隨機(jī)環(huán)境中受控分枝過程的極限性質(zhì)

譚珂,陳曄,王玉蘋

(1.長沙理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,湖南 長沙,410114;2.湖南文理學(xué)院 數(shù)理學(xué)院,湖南 常德,415000)

分枝過程是用來描述種群進(jìn)化的數(shù)學(xué)模型,其增長或衰減受概率分布的影響。隨機(jī)環(huán)境中受控分枝過程是經(jīng)典分枝過程(也稱Galton-Waston過程)在理論和應(yīng)用上一個(gè)重要的推廣。1984年,Holzheimer[1]首次引入了隨機(jī)環(huán)境中受控分枝模型,并研究了其滅絕概率性質(zhì);王潔等[2]證明了隨機(jī)環(huán)境中具有隨機(jī)控制函數(shù)的受控分枝過程是時(shí)齊馬氏鏈和隨機(jī)環(huán)境中的馬氏鏈,并對(duì)其概率母函數(shù)及矩量進(jìn)行了討論;方亮等[3]研究了變化環(huán)境中帶有隨機(jī)控制函數(shù)的受控分枝過程經(jīng)過正規(guī)化后其極限的收斂速率;李應(yīng)求等[4]討論了隨機(jī)環(huán)境中受控分枝過程在適當(dāng)正規(guī)化下的收斂性質(zhì);李德如等[5]給出了隨機(jī)環(huán)境為平穩(wěn)遍歷的受控分枝過程滅絕的充分條件和過程增長率的一個(gè)上界。關(guān)于隨機(jī)環(huán)境中受控分枝過程更多的研究結(jié)果詳見文獻(xiàn)[6-9]。本文借鑒文獻(xiàn)[10]中研究矩問題的方法,建立了隨機(jī)環(huán)境中受控分枝過程矩的漸進(jìn)性和調(diào)和矩的存在性。

1 模型描述

設(shè)(Ω,?,P)為概率空間,(Θ,B)為可測(cè)空間,是(Ω,?,P)上取值于(Θ,B)的隨機(jī)變量序列,和{pi(θ) ：θ∈Θ}是關(guān)于i∈N的概率分布列。記Pξ(·)=。設(shè){?n(k) ：n,k∈N}是定義在N上的一族隨機(jī)函數(shù),具有一維概率分布Q(ξn;k,i)=Pξ(?n(k) =i),i∈N。

定義1[4]設(shè)上取值于N的隨機(jī)變量序列,是定義在N上的一族隨機(jī)變量序列,且滿足：(i)N+;(iv)給定環(huán)境ξ,條件獨(dú)立;則稱{Zn：n∈ N} 是隨機(jī)環(huán)境ξ中受控分枝過程(簡(jiǎn)記CBPRE)。

在上述模型定義中,Zn+1和Xn,i與經(jīng)典分枝過程的含義相同,即表示第n+1代粒子總數(shù)和第n代第i個(gè)粒子產(chǎn)生的后代數(shù);函數(shù)φn(·)表示在第n代粒子產(chǎn)生后代的過程中實(shí)施控制,如果φn(k) =i,則說明當(dāng)?shù)趎代粒子數(shù)為k時(shí),參與下一代后代繁衍的粒子數(shù)為i,函數(shù)?n(·)有效域?yàn)檎龑?shí)數(shù),給定環(huán)境ξ,Xn,i與Zn相互獨(dú)立。

2 符號(hào)和基本假設(shè)

3 主要結(jié)果及其證明

本節(jié)利用條件Jensen's不等式證明了隨機(jī)環(huán)境中受控分枝過程Zn的矩的漸進(jìn)性、調(diào)和矩的存在性。

由定義1,先計(jì)算Zn的條件期望。

3.1 矩的漸進(jìn)性

定理1令, 假設(shè)E[Z1α]＜ ∞ ,(1)若α≤1, 則極限

關(guān)于n非增,此外,;(2)若α＞1,則極限

關(guān)于n非降,且cZ′(α)≥ 1 。

3.2 調(diào)和矩的存在性