三維激光球桿儀的系統(tǒng)誤差分析與補(bǔ)償

徐 良，婁志峰，田雨辰，李 影，王立鼎

(大連理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，遼寧大連 116024)

0 引言

隨著智能制造的發(fā)展，對具有更好重復(fù)性和更高空間定位精度的工業(yè)機(jī)器人需求不斷增長，尤其在航空、汽車等制造行業(yè)［1］。激光跟蹤儀作為工業(yè)機(jī)器人的高效校正儀器，其需求也持續(xù)增加［2］。激光跟蹤儀由精密測距系統(tǒng)和精密測角系統(tǒng)組成，是一種便捷式、高精度三維空間坐標(biāo)測量系統(tǒng)，但由于制造、安裝的原因，系統(tǒng)將不可避免地存在精密二維轉(zhuǎn)臺(tái)兩旋轉(zhuǎn)軸不垂直、不相交，出射光與水平軸不垂直，編碼器安裝偏心等未對準(zhǔn)誤差［3－5］。這些系統(tǒng)誤差對激光跟蹤儀空間坐標(biāo)測量精度產(chǎn)生了重要影響，因此對激光跟蹤儀各主要誤差源進(jìn)行精確的測量及補(bǔ)償，可有效地提高激光跟蹤儀空間坐標(biāo)的測量精度。

自1985年美國國家標(biāo)準(zhǔn)技術(shù)研究所(NIST)的Lau等提出基于球坐標(biāo)法的激光跟蹤測量系統(tǒng)以來［6］，激光跟蹤儀的誤差機(jī)理及精度分析一直是國內(nèi)外學(xué)者研究的熱點(diǎn)。Loser與Muralikrishnan等分別系統(tǒng)地分析了帶反射轉(zhuǎn)鏡和無反射轉(zhuǎn)鏡兩類激光跟蹤儀的誤差源，以幾何分析法建立了幾何誤差模型，并利用長度測量和正倒鏡測量法對各項(xiàng)誤差進(jìn)行了間接標(biāo)定［7－9］。Hughes等對 Muralikrishnan 無反射轉(zhuǎn)鏡的幾何模型進(jìn)行輕微變體，建立新幾何模型，通過針對優(yōu)化布局的空間網(wǎng)絡(luò)點(diǎn)進(jìn)行測量間接擬合出模型參數(shù)［10］。Cotne等人則采用D－H建模方法建立了無反射轉(zhuǎn)鏡激光跟蹤儀的運(yùn)動(dòng)誤差分析模型，采用迭代搜索誤差參數(shù)矢量值，并與上述的幾何模型進(jìn)行了比對。這些研究基本是采用間接法獲得模型參數(shù)，存在各個(gè)誤差項(xiàng)相互串?dāng)_、難以精確標(biāo)定出各誤差項(xiàng)大小的問題［11］。在國內(nèi)，張黎滋等基于矢量分析與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換相結(jié)合的方法，建立反射轉(zhuǎn)鏡傾斜下跟蹤儀空間測量誤差模型，標(biāo)定了跟蹤儀轉(zhuǎn)鏡傾斜誤差并進(jìn)行補(bǔ)償，但模型未分析跟蹤儀其他的幾何誤差源［12］。宋輝旭等基于激光追蹤測量系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了一套二維萬向節(jié)式回轉(zhuǎn)軸系，并研究了其幾何誤差以及跳動(dòng)誤差與激光追蹤測量系統(tǒng)的測量精度之間的關(guān)系［13］。崔成君等基于幾何光學(xué)原理建立了光軸與豎軸的幾何誤差模型，提出了激光光軸與豎軸的同軸度標(biāo)定方法［14］。這些研究雖然從單向誤差入手，很好地保證各單項(xiàng)誤差的測量精度，但并未考慮各項(xiàng)誤差對整機(jī)的綜合影響，缺乏完整的補(bǔ)償方法。

為解決激光跟蹤儀跟蹤系統(tǒng)復(fù)雜性、成本高等問題，本實(shí)驗(yàn)室自主研制了一種被動(dòng)式的激光跟蹤儀，稱為三維激光球桿儀。為提高該儀器的測量精度，本文系統(tǒng)地分析了影響其測量精度的主要誤差源，并采用多體系統(tǒng)誤差建模方法［15］建立了該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)誤差模型，同時(shí)提出各項(xiàng)誤差參數(shù)的標(biāo)定方法，實(shí)驗(yàn)證明該補(bǔ)償模型能有效提高該儀器的測量精度。

1 三維激光球桿儀誤差建模

1.1 三維激光球桿坐標(biāo)系的建立

如圖1所示，三維激光球桿儀測量系統(tǒng)由2個(gè)軸線垂直裝配的精密轉(zhuǎn)臺(tái)與1個(gè)通過兩旋轉(zhuǎn)中心的徑向伸縮桿組成。系統(tǒng)采用激光多普勒位移計(jì)(LICS100)作為位移測量傳感器，精密二維轉(zhuǎn)臺(tái)的水平編碼器和豎直編碼器作為角度測量傳感器，構(gòu)成一個(gè)三維球坐標(biāo)系統(tǒng)。

圖1 三維激光球桿儀結(jié)構(gòu)示意圖

如圖2所示，三維激光球桿儀伸縮導(dǎo)軌端部的標(biāo)準(zhǔn)球可被空間待測點(diǎn)(如機(jī)械手臂端點(diǎn))磁力吸附。當(dāng)待測點(diǎn)在空間任意運(yùn)動(dòng)時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)球也將被動(dòng)同步運(yùn)動(dòng)，如此被測點(diǎn)的三維空間坐標(biāo)將由三維激光球桿儀實(shí)時(shí)輸出。

圖2 三維激光球桿儀

為將三維激光球桿儀的球坐標(biāo)轉(zhuǎn)為笛卡爾坐標(biāo)，參考坐標(biāo)系建立如圖1所示。Z軸為二維轉(zhuǎn)臺(tái)的豎直軸，水平方位角為0°時(shí)的水平軸即為X軸，通過右手定則確定系統(tǒng)的參考Y軸，即俯仰角度為0°時(shí)與兩旋轉(zhuǎn)軸標(biāo)準(zhǔn)垂直的光軸，三軸的理想交點(diǎn)為原點(diǎn)O。

1.2 三維激光球桿儀主要誤差源分析與定義

由于加工、裝配的原因，系統(tǒng)不可避免地存在光機(jī)結(jié)構(gòu)誤差。如圖3所示，精密二維轉(zhuǎn)臺(tái)的豎直軸與水平軸不垂直、不相交，光軸與水平軸不垂直。本文定義豎直軸與水平軸的不垂直度為α，不相交度為Δy，水平軸與光軸的不垂直度為β。同時(shí)由于徑向的伸縮裝置是堆疊的雙層導(dǎo)軌構(gòu)成，其存在導(dǎo)軌的直線度誤差，定義為 δx和 δz。

圖3 三維激光球桿儀主要幾何誤差示意圖

由于系統(tǒng)的二維轉(zhuǎn)臺(tái)為精密二維轉(zhuǎn)臺(tái)，其運(yùn)動(dòng)誤差很小，故本文的研究將忽略精密二維轉(zhuǎn)臺(tái)兩旋轉(zhuǎn)的運(yùn)動(dòng)誤差，只考慮其靜態(tài)幾何誤差。

1.3 三維激光球桿儀誤差補(bǔ)償模型

由三維激光球桿儀測量系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)可知，系統(tǒng)對空間位置的測量可以轉(zhuǎn)化為以下過程:二維轉(zhuǎn)臺(tái)方位旋轉(zhuǎn)部件1帶動(dòng)整個(gè)裝置繞基座0旋轉(zhuǎn)θ角度，然后二維轉(zhuǎn)臺(tái)俯仰旋轉(zhuǎn)部件2帶動(dòng)伸縮板在旋轉(zhuǎn)部件1上俯仰φ角度，最終，徑向伸縮部件標(biāo)準(zhǔn)球3在旋轉(zhuǎn)部件2的伸縮板上伸縮距離R。由文獻(xiàn)［15］可知，總體變換矩陣T為

式中:T01S為繞Z軸旋轉(zhuǎn)θ角度的理想運(yùn)動(dòng)特征矩陣;T12S為繞X軸旋轉(zhuǎn)角度的理想運(yùn)動(dòng)特征矩陣;T23S為滑塊沿導(dǎo)軌在Y軸方向移動(dòng)R的理想特征矩陣，則各特征矩陣如式(2)～式(4)。

根據(jù)運(yùn)動(dòng)鏈關(guān)系，忽略精密二維轉(zhuǎn)臺(tái)的運(yùn)動(dòng)誤差時(shí)，1.2節(jié)所述的誤差源的誤差傳遞矩陣如式(5)～式(7)。

故存在這些靜態(tài)幾何誤差與導(dǎo)軌的直線度誤差時(shí)，三維激光球桿儀末端標(biāo)準(zhǔn)球的實(shí)際坐標(biāo)為

1.4 不同坐標(biāo)系間的坐標(biāo)關(guān)系

對于空間同一點(diǎn)，在不同的坐標(biāo)系下其坐標(biāo)是不一樣的。當(dāng)三維激光球桿儀用于校正空間運(yùn)動(dòng)目標(biāo)動(dòng)態(tài)軌跡精度時(shí)，需要在統(tǒng)一的坐標(biāo)系下比對，而常將測量儀器坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到運(yùn)動(dòng)目標(biāo)坐標(biāo)系下，故存在2個(gè)坐標(biāo)系下的轉(zhuǎn)換。

式中^Ij(I=X，Y，Z;j=A，B)為j坐標(biāo)系下I軸的單位方向向量。

當(dāng)已知參考坐標(biāo)系B的原點(diǎn)在參考坐標(biāo)系A(chǔ)中的坐標(biāo)為APORGB(三維笛卡爾坐標(biāo)構(gòu)成的列向量)時(shí)，則有:

獲得坐標(biāo)變換矩陣后可將三維激光球桿儀測得的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到運(yùn)動(dòng)目標(biāo)(如機(jī)械手臂)坐標(biāo)系下，與運(yùn)動(dòng)目標(biāo)坐標(biāo)實(shí)時(shí)比對。

2 模型參數(shù)的測量原理

2.1 二維轉(zhuǎn)臺(tái)兩旋轉(zhuǎn)角度測角誤差標(biāo)定與補(bǔ)償

二維轉(zhuǎn)臺(tái)中圓光柵編碼器的制造誤差，安裝偏心、傾斜，安裝后變形等都會(huì)帶來測角誤差，而角度測量誤差是影響測量精度的重要因素，故先需對精密二維轉(zhuǎn)臺(tái)的測角誤差進(jìn)行標(biāo)定和補(bǔ)償。如圖4所示，測角誤差標(biāo)定系統(tǒng)由高精度光電自準(zhǔn)直儀、平面反射鏡、多齒分度臺(tái)和二維轉(zhuǎn)臺(tái)組成。當(dāng)二維轉(zhuǎn)臺(tái)自轉(zhuǎn)給定角度，隨后多齒分度臺(tái)作為一個(gè)高精度標(biāo)準(zhǔn)元件帶動(dòng)二維轉(zhuǎn)臺(tái)反轉(zhuǎn)同樣的給定角度，則二維轉(zhuǎn)臺(tái)的測角誤差將在高精度光電自準(zhǔn)儀中顯示，如此旋轉(zhuǎn)一周，就可得到整周誤差。

由于圓光柵的制造、安裝誤差帶來的測角往往不隨時(shí)間改變，故可采用諧波誤差模型擬合，諧波誤差補(bǔ)償模型如式(11)所示［17］。

圖4 角度誤差標(biāo)定裝置示意圖

2.2 垂直度誤差α和β的標(biāo)定

豎直軸和水平軸、水平軸與光軸(導(dǎo)軌軸)的不垂直度都將帶來空間被測點(diǎn)的水平方位角度測量偏差，且其帶來的測量誤差隨裝置的俯仰角度不同而不同。圖5為當(dāng)存在垂直度誤差時(shí)，在不同俯仰角度下，產(chǎn)生的水平測角誤差。

圖5 軸系垂直度誤差帶來的水平測角誤差

當(dāng)兩項(xiàng)誤差同時(shí)存在時(shí)，隨著不同的俯仰角度，共同使得水平方位角度持續(xù)改變，其變化關(guān)系如式:

式中:Δθ為豎直軸編碼器的變化量;φ為俯仰角度。

2.3 豎直軸與水平軸不相交度標(biāo)定

三維激光球桿儀的末端標(biāo)準(zhǔn)球可以在正鏡和倒鏡兩種模式下被空間同一點(diǎn)吸附。理想情況下，倒鏡模式需相對正鏡模式繞豎直軸旋轉(zhuǎn)180°，同時(shí)繞水平軸旋轉(zhuǎn)180°。當(dāng)兩旋轉(zhuǎn)軸存在不相交度Δy時(shí)，如圖6所示，吸附端不動(dòng)，倒鏡模式下右端面將相對于正鏡模式移動(dòng)2Δy。

2.4 導(dǎo)軌直線度誤差δx和δz的測量

伸縮桿的導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)誤差將由準(zhǔn)直儀系統(tǒng)測量，以獲得導(dǎo)軌的上下、左右運(yùn)動(dòng)偏差［18］，本系統(tǒng)需采用準(zhǔn)直儀在線實(shí)時(shí)測量。

圖6 正倒鏡模式下水平軸安裝偏移的影響

3 參數(shù)測量與校正

3.1 二維轉(zhuǎn)臺(tái)兩編碼器測角誤差測量與補(bǔ)償

按圖4所示搭建測角誤差測量裝置。光電自準(zhǔn)儀對準(zhǔn)平面鏡，調(diào)整二維轉(zhuǎn)臺(tái)的回轉(zhuǎn)軸與多齒分度臺(tái)同軸，二維轉(zhuǎn)臺(tái)以10°為間隔朝逆時(shí)針方向自轉(zhuǎn)，同時(shí)多齒分度臺(tái)順時(shí)針回轉(zhuǎn)10°，光電自準(zhǔn)直依次獲得各間隔點(diǎn)的分度誤差。將測得的4組離散數(shù)據(jù)點(diǎn)的均值帶入式(11)中，最小二乘擬合出各諧波項(xiàng)的幅值和相位。由圖7可知，補(bǔ)償后測角誤差在±1″以內(nèi)。

圖7 角度誤差測量結(jié)果圖

3.2 豎直軸與水平軸不相交度Δy測量

兩旋轉(zhuǎn)軸的偏移量Δy的標(biāo)定裝置如圖8所示。調(diào)整底座，使得伸縮端盡可能水平，由萬分表測量正倒鏡模式下端面平面鏡的相對位移。

圖8 正倒鏡測量水平軸安裝偏移

分別記錄測量在正鏡、倒鏡模式下萬分表讀數(shù)，4次實(shí)驗(yàn)讀數(shù)如表1所示。由表1可知，豎直軸與水平軸的不相交度為－12.1 μm，標(biāo)準(zhǔn)差為 0.3 μm。

表1 水平軸與豎直軸不相交度的測量結(jié)果 μm

3.3 垂直度誤差α和β的測量

本文采用精密三軸機(jī)床測量垂直度誤差α和β。如圖9所示，首先，調(diào)整好三維激光球桿儀底座，使得三軸機(jī)床沿X軸運(yùn)動(dòng)時(shí)，二維轉(zhuǎn)臺(tái)的水平軸編碼器讀數(shù)保持不變，然后三軸機(jī)床沿其Z軸移動(dòng)，如此即可獲得俯仰角度與水平方位角度變化關(guān)系。

圖9 標(biāo)定、比對裝置圖

圖10 為俯仰角度與水平角變化量關(guān)系，為保證測量精度，將各組離散數(shù)據(jù)由式(12)最小二乘擬合。5次的擬合均值 α=108.56″，標(biāo)準(zhǔn)差為 2.48″，β= －5.66″，標(biāo)準(zhǔn)差為 0.5″。

圖10 兩垂直度誤差產(chǎn)生的方位編碼器變化關(guān)系圖

4 模型補(bǔ)償效果驗(yàn)證

將上述測得的各項(xiàng)參數(shù)和補(bǔ)償后的角度帶入誤差補(bǔ)償模型中，與精密三軸機(jī)床做補(bǔ)償前后精度比對。為進(jìn)行直接坐標(biāo)比對，需將三維激光球桿儀坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到三軸機(jī)床上。首先，讓精密三軸機(jī)床沿著其X軸運(yùn)動(dòng)，三維激光球桿儀等距采集10點(diǎn)，然后機(jī)床沿其Z軸移動(dòng)時(shí)，三維激光球桿儀以同樣的方式采集10點(diǎn)，并將機(jī)床的起始點(diǎn)定義為坐標(biāo)零點(diǎn)。

將上述測得的各點(diǎn)，進(jìn)行空間直線最小二乘擬合，即可獲得機(jī)床X、Z軸在三維激光球桿儀坐標(biāo)系下的方位，由式(10)即可將三維激光球桿儀捕獲的坐標(biāo)實(shí)時(shí)轉(zhuǎn)換為機(jī)床坐標(biāo)系下。

首先，對補(bǔ)償前后的坐標(biāo)測量精度比對。經(jīng)過上述變換后，機(jī)床分別沿X、Z軸運(yùn)動(dòng)，三維激光球桿儀轉(zhuǎn)換后的坐標(biāo)與機(jī)床內(nèi)部坐標(biāo)直接比對，圖11為機(jī)床沿X、Z軸的補(bǔ)償比對結(jié)果。比對結(jié)果表明，補(bǔ)償后，X軸定位誤差從20 μm減小到8 μm，Z軸定位誤差從60 μm減小到25 μm，補(bǔ)償模型能有效提高三維激光球桿儀的定位精度。

完成單軸坐標(biāo)測量精度比對后，進(jìn)行垂直度誤差補(bǔ)償驗(yàn)證，即當(dāng)機(jī)床只沿Z軸運(yùn)動(dòng)時(shí)，三維激光球桿儀轉(zhuǎn)換后的坐標(biāo)，是否X也保持不動(dòng)。在X軸選離原點(diǎn)任意距離(本文取X=20.37 mm處)，機(jī)床沿Z軸移動(dòng)，比對補(bǔ)償前后三維激光球桿儀轉(zhuǎn)換后X坐標(biāo)的變化量。比對結(jié)果如圖12所示。比對結(jié)果表明，垂直度帶來的系統(tǒng)誤差從120 μm減小到28 μm，模型能有效補(bǔ)償軸系間的誤差。

5 結(jié)束語

本文針對影響三維激光球桿儀測量精度的主要誤差源，采用多體系統(tǒng)誤差建模方法建立了儀器的整機(jī)誤差模型，設(shè)計(jì)了模型各項(xiàng)參數(shù)的標(biāo)定方法，搭建了針對模型各參數(shù)項(xiàng)的精確標(biāo)定裝置，并通過坐標(biāo)系間的轉(zhuǎn)換，與精密三軸機(jī)床進(jìn)行直接坐標(biāo)比對，完成了補(bǔ)償效果驗(yàn)證，得到以下結(jié)論:

(1)通過本文搭建的裝置對二維轉(zhuǎn)臺(tái)水平角和俯仰角進(jìn)行標(biāo)定補(bǔ)償，補(bǔ)償后測角誤差在±1″以內(nèi)。

圖11 補(bǔ)償前后定位誤差比對圖

圖12 補(bǔ)償前后垂直度誤差比對圖

(2)以高精度機(jī)床為參考標(biāo)準(zhǔn)，標(biāo)定出垂直度誤差 α 和 β 的均值分別為 108.56″和－5.66″，正倒鏡法測得豎直軸與水平軸軸系不相交度為－12.1 μm。

(3)通過對以上標(biāo)定的誤差進(jìn)行補(bǔ)償，在180 mm×180 mm的平面空間內(nèi)，垂直度帶來的系統(tǒng)誤差從120 μm 減小到20 μm，X 軸的定位誤差從20 μm 減小到 8 μm，Z 軸的定位誤差從 60 μm 減小到 25 μm。