氣動(dòng)三自由度并聯(lián)機(jī)器人設(shè)計(jì)與仿真分析

劉 昱，彭 鋒，趙國(guó)新，張立業(yè)，李 菲

(北京石油化工學(xué)院信息工程學(xué)院，北京 102617)

近年來，并聯(lián)機(jī)器人一直是研究的熱點(diǎn)[1-2]，具有承載能力強(qiáng)、微動(dòng)精度高和逆解簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)[3]，廣泛應(yīng)用于醫(yī)療機(jī)器人、航空、軍事和工業(yè)自動(dòng)化等領(lǐng)域。1965年Stewart平臺(tái)被提出[4]，隨后Tsai[5]首次提出3-UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)，對(duì)機(jī)構(gòu)的自由度進(jìn)行了分析并建立了正逆運(yùn)動(dòng)學(xué)模型。羅友高等[6]研究了純平移3-UPU并聯(lián)機(jī)器人的工作空間及其與幾何的關(guān)系。蒲志新等[7]運(yùn)用極限搜索法結(jié)合MATLAB軟件求得機(jī)構(gòu)的工作空間。朱小蓉等[8]研制了一種三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的樣機(jī)。趙軒等[9]通過模型仿真得到伺服電動(dòng)缸的缸長(zhǎng)變化曲線，顯示了平臺(tái)在六個(gè)自由度上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。李仕華等[10]對(duì)一種特殊的3-UPU并聯(lián)角臺(tái)機(jī)構(gòu)的瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)特性進(jìn)行了分析，繪制了上下平臺(tái)平行時(shí)所有運(yùn)動(dòng)螺旋的空間分布圖。韓雪艷等[11]分析了具有連續(xù)轉(zhuǎn)軸的新型3-UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)特性。

筆者采用三維建模軟件設(shè)計(jì)了3-UPU并聯(lián)機(jī)器人物理模型，該機(jī)器人采用氣浮無摩擦缸作為驅(qū)動(dòng)器且具有一定的輸出力特性[12]。根據(jù)該機(jī)器人幾何關(guān)系推導(dǎo)其運(yùn)動(dòng)學(xué)方程并基于數(shù)值解法得到機(jī)器人的工作空間；采用遍歷法求解機(jī)器人各支鏈旋轉(zhuǎn)角度范圍；從而得到該機(jī)器人在其工作空間的最大輸出力分布情況。結(jié)果表明該機(jī)器人具有良好的運(yùn)動(dòng)學(xué)性能。

1 機(jī)器人設(shè)計(jì)與理論分析

1.1 機(jī)器人設(shè)計(jì)

采用三維建模軟件設(shè)計(jì)3-UPU并聯(lián)機(jī)器人物理模型，如圖1所示。該機(jī)器人的動(dòng)平臺(tái)和靜平臺(tái)均為正三角形，3條相同支鏈的兩端分別連接到虎克鉸的一側(cè)，虎克鉸的另一側(cè)通過幾何約束對(duì)稱連接到2個(gè)平臺(tái)的三角形頂點(diǎn)。其中U代表虎克鉸，通過其使兩關(guān)節(jié)之間具有2個(gè)獨(dú)立的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，具有2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)的自由度；P代表3-UPU并聯(lián)機(jī)器人移動(dòng)副，其允許兩構(gòu)件沿公共軸線作相對(duì)直線運(yùn)動(dòng)。

1.2 機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程

3-UPU并聯(lián)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)圖如圖2所示。靜平臺(tái)為正三角形A1A2A3，其所在的外接圓圓心為O0，半徑為R，支鏈依次為Pi(i=1，2，3)，其中Ai(i=1，2，3)依次為3條支鏈的上頂點(diǎn)。建立絕對(duì)坐標(biāo)系O0x0y0z0，x0軸正方向由O0指向A2，z0軸正方向垂直于平面A1A2A3向下，在絕對(duì)坐標(biāo)系下Ai(i=1，2，3)的坐標(biāo)分別為：

A2(R，0，0)；

動(dòng)平臺(tái)為正三角形M1M2M3，其所在的外接圓圓心為O，半徑為r，其中Mi(i=1，2，3)依次為3條支鏈的下頂點(diǎn)。建立局部坐標(biāo)系Oxyz，x軸正方向由O指向M2，z軸正方向垂直于平面M1M2M3向下，在絕對(duì)坐標(biāo)系Oxyz下Mi(i=1，2，3)的坐標(biāo)分別為：

M2(r，0，0)；

根據(jù)該機(jī)器人的幾何特點(diǎn)，運(yùn)用矢量法可得下列矢量方程：

AiMi=-O0Ai+O0O+OMi，(i=1，2，3)

(1)

|AiMi|=li，(i=1，2，3)

(2)

式中：li(i=1，2，3)表示第i個(gè)支鏈的長(zhǎng)度。如果設(shè)O點(diǎn)的絕對(duì)坐標(biāo)為(x，y，z)，則O0O可以表示為：

O0O=[xyz]T

(3)

O0Ai表示為：

O0A2=[R0 0]T

(4)

OMi表示為：

OM2=[r0 0]T

(5)

令Δ=R-r，得到機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解：

(6)

進(jìn)一步得到機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解：

(7)

2 工作空間分析

根據(jù)實(shí)際支鏈長(zhǎng)度采用遍歷法得到滿足機(jī)器人約束條件的所有坐標(biāo)點(diǎn)集并可視化顯示，從而得到該機(jī)器人的工作空間。

已知支鏈采用的氣浮無摩擦缸最小長(zhǎng)度lmin=420 mm，最大長(zhǎng)度lmax=720 mm，則各支鏈長(zhǎng)度li(i=1，2，3)滿足關(guān)系式：

lmin≤li≤lmax

(8)

根據(jù)該機(jī)器人裝配關(guān)系可知，當(dāng)其處于初始位置時(shí)，支鏈初始長(zhǎng)度l0=570 mm，支鏈與靜平臺(tái)初始夾角θ0=45°，可以求解出Δ=403.05 mm，通過MATLAB軟件仿真計(jì)算得到3-UPU并聯(lián)機(jī)器人工作空間，如圖3(a)所示，其在xy平面上的投影如圖3(b)所示，工作空間為帽子形，空間邊界曲線連續(xù)且光滑。

工作空間分布如表1所示，其動(dòng)平臺(tái)在x，y，z方向最大位移均接近0.5 m。

表1 工作空間分布

3 力學(xué)性能分析

為了獲取該機(jī)器人在其工作空間的力學(xué)性能，分別從x，y，z三個(gè)方向進(jìn)行輸出力分析，設(shè)三個(gè)方向輸出力為Fx、Fy和Fz。

3.1 x方向輸出力分析

根據(jù)該機(jī)器人的幾何關(guān)系得到x方向輸出力為：

Fx=f(cosθ1cosα1+cosθ2cosα2+

cosθ3cosα3)

(9)

式中：f表示單個(gè)氣浮無摩擦缸的輸出力；θi(i=1，2，3)分別表示各支鏈與動(dòng)平臺(tái)的夾角；αi(i=1，2，3)分別表示各支鏈在動(dòng)平臺(tái)上的投影所在的直線與動(dòng)平臺(tái)坐標(biāo)系x軸的夾角。

已知該氣浮無摩擦缸缸徑rp=10 mm，氣壓p=0.5 MPa，可得到單個(gè)氣缸輸出力f約為157 N。

取動(dòng)平臺(tái)法向量n0=[0 0 1]T，根據(jù)機(jī)器人的幾何關(guān)系得到各支鏈與動(dòng)平臺(tái)的夾角θi(i=1，2，3)為：

θi=arccos(n0·AiMi/(|n0||AiMi|))

(10)

根據(jù)機(jī)器人的幾何關(guān)系得到各支鏈在動(dòng)平臺(tái)上投影所在的直線與動(dòng)平臺(tái)坐標(biāo)系x軸的夾角αi(i=1，2，3)為：

(11)

聯(lián)立式(1)、(2)、(3)、(4)、(5)、(8)、(9)、(10)、(11)可計(jì)算得到該機(jī)器人在其工作空間上沿x方向輸出力范圍為Fx∈[132.33 N，301.33 N]。輸出力分布圖如圖4所示，其在xy平面上投影如圖4(b)所示。為方便展示，將其分成3個(gè)區(qū)間，分割參數(shù)如表2所示。由圖4可以看出，隨著z逐漸減小，F(xiàn)x逐漸增大，在點(diǎn)(0，0，118.11)處Fx取最大值，最大值為301.33 N。

表2 x方向輸出力Fx(N)分布表

3.2 y方向輸出力分析

同理，根據(jù)該機(jī)器人的幾何關(guān)系得到y(tǒng)方向輸出力公式為：

Fy=f(cosθ1cosβ1+cosθ2cosβ2+

cosθ3cosβ3)

(12)

式中：βi(i=1，2，3)表示各支鏈在動(dòng)平臺(tái)上的投影所在的直線與動(dòng)平臺(tái)坐標(biāo)系y軸的夾角。由機(jī)器人幾何關(guān)系得：

(13)

聯(lián)立式(1)、(2)、(3)、(4)、(5)、(8)、(10)(11)、(12)、(13)可計(jì)算得到該機(jī)器人在其工作空間上沿y方向輸出力范圍為Fy∈[152.23 N，260.96 N]。輸出力分布圖如圖5所示，其在xy平面上投影如圖5(b)所示。為方便展示，將其分成3個(gè)區(qū)間，分割參數(shù)如表3所示。由圖5可以看出，隨著z逐漸減小，F(xiàn)y逐漸增大，在點(diǎn)(0，0，118.11)處Fy取最大值，為260.96 N。

表3 y方向輸出力Fy(N)分布表

3.3 z方向輸出力分析

同理，根據(jù)該機(jī)器人的幾何關(guān)系得到z方向輸出力公式為：

Fz=f(sinθ1+sinθ2+sinθ3)

(14)

聯(lián)立式(1)、(2)、(3)、(4)、(5)、(8)、(14)可計(jì)算得到該機(jī)器人在其工作空間上沿z方向輸出力范圍為Fz∈[132.45 N，390.29 N]。輸出力分布圖如圖6所示，其在xy平面上投影如圖6(b)所示。為方便展示，將其分成3個(gè)區(qū)間，分割參數(shù)如表4所示。由圖6可以看出，隨著z逐漸增大，F(xiàn)z逐漸增大，在點(diǎn)(0，0，596.62)處Fz取最大值，為390.29 N。

表4 z方向輸出力Fz(N)分布表

4 結(jié)論

設(shè)計(jì)一種具有良好運(yùn)動(dòng)學(xué)性能的氣動(dòng)3-UPU并聯(lián)機(jī)器人，對(duì)其進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，并介紹了其特點(diǎn)和目前應(yīng)用的領(lǐng)域。根據(jù)機(jī)器人幾何關(guān)系推導(dǎo)其運(yùn)動(dòng)學(xué)方程并基于數(shù)值解法得到該機(jī)器人的工作空間；采用遍歷法求解機(jī)器人各支鏈旋轉(zhuǎn)角度范圍，從而得到該機(jī)器人在其工作空間的最大輸出力分布情況。該機(jī)器人動(dòng)平臺(tái)在x，y，z方向的位移均接近0.5 m；其在點(diǎn)(0，0，118.11)處x，y方向輸出力均取最大值，分別為301.33 N和260.96 N，在點(diǎn)(0，0，596.62)處z方向輸出力取最大值，為390.29 N。通過分析可知，該機(jī)器人具有良好的運(yùn)動(dòng)學(xué)性能，為進(jìn)一步的研究提供了依據(jù)，在工業(yè)自動(dòng)化等實(shí)際應(yīng)用中具有重要意義。