雙層歐拉梁聲子晶體彎曲振動(dòng)帶隙特性研究

涂靜，史治宇

(南京航空航天大學(xué) 機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 南京 210016)

0 引言

減振降噪問題一直是學(xué)術(shù)界和工程界研究重點(diǎn)之一,特別是飛機(jī)機(jī)翼等很多梁式工業(yè)產(chǎn)品均存在不同程度的振動(dòng)問題，因此對梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行減振研究很有必要。聲子晶體概念的提出為結(jié)構(gòu)減振設(shè)計(jì)和研究指出了新的研究方向。人們發(fā)現(xiàn)某些頻段內(nèi)的彈性波在周期彈性復(fù)合介質(zhì)中傳播時(shí)衰減十分明顯，由此提出了聲子晶體的概念。Bragg散射機(jī)理和局域共振機(jī)理是其帶隙產(chǎn)生的兩種主要機(jī)理，而后者更易通過小尺寸設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)低頻下的減振，因此，研究局域共振型聲子晶體梁結(jié)構(gòu)的帶隙特性將為低頻減振設(shè)計(jì)和優(yōu)化提供理論指導(dǎo)。

關(guān)于局域共振型聲子晶體梁材料性能參數(shù)，宿星亮[1]等人應(yīng)用平面波展開法研究了功能梯度材料周期分布的聲子晶體梁結(jié)構(gòu)的帶隙特性以及功能梯度材料性能對帶隙的影響。左曙光等人[2]基于三參數(shù)Maxwell模型研究了材料粘彈性對單振子聲子晶體梁能帶結(jié)構(gòu)的影響，發(fā)現(xiàn)粘彈性會影響帶隙位置和帶寬，并減弱振動(dòng)衰減幅度。

對于聲子晶體新型結(jié)構(gòu)的研究最為廣泛。張法[3]和高恩武[4]研究了角桿、T型桿等組合型聲子晶體結(jié)構(gòu)的帶隙特性；王興國[5]研究了一維柱殼結(jié)構(gòu)的徑向、扭轉(zhuǎn)及軸向剪切振動(dòng)帶隙；蔣娟娜[6]等人結(jié)合有限元法設(shè)計(jì)并研究了一種新型多重開孔式局域共振聲子晶體結(jié)構(gòu)的帶隙形成機(jī)理和振動(dòng)特性。對于振子式結(jié)構(gòu)，朱學(xué)治等人[7]提出一種含轉(zhuǎn)動(dòng)振子的聲子晶體梁簡化模型，基于傳遞矩陣法研究其能帶結(jié)構(gòu)后指出轉(zhuǎn)動(dòng)振子可以使得聲子晶體梁產(chǎn)生窄頻帶局域共振帶隙和寬頻帶Bragg帶隙。文岐華[8]等人通過傳遞矩陣法得到雙振子歐拉梁的彎曲振動(dòng)能帶結(jié)構(gòu)，并基于ANSYS得到的鋁-橡膠-銅有限周期梁結(jié)構(gòu)振型圖來推測起始、截止頻率；李鎖斌等人[9]建立并研究了互置型雙振子三組元聲子晶體板結(jié)構(gòu)的帶隙特性。此外，舒海生等人[10]在樹脂圓柱體上周期布置橡膠和鉛同心環(huán)構(gòu)成局域共振型梁結(jié)構(gòu)，并指出聲子禁帶截止頻率由鉛塊和梁結(jié)構(gòu)的反相彎曲振動(dòng)決定，而起始頻率由鉛塊無規(guī)則振動(dòng)決定。鑒于縱/橫向振動(dòng)帶隙頻率范圍往往不同步且衰減強(qiáng)度不同，其后來提出角式聲子晶體梁[11]并指出通過彈性波縱/橫波的轉(zhuǎn)換，該結(jié)構(gòu)可以使得3個(gè)方向上的縱向和彎曲振動(dòng)都得到明顯抑制。

以上文獻(xiàn)提出并研究了多種新型聲子晶體梁結(jié)構(gòu)，但全部基于單層梁或者組合桿、柱殼結(jié)構(gòu)，尚未有人對雙層梁結(jié)構(gòu)及其帶隙特性展開深入研究。本文在雙梁之間周期布置彈簧和質(zhì)量塊構(gòu)造出局域共振型聲子晶體雙層歐拉梁結(jié)構(gòu)，采用平面波展開法對帶隙的形成機(jī)制和調(diào)節(jié)規(guī)律進(jìn)行詳細(xì)研究，給出帶隙起始、截止頻率的估算公式并給出理論解釋，最后與相同參數(shù)下的單層梁結(jié)構(gòu)的帶隙特性進(jìn)行了對比。

1 雙層歐拉梁模型

雙層梁晶胞單元周期排列時(shí)，設(shè)相鄰振子之間的距離(即晶格常數(shù))為a，上、下梁的橫截面積均為A,彈簧剛度系數(shù)分別為k1、k2,質(zhì)量塊質(zhì)量為m，如圖1所示。

圖1 雙層歐拉梁模型示意圖

設(shè)雙層歐拉梁上、下梁的位移場函數(shù)分別為y1(x,t)、y2(x,t),質(zhì)量塊m的位移場函數(shù)為z(x,t)，那么雙層歐拉梁的振動(dòng)方程為：

(1)

其中ρ、A、EI分別代表梁的密度、橫截面積、抗彎剛度。

f1(x，t)=-k1[y1(x,t)-z(x,t)]δ(x-a)

(2)

f2(x，t)=-k2[y2(x,t)-z(x,t)]δ(x-a)

(3)

設(shè)y1(x,t)=Y1(x)e-iωt,y2(x,t)=Y2(x)e-iωt，z(x,t)=Z(x)e-iωt,根據(jù)bloch定理可分解為：

(4)

將式(2)-式(4)代入式(1)得到

(5)

將式(5)寫成矩陣形式為：

(6)

式(6)為廣義特征值問題，其中k為第一Brillouin區(qū)Bloch波矢，而G′遍歷該結(jié)構(gòu)倒格矢空間。通過選取N個(gè)倒格矢進(jìn)行計(jì)算，那么式(6)變?yōu)?2N+1)×(2N+1)階矩陣特征值求解問題。對于Brillouin區(qū)內(nèi)的每個(gè)波矢k,均可以求出與其對應(yīng)的特征頻率ω，從而畫出能帶結(jié)構(gòu)圖。若求出的ω存在非零虛部，則說明ω處于帶隙范圍內(nèi)，即頻率為ω的彈性波無法在該結(jié)構(gòu)中穩(wěn)定傳播，必然存在衰減。

2 算例

選擇鋁作為歐拉梁的材料，材料密度等參數(shù)如表1所示,雙層歐拉梁晶胞長度(即晶格常數(shù))a、梁寬b、梁厚h等參數(shù)如表2所示，則梁的橫截面積為A=bh,晶胞中梁的質(zhì)量均為m梁=ρAa=0.0364kg。結(jié)構(gòu)中彈簧剛度系數(shù)均為k。

表1 梁單元材料屬性

表2 聲子晶體歐拉梁幾何參數(shù)

雙層歐拉梁能帶結(jié)構(gòu)圖如圖2所示。基于matlab計(jì)算并得到滿足表1和表2參數(shù)的雙層歐拉梁結(jié)構(gòu)的能帶結(jié)構(gòu)，如圖2(a)所示。從圖2(a)可以發(fā)現(xiàn)：在201Hz～530Hz附近存在一條完全帶隙。

利用MSC.Patran建立雙層梁晶胞單元的有限元模型，并求得其特征頻率及其對應(yīng)的固有模態(tài)，可以發(fā)現(xiàn)截止頻率附近存在的兩階固有頻率及模態(tài)如圖3所示。

圖2 雙層歐拉梁能帶結(jié)構(gòu)圖

圖3 雙層歐拉梁晶胞單元固有振型圖

根據(jù)圖3所示截止頻率附近的固有模態(tài)振型，可以將截止頻率附近存在對稱彎曲振動(dòng)和反對稱彎曲振動(dòng)兩種模態(tài)。因此通過matlab編程將能帶結(jié)構(gòu)圖分成對稱彎曲振動(dòng)能帶和反對稱彎曲振動(dòng)能帶，如圖2(b)所示。

圖2(b)表明帶隙的形成是由反對稱彎曲振動(dòng)能帶和對稱彎曲振動(dòng)能帶共同決定的，帶隙起始頻率由反對稱振動(dòng)模態(tài)決定，截止頻率由對稱振動(dòng)模態(tài)決定。

下面結(jié)合圖4所示彈簧振子示意圖給出帶隙起始、截止頻率計(jì)算公式及推導(dǎo)過程。

圖4 彈簧振子模型示意圖

下邊界f1對應(yīng)反對稱彎曲振動(dòng)模態(tài)，振動(dòng)形式為梁靜止而振子上下振動(dòng)，相當(dāng)于兩個(gè)相互獨(dú)立均以梁為基礎(chǔ)的彈簧振子模型，因此起始頻率就是單彈簧振子系統(tǒng)共振頻率，即

(7)

截止頻率f2為對稱彎曲振動(dòng)模式，振動(dòng)模態(tài)顯示為質(zhì)量塊靜止而梁發(fā)生彎曲振動(dòng)，因此可以看成質(zhì)量塊作為基礎(chǔ)而梁作為振動(dòng)單元的模型，故截止頻率

(8)

f3對應(yīng)反對稱彎曲振動(dòng)模式能帶，這里假設(shè)在彈簧的某個(gè)中間點(diǎn)固定不動(dòng)，那么

(9)

彈簧總剛度滿足

(10)

設(shè)m梁/m塊=γ，由式(9)和式(10)可得

(11)

將式(11)代回式(9)即可得

(12)

對于雙層歐拉梁而言，圖2(a)能帶結(jié)構(gòu)圖顯示其帶隙起始頻率f1=201Hz,截止頻率f2=530Hz，f3=565Hz，而通過式(7)、式(8)以及式(12)計(jì)算得到的起始、截止頻率分別為f1=201.3Hz，f2=527.6Hz,f3=564.7Hz。可以發(fā)現(xiàn)這與能帶結(jié)構(gòu)圖中帶隙邊界處的頻率幾乎一致，因此說明式(7)、式(8)以及式(12) 估算帶隙是準(zhǔn)確的。

3 帶隙影響規(guī)律

為了研究帶隙特性的影響因素，下面研究雙層歐拉梁各參數(shù)對能帶特性的影響，主要參數(shù)包括：晶格常數(shù)a,一側(cè)梁厚度h,一側(cè)梁寬度b，質(zhì)量塊質(zhì)量m以及彈簧剛度k，影響規(guī)律分別如圖5所示。

圖5 帶隙隨梁截面、彈簧、質(zhì)量塊變化圖

圖5(a)-圖5(c)顯示：晶格常數(shù)增大，帶隙起始頻率f1幾乎不變，截止頻率f2逐漸減小，因而帶隙逐漸變窄；改變一側(cè)梁的厚度或者寬度，發(fā)現(xiàn)帶隙起始頻率f1幾乎不變，截止頻率f2逐漸降低，導(dǎo)致帶隙逐漸變窄；這是由于梁尺寸的變化引起梁質(zhì)量m梁增加，但并未影響質(zhì)量塊質(zhì)量，因此起始頻率f1=0.5/π·(k/m塊)0.5保持不變，而f2=0.5/π·(k/m梁)0.5減小。

圖5(d)顯示：隨著質(zhì)量塊質(zhì)量m的增加，帶隙起始頻率f1逐漸下降，截止頻率f2保持不變，f3逐漸降低并與f2接近。引起該變化的原因?yàn)椋嘿|(zhì)量塊質(zhì)量增加，但梁質(zhì)量并未改變，故起始頻率f1=0.5/π·(k/m塊)0.5逐漸減小，而截止頻率f2=0.5/π·(k/m梁)0.5不變。

通過圖5(e)發(fā)現(xiàn)：彈簧剛度k增加引起帶隙起始頻率f1逐漸增大，而截止頻率f2先增大后保持不變，f3先不變后逐漸增大，導(dǎo)致帶隙先增加后緩慢減小。k的增加導(dǎo)致起始頻率f1=0.5/π·(k/m塊)0.5增大容易理解，而截止頻率f2=0.5/π·(k/m梁)0.5先增大后不變的原因在于：雙層歐拉梁一共有兩條梁和兩根彈簧，所以根據(jù)式(8)截止頻率應(yīng)該也有兩個(gè)，最后由兩側(cè)計(jì)算得到的截止頻率結(jié)果較小的作為帶隙截止頻率，當(dāng)只改變一側(cè)的彈簧剛度或者梁的厚度寬度，引起其中一側(cè)截止頻率的變化，而另外一條頻帶并未發(fā)生改變，只是在作圖過程中是按照較低的頻率稱為f2，高的頻率比稱為f3。因此再次做出同時(shí)改變兩側(cè)彈簧剛度大小引起的帶隙變化如圖5(f)所示，可以發(fā)現(xiàn)彈簧剛度引起起始頻率增大，而截止頻率增加更多(這是由于梁質(zhì)量比質(zhì)量塊小的緣故)，帶寬增大。

利用MSC/PATRAN建立12個(gè)晶胞結(jié)構(gòu)的有限長梁模型，劃分網(wǎng)格后并在梁的左端施加垂直于梁平面的單位位移激勵(lì)作為初始條件，如圖6所示。圖中小豎線代表彈簧，三角形代表集中質(zhì)量塊，參數(shù)分別如表1和表2所示。

圖6 雙層梁有限元仿真模型示意圖

分別選擇雙層歐拉梁的同側(cè)和異側(cè)另一端作為響應(yīng)點(diǎn)繪制彎曲振動(dòng)傳輸曲線，并與圖2中雙層歐拉梁能帶結(jié)構(gòu)圖進(jìn)行比較，如圖7所示。

圖7 雙層歐拉梁彎曲振動(dòng)傳輸曲線圖

通過比較圖7(a)和圖7(b)發(fā)現(xiàn)，不管響應(yīng)拾取點(diǎn)位于激勵(lì)點(diǎn)同側(cè)還是異側(cè)， 200Hz～560Hz頻率范圍內(nèi)的彎曲振動(dòng)在雙層歐拉梁中傳播時(shí)均存在很強(qiáng)的衰減，最大衰減幅值可以達(dá)到120dB，且該頻率區(qū)間正好與圖2能帶結(jié)構(gòu)圖中帶隙頻率范圍重合。

同時(shí)圖7(a)與圖7(b)存在一條非常明顯的差別：當(dāng)激勵(lì)點(diǎn)和響應(yīng)點(diǎn)位于異側(cè)梁上時(shí)，在帶隙范圍外仍然可能存在較大衰減，而激勵(lì)點(diǎn)和響應(yīng)點(diǎn)位于同側(cè)時(shí)，振動(dòng)衰減幾乎只存在于帶隙范圍內(nèi)。其實(shí)，造成這種現(xiàn)象的原因在于：能帶結(jié)構(gòu)圖中在526Hz和563Hz處存在對稱彎曲振動(dòng)模態(tài)和反對稱彎曲振動(dòng)模態(tài)對應(yīng)的能帶，兩條能帶耦合后相互抵消，從而引起圖7(a)異側(cè)梁彎曲振動(dòng)傳輸曲線圖中彎曲振動(dòng)在非頻帶范圍內(nèi)仍有較大衰減的情況。

為了對比單/雙層歐拉梁聲子晶體的帶隙特性，建立相同參數(shù)的單/雙層梁聲子晶體模型并得到振動(dòng)傳輸曲線圖，如圖8所示。

圖8 單/雙層歐拉梁振動(dòng)傳輸曲線對比圖

通過圖8可知，雙層梁相對于單層聲子晶體歐拉梁而言，單層梁的衰減幅值約為60dB,而雙層梁的平均衰減幅值約為70dB,二者衰減幅度相近。但是通過對比可以很直觀地看到，雙層歐拉梁在帶隙之外的部分頻率范圍內(nèi)仍存在明顯的衰減現(xiàn)象，如圖8(b)中750Hz以及1000Hz附近存在的強(qiáng)衰減現(xiàn)象，這是單層梁所不具有的特性。因此雙層梁相對于單層梁在衰減振動(dòng)方面具有特有的優(yōu)勢。

4 結(jié)語

本文構(gòu)造出局域共振型聲子晶體雙層歐拉梁結(jié)構(gòu)，基于平面波展開法計(jì)算其能帶結(jié)構(gòu)，并利用有限元法仿真得到相應(yīng)有限結(jié)構(gòu)的彎曲振動(dòng)傳輸曲線，對該結(jié)構(gòu)的帶隙特性展開了詳細(xì)研究。得到以下主要結(jié)論：

1) 聲子晶體雙層歐拉梁能帶結(jié)構(gòu)存在對稱與反對稱彎曲振動(dòng)模式，帶隙的打開可以認(rèn)為是共振單元的振動(dòng)模態(tài)和梁的振動(dòng)模態(tài)相互耦合作用的結(jié)果。帶隙起始頻率f1=0.5/π·(k/m塊)0.5由反對稱彎曲振動(dòng)模態(tài)決定，截止頻率f2=0.5/π·(k/m梁)0.5由對稱彎曲振動(dòng)模態(tài)決定。

2) 通過減小梁單元截面尺寸、晶格常數(shù)，可以降低帶隙截止頻率從而增大帶隙寬度；增加質(zhì)量塊質(zhì)量，帶隙起始頻率下降，帶隙寬度增大；通過增加彈簧剛度，可以同時(shí)增大起始和截止頻率且截止頻率增加更多，從而帶隙寬度增加。所有上述影響規(guī)律均可借助于“基底-彈簧-質(zhì)量塊”簡化模型得到解釋。

3) 雙層歐拉梁在非帶隙范圍內(nèi)某些頻率段仍存在較強(qiáng)的衰減振動(dòng)的作用，這是由于雙層梁存在的兩種彎曲振動(dòng)模態(tài)(對稱彎曲振動(dòng)模態(tài)和反對稱彎曲振動(dòng)模態(tài))相互疊加抵消的結(jié)果，這是單層梁所不具備的，因此雙層梁結(jié)構(gòu)在減振方面具有特有的優(yōu)勢。