)v-t圖線下的“面積”表示位移,同樣可以借助F-x圖像求出彈力所做的功，得到彈性勢(shì)能的表達(dá)式。

5 結(jié)語(yǔ)

在人教版教材中,極限方法在概念的定義、結(jié)論的推導(dǎo)中多次出現(xiàn),但沒(méi)有直接說(shuō)明,這就要求教師從更寬的視角研讀教材,體會(huì)教材中蘊(yùn)含的科學(xué)思維方法,并將之顯性化?？茖W(xué)思維不是一朝一夕就可以培養(yǎng)的,只要教師在教學(xué)中不斷滲透,學(xué)生自有浸潤(rùn)、感悟、理解,為物理學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。