電力電子化電力系統(tǒng)穩(wěn)定的問題及挑戰(zhàn):以暫態(tài)穩(wěn)定比較為例*

楊子千 馬銳 程時杰 占萌

(華中科技大學電氣與電子工程學院,強電磁工程與新技術國家重點實驗室,電力安全與高效湖北省重點實驗室,武漢 430074)

隨著電力電子技術的進步和環(huán)境保護對清潔能源的要求,以同步發(fā)電機為主的傳統(tǒng)電力系統(tǒng)正向著多樣化電力電子裝備為主的電力系統(tǒng)轉變,由此電力系統(tǒng)正面臨著百年來未有之大變局.近年來,國內(nèi)外不斷報道出以電力電子裝備為主的新能源基地和傳統(tǒng)高壓直流等機理不明的電力事故,嚴重威脅了電力系統(tǒng)安全穩(wěn)定運行.針對上述問題,本文首先介紹傳統(tǒng)電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定分析的主要方法,接著分析了典型故障場景下簡單電力電子化電力系統(tǒng)的動力學行為,并建立了同時包含電力電子設備與傳統(tǒng)同步機的多機耦合系統(tǒng)模型,最后總結了電力電子化電力系統(tǒng)的非線性、多時標、復雜性的本質(zhì)特點,歸納其暫態(tài)穩(wěn)定的基本問題與挑戰(zhàn)以及對未來研究方向的展望,希望引起復雜系統(tǒng)和統(tǒng)計物理背景的研究人員的廣泛興趣.

1 引 言

隨著能源生產(chǎn)和消費轉型,電力系統(tǒng)正從依賴化石能源的電力系統(tǒng)向著高比例可再生能源的新一代電力系統(tǒng)轉變.電力電子設備正在取代以同步發(fā)電機和異步電動機為主的電磁變換裝備.如圖1所示,在電能生產(chǎn)環(huán)節(jié),風力和光伏發(fā)電等清潔能源正大規(guī)模接入電網(wǎng);在電能傳輸環(huán)節(jié),高壓直流輸電系統(tǒng)和柔性交流輸電系統(tǒng)(FACTS)的發(fā)展可實現(xiàn)跨區(qū)域遠距離輸電;在電力負荷側,交流傳動變頻負荷滿足用戶多樣化需求,并提高了用電效率.源網(wǎng)荷多方面的電力電子化已成為現(xiàn)代電力系統(tǒng)發(fā)展的重要趨勢,在一次裝備方面電力系統(tǒng)正經(jīng)歷偉大的歷史性變革,這是電力系統(tǒng)百年來的巨大變化[1-5].

電力電子設備為電力系統(tǒng)帶來高效的同時,也因其復雜性給電力系統(tǒng)的安全穩(wěn)定運行帶來了巨大的挑戰(zhàn).作為國際上最近報道的一次大電網(wǎng)事故,2019年8月9日英國Little Wymondley一條線路發(fā)生單相短路故障引發(fā)了倫敦在內(nèi)的英格蘭和威爾士大部分地區(qū)停電,約110萬人受到停電影響.英國國家電網(wǎng)(NationalgridESO)的報告指出,風電、直流輸電等無慣性的電力電子并網(wǎng)電源高占比是本次事故的深層次原因[6].當前電力電子化電力系統(tǒng)受到短路故障等各種大擾動后暫態(tài)行為機理尚未明確,傳統(tǒng)繼電保護裝置無法快速抑制事故影響的擴散,電網(wǎng)時刻面臨失穩(wěn)風險.基于傳統(tǒng)電力系統(tǒng)的基本認識和基礎理論將無法適應全新的裝備,尋找電力電子化電力系統(tǒng)較直觀的物理圖像和機理分析亟需解決.

圖1 電力電子化電力系統(tǒng)示意圖Fig.1.Schematic diagram of power electronic dominated power systems.

電力系統(tǒng)受到各種擾動后保持安全穩(wěn)定運行是電網(wǎng)面臨的最核心的問題之一[7,8].工程中一般根據(jù)電力系統(tǒng)的特點對電力系統(tǒng)穩(wěn)定性分析進行分類和簡化.對于某一特定的運行狀態(tài),將遭受一個微小擾動后系統(tǒng)能否恢復擾動前狀態(tài)稱為小干擾穩(wěn)定性分析.其本質(zhì)為研究系統(tǒng)運行點(不動點)附近的局部穩(wěn)定性,一般將系統(tǒng)的非線性方程組在工作點處進行線性化,然后用線性系統(tǒng)理論方法,如特征值,加以分析.與之相對應,對某一穩(wěn)定運行狀態(tài)施加特定的大的擾動,研究擾動后系統(tǒng)是否可以達到一個可以接受的(新的或舊的)運行狀態(tài)稱為暫態(tài)穩(wěn)定分析,或者稱為大擾動穩(wěn)定分析.其本質(zhì)為系統(tǒng)全局穩(wěn)定性,需要確定故障后運行點吸引子穩(wěn)定邊界與故障恢復時刻的狀態(tài)之間的關系,在分析的過程中需保留原始的非線性關系.

在傳統(tǒng)電力系統(tǒng)動態(tài)研究中,不同元件及控制器耦合相互作用引發(fā)振蕩問題的研究通常屬于小干擾穩(wěn)定分析范疇,用線性系統(tǒng)理論加以研究.人們根據(jù)不同的振蕩機理和數(shù)學模型,總結出低頻振蕩和次同步振蕩等不同問題,并形成相應的分析方法和控制策略.對于暫態(tài)穩(wěn)定性分析,同步發(fā)電機等電磁變換裝備在一次調(diào)頻時間尺度內(nèi)的暫態(tài)特性主要由轉子機電動態(tài)所決定.由此同步發(fā)電機轉子在不平衡功率(即: 原動機的輸入機械功率與同步機的電磁輸出功率)下的轉子運動被認為是暫態(tài)穩(wěn)定分析的核心內(nèi)容.針對單同步機連接到無窮大母線系統(tǒng),可以用等面積定則來分析[7,8],并通過加速和減速面積來提供基本物理圖像.進一步對于多同步機耦合系統(tǒng),學術界曾發(fā)展出多種分析方法,主要有基于李雅普諾夫能量函數(shù)的直接法和基于多機空間映射的擴展等面積法[9-14].傳統(tǒng)電力系統(tǒng)穩(wěn)定分析經(jīng)過五、六十年的發(fā)展,已經(jīng)形成了較為嚴格的數(shù)學理論,并為電網(wǎng)部門在線運行和事故預判方面提供幫助.

與傳統(tǒng)電力系統(tǒng)小干擾穩(wěn)定性分析相對應,電力電子化電力系統(tǒng)同樣對非線性系統(tǒng)動力方程組在工作點處線性化,通過研究線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性來判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性.其中包括狀態(tài)空間法、阻抗法、幅相運動方程法等.其中,狀態(tài)空間分析法(又稱模態(tài)分析)是線性控制系統(tǒng)中常用的分析方法[15].這種方法能精確分析振蕩現(xiàn)象,并適用于復雜多機系統(tǒng),但較缺乏對振蕩機理的解釋,而且當系統(tǒng)結構發(fā)生改變(如投入或切除一條線路)時,都需重新列寫狀態(tài)方程.尤其重要的,實際電力電子裝備通常由不同的廠商生產(chǎn),內(nèi)部控制方式和控制參數(shù)都不可能精確得到,利用狀態(tài)空間分析法來分析不太現(xiàn)實.為克服這些不足,工程上大量有實際應用的是基于復頻率域分析的阻抗法[16-18].其將電力電子設備黑箱化,以電壓和電流作為設備輸入和輸出變量,以阻抗傳遞函數(shù)矩陣的形式來看待設備,然后根據(jù)廣義奈奎斯特判據(jù)或簡單的波特圖來判斷整個系統(tǒng)的穩(wěn)定性.然而當前研究人員對于不同坐標系下的多種阻抗分析方法、交流運行點的處理、設備非線性系統(tǒng)線性化、如何推廣用于多個電力電子設備系統(tǒng)、分析結果的準確性等也仍有諸多激烈的爭論.此外,幅相運動方程法[19,20]則推廣傳統(tǒng)的轉子運動方程形式,認為多樣化電力電子設備也可統(tǒng)一表現(xiàn)為不平衡瞬時功率驅(qū)動下的內(nèi)電勢運動,采用輸入有功和無功功率與輸出內(nèi)電動勢幅值和相位的形式.由于在電氣領域,基于非正弦時變電壓和電流信號的功率理論還遠未完備,從功率的轉換、儲存、耗散等角度來分析大系統(tǒng)也仍然面臨巨大的挑戰(zhàn).后兩種頻域分析方法都是對不同設備和傳輸線網(wǎng)絡分開來建模,方便網(wǎng)絡結構發(fā)生改變情況下的分析,但是應用到多機系統(tǒng)仍可能面臨傳遞函數(shù)階數(shù)過高和廣義奈奎斯特判據(jù)判斷不方便等問題.近期我們的文章具體比較了狀態(tài)空間分析、阻抗法和幅相運動方程法三種方法對系統(tǒng)小擾動穩(wěn)定的分析結果,用數(shù)學的相似矩陣變換、數(shù)值符號運算和實際算例證明了其結果的一致性[21].

對于更加復雜的電力電子化電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定問題,由于控制器的切換與限幅、坐標變換等非線性環(huán)節(jié)、多時間尺度序貫控制方式間的復雜相互作用、機電與電磁暫態(tài)相互作用、復雜保護與控制主導的暫態(tài)控制方式等,這些都使得傳統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定分析理論難以適應當前電力電子化電力系統(tǒng)動態(tài)分析.據(jù)作者們所知,現(xiàn)階段學術界對暫態(tài)穩(wěn)定的研究主要針對特定簡單場景下的零散研究,仍然缺乏直觀實用的方法來解釋系統(tǒng)受擾后的物理過程[22-32].如文獻[23,24]參照等面積定則,從低維動力系統(tǒng)的角度分別分析了裝備在功率同步控制和下垂控制的VSC系統(tǒng)的暫態(tài)穩(wěn)定性.文獻[26]發(fā)現(xiàn)了電壓源型變換器(VSC)在遭受電壓突然跌落故障后存在一種突變分岔現(xiàn)象.文獻[29—31]總結了電力電子設備接入電網(wǎng)對同步機穩(wěn)定的影響規(guī)律和對振蕩的影響.文獻[32]仍然借鑒傳統(tǒng)的轉子運動方程和等面積定則,具體針對VSC內(nèi)部的鎖相環(huán)(PLL)動態(tài),得到了暫態(tài)穩(wěn)定分析的一些簡單結果.

2017年國家電力調(diào)度控制中心主任李明節(jié)等[33]總結了新能源并網(wǎng)系統(tǒng)引發(fā)的復雜振蕩問題及其對策,并歸納了振蕩的一些新特點.如可出現(xiàn)不同的振蕩頻率,甚至是超同步振蕩(超出工頻的振蕩);振蕩頻率可漂移;振蕩可發(fā)生在電網(wǎng)不同位置;振蕩特性(頻率、阻尼及穩(wěn)定性)受多變流器(群)聚合效應以及電網(wǎng)諸多參數(shù)、乃至風光等外部條件的影響,具有影響因素復雜、大范圍時變等特征;振蕩極易進入控制限幅,導致振蕩往往始于小信號負阻尼失穩(wěn),而終于非線性自持續(xù)振蕩;振蕩在機理上可能涉及到多變流器間及其與大電網(wǎng)之間的動態(tài)相互作用等.由此可見,為解決電力電子化電力系統(tǒng)復雜振蕩問題,我們可能必須對付和處理系統(tǒng)的固有非線性問題.另外,2015年9月第8屆 FEPPCON VIII國際會議(The Future of Electronic Power Processing and Conversion)也明確指出: 由于電力系統(tǒng)中的變流器越來越多,二者之間的交互作用越來越復雜,對傳統(tǒng)電網(wǎng)運行特性的改造也越來越明顯.如何分析、設計、控制、集成,才能確保電力電子化的供電系統(tǒng)仍然能夠維持安全、穩(wěn)定、高效地長期運行? 這是擺在電力電子、電力系統(tǒng)等學科研究人員面前的世紀難題.

在另一方面,物理、數(shù)學和自動控制背景的研究人員近些年也積極進入到復雜電力網(wǎng)絡領域之中,在電力系統(tǒng)與復雜系統(tǒng)交叉方面開展了一系列卓有成效的研究,如德國Menck等[34]和Schultz等[35]、德國 Rohden等[36]和Schafer等[37]、 美 國 Motter等[38]和Yang等[39]、 瑞 士Dorfler等[40]和Grob等[41]、英國 Carareto等[42].但是他們多以智能電網(wǎng)同步穩(wěn)定問題為背景,研究復雜網(wǎng)絡上相互耦合的二階Kuramoto相振子的同步化過程,較多地從網(wǎng)絡動力學的角度研究智能電網(wǎng)的網(wǎng)絡拓撲結構如何影響整個系統(tǒng)的同步能力等問題.國際上著名的復雜系統(tǒng)圣地圣塔菲研究所也于2012年召開學術沙龍: Power Grids as Complex Networks,召集了智能電網(wǎng)和復雜系統(tǒng)兩方面的專家,探討這兩個領域共同關心的核心問題,以促進復雜系統(tǒng)和電力系統(tǒng)的相互融合和進步.

針對上述研究背景及現(xiàn)狀,我們研究小組近些年已經(jīng)開展了一些工作[21,43-50].本文將首先介紹以同步發(fā)電機為主導的傳統(tǒng)電力系統(tǒng)單機及多機系統(tǒng)暫態(tài)分析的基本理論,然后通過電力電子化電力系統(tǒng)單機無窮大母線系統(tǒng)電壓突然跌落和再恢復的具體場景,結合我們近期完成的一些研究結果,對其暫態(tài)行為進行對比研究,由此揭示出電力電子化電力系統(tǒng)受擾后的典型特征.進一步將建立同時包含電力電子設備與同步機的多機系統(tǒng)模型,突出和比較這兩種設備在暫態(tài)分析中的異同.最后,將歸納和總結電力電子化電力系統(tǒng)暫態(tài)分析面臨的基本問題與挑戰(zhàn),以期引起復雜系統(tǒng)和統(tǒng)計物理背景的研究人員對這一重要前沿問題的興趣.

2 傳統(tǒng)電力系統(tǒng)模型及暫態(tài)穩(wěn)定分析

2.1 單機系統(tǒng)暫態(tài)分析模型

同步發(fā)電機是電力系統(tǒng)中最核心的元件[7,8],其轉子磁鏈與定子磁鏈的交鏈實現(xiàn)了機械能與電能之間的相互變換.設轉子勵磁繞組中心軸為d軸,沿轉子旋轉方向領先d軸90電角度的坐標軸為q軸.轉子在d軸上有勵磁繞組f及等值阻尼繞組D,在q軸上有等值阻尼繞組Q.不考慮零序分量,定子 a bc 三 相繞組經(jīng)派克變換等效為 dq 軸下的d,q電樞繞組.若完整考慮同步機的動態(tài)過程,則需計及 d,q,f,D,Q 五個繞組的電磁動態(tài)以及轉子機械動態(tài)在內(nèi)的共七個動態(tài)過程.完整電機方程為七階模型,這還不包括勵磁控制與原動機動態(tài)等.電力系統(tǒng)中常見的暫態(tài)故障,如短路故障,往往持續(xù)幾百毫秒到幾秒,這個時間尺度被稱為機電時間尺度.在機電時間尺度內(nèi)轉子的機械過程將主導系統(tǒng)的動態(tài)行為,而電磁繞組的過渡過程影響較小.所以通常在暫態(tài)穩(wěn)定分析中,忽略電磁繞組的動態(tài)過程而僅考慮轉子的運動.考慮如圖2所示的單機無窮大系統(tǒng),同步發(fā)電機采用經(jīng)典二階模型,其中為發(fā)電機暫態(tài)電抗,xT為 變壓器電抗,xL為雙回線路中單回線的電抗,并做如下假設:

2)發(fā)電機的機械輸入功率 PM保持不變;

3)網(wǎng)絡采用準穩(wěn)態(tài)模型,在這種模型下電感上的電壓電流關系為代數(shù)關系;

4)忽略變壓器電阻及線路電阻,忽略發(fā)電機的機械阻尼.

圖2 一臺同步發(fā)電機經(jīng)變壓器升壓后串聯(lián)雙回線路接入無窮大電網(wǎng)的示意圖Fig.2.Schematic show for a single-machine-infinite-bus(SMIB)system.

發(fā)電機轉子的運動方程,又稱搖擺方程,表示為[7]

圖3繪制了電磁功率 Pe與 功角 δ 間的功率特性曲線.不失一般性,這里不考慮阻尼的作用,Pe與δ 是最簡單的正弦形式.功率特性曲線與P=PM有兩個交點分別為S和U,對應的功角為 δS和δU,這兩個點為系統(tǒng)的平衡點.若同步機運行在S點,此時輸入功率施加一個微小的增量 Δ PM,轉子加速,功角增加 Δ δ,S點處功率特性曲線斜率為正,所以電磁功率增加 Δ Pe,因此制動性質(zhì)的電磁轉矩將相應地增加,以抑制功角增大,反之也成立.S點處電磁功率與功角形成了負反饋調(diào)節(jié),所以此處為小干擾的穩(wěn)定平衡點(stable equilibrium point,SEP).相應地,U點為小干擾非穩(wěn)平衡點(unstable equilibrium point,UEP).單機系統(tǒng)的小干擾穩(wěn)定性可以這樣判斷,而對于復雜的多機系統(tǒng),則需依據(jù)特征值分析來進一步判斷.

圖3 系統(tǒng)的功率特性曲線[7]Fig.3.Power-angle relationship[7].

2.2 單機系統(tǒng)等面積定則

小干擾穩(wěn)定保證電力系統(tǒng)在工作點處線性化區(qū)域內(nèi)的穩(wěn)定運行,暫態(tài)穩(wěn)定分析則研究電力系統(tǒng)在遭受大擾動下,能否恢復至新的運行狀態(tài).傳統(tǒng)電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定分析主要有兩種方法,即時域仿真和直接法.時域仿真法將電力系統(tǒng)各原件的數(shù)學模型聯(lián)立得到一組微分代數(shù)方程組,通過逐步積分求得各狀態(tài)量隨時間變化的軌跡,根據(jù)狀態(tài)量最終是否回到穩(wěn)定工作點上來判斷其穩(wěn)定性.時域仿真法適用于各種不同復雜的設備,但是較難進行機理分析.直接法不必計算系統(tǒng)整個運行軌跡(但通常仍然需對從故障發(fā)生到故障恢復過程作數(shù)值積分),而通過計算故障恢復時刻的狀態(tài)滿足的條件來直接判斷穩(wěn)定性.其簡化了故障恢復后的軌跡數(shù)值積分,可對穩(wěn)定性作快速判斷,并能提供穩(wěn)定裕度和安全運行警告.直接法從設備運動的規(guī)律出發(fā),更能說明暫態(tài)穩(wěn)定的機理.本文將重點介紹單機系統(tǒng)和多機系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定的幾種直接法.

對于暫態(tài)穩(wěn)定分析,一般認為故障前系統(tǒng)工作于穩(wěn)定狀態(tài),穩(wěn)定功角設為 δ0.設在 t0時刻,雙回線中的一條線路發(fā)生短路故障,保護裝置檢測到故障后,于 tc時刻切除故障.將整個暫態(tài)過程分為(I)故障前,(II)故障中和(III)故障后.不同暫態(tài)過程的功率特性是不同的,如(2)式所示[7].式中xI-xIII為發(fā)電機內(nèi)電動勢到無窮大母線之間的總電抗,它們之間的關系通常為 xII＞xIII＞xI,所以有 PII＜PIII＜PI.圖4(a)繪制了故障前、故障中和故障后三個過程中不同電磁功率 Pe與 功角 δ 間的功率特性(均為簡單的正弦形式,但幅度不同).

對(1)式中第二式兩端同乘 dδ,有

即

左右同時積分可得

圖4 (a)簡單系統(tǒng)在故障前、故障中、故障后的三條不同功率特性曲線;(b)暫態(tài)穩(wěn)定(紅色曲線)和臨界穩(wěn)定(藍色曲線)情況下的功角的時域波形[9]Fig.4.(a)Power-angle relationships for three different states of before-fault(PI),during-fault(PII),and postfault(P III);(b)time-domain responses of the power angle when the system are stable(red curve)and critical stable(blue curve),respectively[9].

(5)式左側第一式定義為系統(tǒng)動能,第二式為系統(tǒng)勢能,(5)式實際上表示了動能與勢能之間相互轉化的關系: 系統(tǒng)增加(減少)的動能由減少(增加)的勢能轉化得到,因此系統(tǒng)的總能量保持恒定.

故障中由于 PM＞Pe,轉子加速,故障切除時系統(tǒng)的動能為

故障恢復階段轉子將減速,若系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定,則故障恢復階段系統(tǒng)增加的勢能可以全部消納故障切除時系統(tǒng)的動能.令 δm為故障恢復階段功角的最大值,則有:

在(6)式和(7)式中,S1和S2分別被稱為加速面積和減速面積,如圖4(a)中紅色陰影所示.加速面積與減速面積相等時,系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定.等面積定則由此得名.由減速面積的定義可知,如果當功角運動至 δU(故障后的非穩(wěn)平衡點)時,系統(tǒng)增加的勢能達到最大值,若此時仍無法全部消納故障切除時的動能,則轉子開始加速并最終失去穩(wěn)定.由此我們可以通過比較加速面積與減速面積大小來判斷暫態(tài)穩(wěn)定性.運用等面積定則時,首先通過逐步積分法計算故障中的故障軌跡,然后比較加速面積是否小于最大減速面積,若小于,則暫定穩(wěn)定,反之則暫態(tài)失穩(wěn).臨界情況下的切除角和切除時間為極限切除角 δcc和極限切除時間 Tcc,這兩個指標代表了系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度,為繼電保護的設計提供了重要參考.圖4(b)中繪制了暫態(tài)穩(wěn)定和臨界穩(wěn)定兩種情況下的功角時域響應,分別用紅色和藍色曲線表示.

等面積定則本質(zhì)上是不考慮阻尼條件下的能量守恒.我們也可直接從勢能函數(shù)的角度來解釋.故障恢復階段系統(tǒng)的勢能函數(shù)為

繪制勢能函數(shù)圖如圖5(a)所示.勢能函數(shù)以 δS(故障后的穩(wěn)定平衡點)為中心構成一個“盆”狀區(qū)域,將轉子的運動視為小球在“盆”狀區(qū)域內(nèi)受重力影響來回滾動,只有在“盆”狀區(qū)域內(nèi)才是穩(wěn)定的.所以系統(tǒng)的臨界能量為

圖5(b)繪制了對應的穩(wěn)定、臨界穩(wěn)定和失穩(wěn)三種情況下系統(tǒng)在相空間的運行軌跡.這與等面積定則的結論相一致.這里假定理想發(fā)電機沒有阻尼,所以總能量保持不變,暫態(tài)穩(wěn)定時將作周期往返運動.事實上,同步機中存在機械阻尼和電氣阻尼,若轉子第一搖擺穩(wěn)定,則之后擺動的最大幅值將不斷減小,系統(tǒng)將作衰減振蕩運動.上述理論分析是針對理想的情況,若單純從數(shù)學的角度來考慮,則隨著參數(shù)取值范圍的擴大,系統(tǒng)(1)將擁有更加豐富的動態(tài)行為,如在整個參數(shù)空間內(nèi),系統(tǒng)存在兩個平衡點、一個極限環(huán)以及平衡點和極限環(huán)共存的雙穩(wěn)區(qū),系統(tǒng)也將出現(xiàn)更為廣泛的等面積定則形式等[45,46].

圖5 (a)勢能函數(shù)曲線；(b)不同狀態(tài)下的軌跡[10]Fig.5.(a)Potential energy function curve;(b)trajectories in state space corresponding different states: stable,critically stable,and unstable[10].

2.3 多機系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定分析

多同步機電力系統(tǒng)被描述為一組非線性微分代數(shù)方程,其中微分方程由每臺同步機的搖擺方程構成:

其中 i=1,2,···,n 表示發(fā)電機的編號,其余符號與(1)式中相應符號含義一致.端電壓及電磁功率為:

其中 udi,uqi和Ui,θi分 別為端電壓在 dq 坐標系和極坐標系的分量.

多臺同步機通過網(wǎng)絡實現(xiàn)功率交換,由潮流方程所決定:

其中G和B分別表示電導和電納,Gij+jBij為消去除同步發(fā)電機節(jié)點外系統(tǒng)的節(jié)點導納矩陣中第i行,j列元素.由(11)式—(13)式聯(lián)立的代數(shù)方程與(10)式一起組成了多機系統(tǒng)的暫態(tài)模型.

直接法仍需對故障中過程運行軌跡進行數(shù)值積分,相比完全數(shù)值仿真方法的優(yōu)點在于,根據(jù)故障切除時刻的狀態(tài)對穩(wěn)定性直接判斷.由此其核心為對故障后穩(wěn)定運行狀態(tài)的吸引域的估計.多年來,電力系統(tǒng)研究人員提出了多種暫態(tài)穩(wěn)定分析直接法,具有代表性的方法有: 最近不穩(wěn)定平衡點法(closest UEP)、 主導不穩(wěn)定平衡點法(controlling UEP)[10]、位能界面曲線方法(potential energy boundary surface,PEBS)[12]、基于穩(wěn)定邊界的主導不穩(wěn)定平衡點法(boundary of stability region based controlling UEP,BCU)[13]、擴展等面積定則(extended equal area criterion,EEAC)[14]等.

通常直接法判斷暫態(tài)穩(wěn)定的步驟為: 首先認為系統(tǒng)故障前工作于穩(wěn)定狀態(tài),通過逐步積分法計算故障中的故障軌跡,然后根據(jù)不同直接法的計算步驟計算相應的臨界能量值,進一步將故障切除時刻的能量函數(shù)值與臨界能量值相比較,若小于臨界能量值則暫態(tài)穩(wěn)定,反之則暫態(tài)失穩(wěn).其中關鍵問題在于如何計算相應故障下的臨界能量值.早期方法有最近不穩(wěn)定平衡點法和主導不穩(wěn)定平衡點法,這兩種方法基于這樣的事實: 穩(wěn)定平衡點的穩(wěn)定邊界是由系統(tǒng)不穩(wěn)定平衡點的穩(wěn)定流形并集所構成.最近不穩(wěn)定平衡點法采用計算所有不穩(wěn)定平衡點中最小的能量函數(shù)值為臨界能量值.這種估計方法獨立于故障時的軌跡,結果過于保守而無法廣泛應用.主導不穩(wěn)定平衡點定義為穩(wěn)定流形包含故障時軌線在穩(wěn)定邊界上的出口點的平衡點.主導不穩(wěn)定平衡點法采用主導不穩(wěn)定平衡點的能量函數(shù)值為臨界能量值.這種方法針對故障特性類型來估計穩(wěn)定域,因而有更高的精度.在后續(xù)發(fā)展的位能界面曲線方法中,位能界面曲線為從穩(wěn)定平衡點出發(fā)沿任意方向聯(lián)結位能最大值點形成的曲面,將故障中軌跡與位能界面曲線的交點的能量函數(shù)值為臨界能量.但有時可能給出錯誤的估計,為克服這一困難,人們將基于穩(wěn)定邊界的主導不穩(wěn)定平衡點法結合主導不平衡點法和位能界面曲線法,利用故障中軌線與位能界面曲線的交點找到原系統(tǒng)的主導不穩(wěn)定平衡點.這種方法保證穩(wěn)定域的精確估計,并提高了計算速度.

在另一方面,20世紀80年代中期,我國薛禹勝院士和比利時Pavella教授提出了擴展等面積定則方法,將系統(tǒng)中的多臺機劃分為兩互補群,并用每個群所屬機相角的加權平均值作為該群等值機的相角,原多機空間被映射至等值兩機空間,這種概念被稱為部分慣量中心(PCOI)映射.不同的劃分機群的方法會有不同的兩機映像子系統(tǒng),其中最嚴重的映像子系統(tǒng)的臨界條件就是原多機系統(tǒng)的穩(wěn)定極限條件,所以PCOI映射保留了穩(wěn)定特性和臨界條件.每個映像子系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為當次擺動不經(jīng)過映像加速功率為零值的動態(tài)鞍點,這與傳統(tǒng)等面積定則方法類似,通常被稱為擴展等面積定則.

圖6 VSC單機并網(wǎng)系統(tǒng)控制框圖Fig.6.Schematic show of a grid-connected VSC system and its controllers.

3 電力電子化電力系統(tǒng)模型及暫態(tài)穩(wěn)定分析

3.1 VSC的系統(tǒng)模型

三相電壓源型功率變化器(VSC)具有控制交流與直流系統(tǒng)之間功率交換的能力,是電力電子化系統(tǒng)中最常見的設備,廣泛應用于光伏發(fā)電、風力發(fā)電、柔性輸電、無功補償中[4,5].本文將以VSC為例介紹電力電子設備暫態(tài)行為的基本特點.圖6為一個典型的單機VSC并網(wǎng)系統(tǒng)的電路圖和控制框圖.VSC的控制器工作在 dq 鎖相旋轉坐標系下,其中鎖相環(huán)控制器(phase-locked loop,PLL)實現(xiàn)了d軸與端電壓相位之間的同步,并為控制器提供相位基準.a bc 三相靜止坐標系下交流控制量經(jīng)派克變換為 dq 坐標系下相應的直流信號,接著通過比例積分控制器(PI控制器)對其進行控制.電氣量中d軸分量又稱為有功分量,q軸分量又稱為無功分量.在有功控制支路,直流電壓控制器與有功電流控制器級聯(lián),分別控制有功電流和有功內(nèi)電動勢以實現(xiàn)維持直流電壓穩(wěn)定的功能;在無功控制支路,端電壓控制器與無功電流控制器級聯(lián),分別控制無功電流和無功內(nèi)電動勢以實現(xiàn)維持端電壓穩(wěn)定的功能.最后有功和無功內(nèi)電動勢指令值變換回abc三相坐標系下,并經(jīng)脈沖寬度調(diào)制(PWM)技術控制開關二極管生成實際內(nèi)電動勢電壓,從而實現(xiàn)從直流(圖6左端)到三相交流(圖6右端)的功率轉換.在圖6所示的矢量控制中,不同帶寬的控制環(huán)路彼此相互級聯(lián),構成了電力電子設備控制系統(tǒng)的基本結構.

VSC的控制環(huán)路和所控制的電氣量展現(xiàn)出多時間尺度的特性.這里我們強調(diào),多時間尺度是一般非線性系統(tǒng)的普遍特征[51,52].一般而言,內(nèi)環(huán)電流控制器的響應速度最快,為10 ms左右;外環(huán)直流電壓控制器、端電壓控制器和鎖相環(huán)的速度稍慢,為100 ms左右.根據(jù)不同控制器的響應速度,可將VSC設備劃分為電壓控制時間尺度和電流控制時間尺度.對于電力系統(tǒng)的短路故障,相應的保護動作時間為幾百毫秒到幾秒,在這一時間尺度下電壓控制環(huán)將主導系統(tǒng)動態(tài).本文將重點考慮電壓時間尺度的動態(tài),并與全時間尺度模型仿真相比較.模型假設如下:

1)直流側的輸入功率 Pin保持不變;

2)忽略電流環(huán)動態(tài),有功和無功電流值將始終等于其參考值(id=idref,iq=iqref);

3)電感用相量描述;在這一條件下電感的電壓電流關系為代數(shù)關系,(Xg=jω0Lg,Xf=jω0Lf);

4)變流器采用平均模型,忽略變流器損耗和線路電阻損耗.

由此,在電壓時間尺度下,模型得到簡化.其控制框圖如圖7所示,符號的意義已在圖6中標注.根據(jù)該控制框圖,以下將推導系統(tǒng)的狀態(tài)方程.選取狀態(tài)變量為 X=[U,θ,Udc,θpll,xpll]T,其中xpll為鎖相環(huán)控制器相關的中間變量.端電壓控制器和直流電壓控制器均采用PI控制,其微分方程為:

鎖相環(huán)控制器由一個積分器和一個PI控制器組成,表現(xiàn)出二階動態(tài)特性:

其中 xpll為中間狀態(tài)量.

直流電容通過吸收不平衡的功率來維持直流側電壓在正常范圍:

進一步有

交流電感采用相量模型,故流經(jīng)電感的電流相量落后于兩端電壓相量90°:

在 dq 坐標系下表示為:

其中 ugd和ugq分 別為無窮大母線電壓 Ug在 dq 坐標軸下的投影,

VSC端電壓的幅值與相位為:

將方程(20)和(21)對時間求導,可得到

聯(lián)立方程(14),(15),(17),(19),和(22),消去中間變量,系統(tǒng)的狀態(tài)方程整理為:

圖7 VSC電壓時間尺度模型系統(tǒng)控制框圖Fig.7.Schematic show of the control diagram of the VSC system within the voltage timescale.

其中f2—f11均為含θ,θpll,U,和Udc的非線性函數(shù),詳見附錄A.

3.2 分岔分析

首先令狀態(tài)方程右側等于零來得到平衡點.觀察到方程組(23)右側多項式中的每一項都含有以下因式中的一項:U-Uref,sin(θ- θpll),xpll,因此狀態(tài)方程等于零的解即為上述因式為零的解.可得系統(tǒng)存在兩個平衡點:

和

進一步,我們可對系統(tǒng)做分岔分析;具體結果如圖8所示,用實線表示穩(wěn)定不動點,虛線表示非穩(wěn)不動點.可發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)在 Ug較大時存在兩個平衡點的 θ 小于 90°,為系統(tǒng)正常運行時的工作點,中 θ 大于 90°,為非穩(wěn)平衡點.隨著 Ug的減小,兩個平衡點逐漸靠近并碰撞后消失,此時的分岔可稱為廣義鞍結點分岔.此外,我們發(fā)現(xiàn) Xequ在此之前就已經(jīng)通過亞臨界霍普夫分岔失穩(wěn)(對應的非穩(wěn)極限環(huán)在圖中沒有顯示).進一步在圖8的小圖中,圍繞分叉參數(shù)點附近的本征值分布顯示: 在系統(tǒng)正常運行于穩(wěn)定的 Xequ參數(shù)區(qū)域時,系統(tǒng)的五個特征根(λ1-5)全部位于復數(shù)空間的左半平面,但當 Ug減少時,有一對特征根(λ1,2)逐漸靠近并穿過虛軸,系統(tǒng)發(fā)生了霍普夫分岔失穩(wěn).經(jīng)計算,Ug的分岔點為 Uhopf=0.645 .系統(tǒng)參數(shù)見附錄B.

圖8 參數(shù) Ug 變化時的分岔圖(包含亞臨界霍普夫分岔和廣義鞍結點分岔).小圖中顯示 Ug 減小時經(jīng)過霍普夫分岔點的特征根軌跡Fig.8.Bifurcation diagram with the variation of Ug including a sub-critical Hopf bifurcation and a generalized saddlenode bifurcation.The sub-figure shows the eigenvalue traces when Ug decreases and passes through the Hopf bifurcation point.

3.3 暫態(tài)穩(wěn)定分析

3.3.1 暫態(tài)現(xiàn)象特征

我們在Matlab/SIMULINK中分別按照圖6和圖7搭建了VSC單機并網(wǎng)系統(tǒng)的詳細模型和只考慮電壓控制時間尺度的簡化模型.設置典型故障為: t=0.1 s時無窮大母線電壓 Ug突然從Ug=1.0跌落,并持續(xù)一段時間后電壓完全恢復.持續(xù)時間記為 Tdur.不失一般性,選取參數(shù)電壓跌落深度Ug=0.65和持續(xù)時間 Tdur=0.5 s,VSC的端電壓的幅值和相位的響應如圖9所示.

如圖9所示,電力電子設備在暫態(tài)擾動的過程中表現(xiàn)出明顯的多時間尺度特征.顯然詳細模型的時域波形含有兩種不同頻率的振蕩成分: 即由電壓控制環(huán)主導的10 Hz左右的低頻振蕩和由電流環(huán)主導的50 Hz左右的高頻振蕩,尤其高頻振蕩在故障發(fā)生(t=0.1 s)和故障恢復(t=0.6 s)后能夠很快衰減.可見電壓尺度模型的時域波形很好地保留了詳細模型時域波形中的低頻成分,這也說明該模型在暫態(tài)過程分析中的合理性.

圖9 VSC電壓時間尺度模型與詳細模型在暫態(tài)故障后的響應對比Fig.9.Response comparison between the voltage timescale VSC system and the detailed VSC system after transient fault.

觀察圖9中故障發(fā)生時和故障切除時的波形,可發(fā)現(xiàn)其端電壓幅值和相角展現(xiàn)出不連續(xù)跳躍的特征.進一步從控制框圖(圖7)可看出,系統(tǒng)中的積分環(huán)節(jié)輸出是連續(xù)的,而代數(shù)環(huán)節(jié)的輸出則完全由當前時刻的輸入決定.在本例中VSC端電壓中PI環(huán)節(jié)的比例支路與網(wǎng)絡代數(shù)方程形成了反饋控制環(huán)路,構成了完整的代數(shù)環(huán).當該代數(shù)環(huán)中一個量發(fā)生突變(如文中考慮的電壓跌落),其他變量將立即隨之發(fā)生改變.故在故障發(fā)生和故障切除的兩個時刻,代數(shù)環(huán)中的狀態(tài)變量出現(xiàn)突變,并將為之前的耦合微分方程組(22)提供新的初始值.由此可見,微分-代數(shù)關系將決定整個系統(tǒng)的暫態(tài)行為,而代數(shù)環(huán)的存在將使電力電子設備的暫態(tài)分析變得更加復雜.

3.3.2 臨界故障切除時間

進一步地,可通過分析不同故障深度和故障持續(xù)時間下的系統(tǒng)穩(wěn)定性,來獲得工程上感興趣的臨界故障切除時間.顯然故障深度越深和故障持續(xù)時間越長,系統(tǒng)越不穩(wěn)定.對于跌落較深的故障,只有及時切除才能保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性.隨著故障深度變淺,臨界故障切除時間將趨向于無窮,我們通過數(shù)值計算發(fā)現(xiàn)臨界參數(shù) Ucritical≈0.654 .當Ug＞Ucritical時,即使不切除故障系統(tǒng)也可以保持穩(wěn)定.由于小擾動穩(wěn)定是大擾動穩(wěn)定的前提條件,有 Ucritical＞Uhopf.

我們還發(fā)現(xiàn)VSC在失穩(wěn)的過程中表現(xiàn)出與同步機暫態(tài)穩(wěn)定相類似的多擺現(xiàn)象.由于故障深度越深,θ 發(fā)散的速度越快,擺動的周期越少,而處于同一擺動周期的臨界清除時間幾乎相同.所以對應地可觀察到臨界故障切除時間呈現(xiàn)出階梯狀結構.具體細節(jié)可參考我們的近期文章[49].

3.4 VSC與同步機多機系統(tǒng)模型

同2.3節(jié)中傳統(tǒng)的多機系統(tǒng)一樣,含有VSC的電力系統(tǒng)依然可描述為一組非線性微分代數(shù)方程組.圖10(a)所示為一個同時含有VSC和同步機的多機耦合系統(tǒng).同步機節(jié)點相關方程已在之前講述,如(11)式—(13)式.假設第j節(jié)點為VSC節(jié)點,由單機模型中(14)式,(15)式和(17)式可進一步整理得微分方程組:

及VSC設備的輸出電流方程:

因此VSC向網(wǎng)絡中注入的有功功率和無功功率為:

結合潮流方程(13),可構建VSC與同步機多機耦合系統(tǒng)模型.圖10(b)展示了該模型中微分代數(shù)方程組之間變量的傳遞關系.顯然在多機模型中,VSC設備仍然表現(xiàn)出基本的功率交換的形式.由此可看出VSC與同步機在模型上的統(tǒng)一性,但同時也可看出,同步機相關方程之間的變量傳遞關系相對簡單,非線性項單一,而對比VSC相關微分方程與代數(shù)方程耦合關系強,非線性項復雜.據(jù)作者們了解,現(xiàn)在還沒有電力電子化電力系統(tǒng)多裝備的非線性統(tǒng)一模型,以及進一步的多電力電子系統(tǒng)非線性分析方法,相應的多機暫態(tài)分析的研究仍在探索階段.

圖10 (a)VSC與同步機多機耦合系統(tǒng)和(b)其微分代數(shù)方程組中變量傳遞關系Fig.10.(a)A multi-machine power system with VSC devices and synchronous generators and(b)its variable relations in differential algebraic equations.

4 討 論

電力系統(tǒng)作為目前最復雜的人造系統(tǒng),具有非線性、多時標、復雜性的物理本質(zhì)[51,52].電力電子設備控制方式的多樣化及其多機復雜相互作用使得這些性質(zhì)表現(xiàn)更加明顯.電力電子化電力系統(tǒng)暫態(tài)與傳統(tǒng)電力系統(tǒng)暫態(tài)的區(qū)別可初步總結在表1中.

傳統(tǒng)電力系統(tǒng)中節(jié)點電壓與注入電磁功率之間關系(潮流方程)是最主要的非線性環(huán)節(jié).而在電力電子化電力系統(tǒng)中,PLL同步方式、保護控制的切換和限幅與坐標變換等非線性環(huán)節(jié)經(jīng)過反饋控制環(huán)路相互交織在一起,使得非線性作用關系變得極為復雜.本文中得到了只考慮電壓時間尺度下的五階微分方程,從非線性動力學的角度來看已經(jīng)非常復雜,其中包括了十余個非線性函數(shù).其顯然不同于非線性物理界熟知的低階非線性系統(tǒng),如洛倫茲振子、盧瑟振子、達芬振子等.電力電子化電力系統(tǒng)的非線性環(huán)節(jié)的處理將非常棘手,為進一步理論分析帶來了巨大困難.另外,需強調(diào)的,本文只是針對并網(wǎng)變換器這一小模塊在通常矢量控制方式下開展了建模分析,并未考慮更為復雜的限幅環(huán)節(jié)、附加暫態(tài)輔助控制、風機的機側變換器、風機的機械轉子動態(tài)等.

傳統(tǒng)電力系統(tǒng)中同步機轉子的慣性時間常數(shù)遠大于電磁元件,如電感的時間常數(shù),由此可劃分出獨立的機電時間尺度與電磁時間尺度.在通常電力系統(tǒng)動態(tài)分析中,研究人員可以集中針對機電時間尺度下的動力學行為來研究.由此,搖擺方程才在傳統(tǒng)電力系統(tǒng)動態(tài)分析中處于中心地位.而與之相對應,電力電子化電力系統(tǒng)級聯(lián)矢量控制的多樣化控制器參數(shù)和其控制的物理量共同決定了時間尺度的劃分,如電流控制環(huán)與交流電感共同決定了電流時間尺度動態(tài),電壓控制環(huán)與直流電容共同決定了電壓時間尺度動態(tài),對于雙饋風機還有轉速控制器與機械轉子共同決定的機電時間尺度等.這些不同時間尺度受控制參數(shù)與系統(tǒng)參數(shù)的影響,相互作用明顯.如何做多時間尺度分離,或者在什么條件下可以這樣做都是值得研究的課題.當前我們還未有普遍接受的類似于同步發(fā)電機的不同階數(shù)的實用動力學模型.另外值得指出的,圖10中的多VSC與同步機模型可以看成是傳統(tǒng)電力系統(tǒng)暫態(tài)模型在電力電子化電力系統(tǒng)中的推廣,具有普遍適用性,但其還只是適用于電壓控制時間尺度下的動態(tài)分析,如果要包含考慮更快的電流時間尺度動態(tài),不光VSC模型部分將變得更為復雜,原有網(wǎng)絡部分準穩(wěn)態(tài)代數(shù)模型也將用詳細的電磁暫態(tài)微分模型來替代,由此將造成理論分析上的更大的困難.如何克服電力電子化電力系統(tǒng)動態(tài)網(wǎng)絡部分的分析問題無疑是一大核心挑戰(zhàn).

同步發(fā)電機在受擾后,表現(xiàn)出由轉子運動方程決定的二階特性,考慮多機系統(tǒng),雖然系統(tǒng)階數(shù)也隨著同步機數(shù)量的增多而增多,但是各同步機的特性相似,相互耦合作用也較為清晰.而在電力電子化系統(tǒng)中,裝備受到故障擾動后多時標控制器狀態(tài)量間關系緊密,系統(tǒng)響應特性將明顯區(qū)別于二階系統(tǒng).雖然當前有不少研究工作將電力電子裝備動態(tài)特性類比于人們所熟悉的二階線性動態(tài)系統(tǒng),如只針對其中的鎖相環(huán)動態(tài),或直流電容上的電壓動態(tài)等,從而得到簡化模型.但是,電力電子裝備本質(zhì)上都是由控制器所決定的高維動力系統(tǒng),這樣簡化是值得懷疑的.而另一方面,考慮到多機系統(tǒng)時的高維系統(tǒng)特性將更加明顯,若不經(jīng)任何簡化,又往往會面臨維數(shù)災困難.舉一個典型的例子,一個風電場通常由上百臺雙饋風機或直驅(qū)風機所構成,如何分析其動態(tài)相互作用以及可能的振蕩無疑是非常有挑戰(zhàn)的問題.

表1 電力電子化系統(tǒng)與傳統(tǒng)電力系統(tǒng)暫態(tài)問題初步比較Table 1.Comparison of transient problems between Power-electronic-based power systems and traditional power systems.

綜上,電力電子化電力系統(tǒng)是一個非線性、多時標、復雜性特征明顯的高維動力系統(tǒng),具有多樣化設備跨尺度相互作用的特點.類似的復雜系統(tǒng)問題也普遍存在于如機械振動分析、氣象預報、地震監(jiān)測、生物神經(jīng)網(wǎng)絡、人類經(jīng)濟行為等眾多復雜性學科之中,不同時間和空間尺度上節(jié)點的多樣性和其復雜耦合相互作用關系是二十一世紀復雜系統(tǒng)學科的共同挑戰(zhàn).由此急需嘗試借鑒復雜系統(tǒng)等學科的研究成果,從物理機理出發(fā),探索電力電子化電力系統(tǒng)穩(wěn)定性分析和控制方法,建立起新的動態(tài)研究的框架和體系.本文拋磚引玉,希望能夠得到復雜系統(tǒng)和統(tǒng)計物理研究同行的關注,共同開展電力網(wǎng)絡與復雜系統(tǒng)的交叉研究,為國家的能源轉型貢獻一份力量.

附錄A

狀態(tài)方程(23)式中f2-f11的表達式,其中f1是f2-f11中的因式,未直接出現(xiàn)在狀態(tài)方程中.

附錄B

仿真參數(shù)如下.

控制參數(shù): 1)直流電壓控制 kp1=3.5,ki1=140,端電壓控制 kp2=1,ki2=100;2)電流控制 kp3=0.3,ki3=160;3)PLL kp4=50,ki4=2000 .

工作點: Pe0=0.8,Qe0=0.167,U0=1,and θ0=0.412rad.