細說古典概型的特征和概率計算公式

潘桂蘭

【內(nèi)容摘要】首先從理論上詳細解讀古典概型的特征、概率計算公式以及怎樣建立概率模型;然后具體指出在理解、認識上應(yīng)注意的幾個問題;最后結(jié)合舉例剖析，具體闡明古典概型的解題應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】古典概型;特征;概率;基本事件

一、要點精講

1.古典概型的特征

（1）對于什么樣的隨機試驗，可以根據(jù)試驗結(jié)果的對稱性來確定隨機事件發(fā)生的概率？

答：該隨機試驗應(yīng)同時滿足以下兩個特點：①出現(xiàn)的結(jié)果必須是有限個;②出現(xiàn)的結(jié)果的可能性必須是相等的。

（2）古典概型具有如下兩個特征：

①試驗的所有可能結(jié)果只有有限個，而且每次試驗只出現(xiàn)其中的一個結(jié)果;②每一個試驗結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同。

2.古典概型的概率計算公式

（1）基本事件：一次試驗連同其中可能出現(xiàn)的每一個結(jié)果稱為一個基本事件。

（2）概率公式：如果一次試驗所有可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個（即此試驗由n個基本事件組成），而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等，那么每一個基本事件的概率都是1/n。

如果某個事件A包含的結(jié)果有m個（即包含的基本事件有m個），那么事件A的概率為P（A）=m/n，這就是古典概型的概率計算公式。

（3）對于古典概型，如何計算某個事件A的概率？

答：①分析一次試驗由多少個基本事件組成（即求n=？）;②分析某個事件A包含多少個基本事件（即求m=？）;③利用公式P（A）=m/n，即可求得某個事件A的概率。

3.建立概率模型

（1）建立一個古典概型時，應(yīng)注意哪些問題？

答：將什么看作是一個基本事件，是人為規(guī)定的，并不絕對化.每次試驗有一個并且只有一個基本事件出現(xiàn).基本事件的總個數(shù)是有限的，并且它們的發(fā)生是等可能的。

（2）當(dāng)基本事件的總個數(shù)n較小時，計算n和m（某事件A包含的基本事件的個數(shù)）取值的最基本而且最有效的方法是什么？

答：先通過畫樹狀圖，直觀地將所有可能的試驗結(jié)果一一列舉出來;然后數(shù)一數(shù)，即知n和m的取值;最后利用公式P（A）=m/n，即可求得事件A的概率。

（3）如何優(yōu)化古典概型？

答：要注重發(fā)散思維，多從不同的角度去考慮一個實際問題;同時應(yīng)注意建立的模型要使試驗的所有可能結(jié)果數(shù)變得盡可能地少，從而問題的解決也就變得盡可能地簡單。

二、 特別提醒

1. P（A）=m/n，既是古典概型的概率的定義，又是計算這種概率的基本方法.在運用這個公式時，要注意：必須判斷這幾種結(jié)果是等可能出現(xiàn)的.例如：先后拋擲兩枚均勻的一元硬幣，若認為只出現(xiàn)“2個正面”、“2個反面”和“1正1反”這3種結(jié)果，那就不會等可能.正確理解：共出現(xiàn)“正正”、“正反”、“反正”和“反反” 這4種等可能的結(jié)果。

2.教材第167頁例2的解法4應(yīng)引起高度重視。該解法的切入點是：優(yōu)先考慮目標(biāo)問題的約束條件，至于其他的情形可以不考慮，這是因為概率本身是一個比值。

三、典例剖析

例1：一個口袋內(nèi)裝有大小相等的1個白球和已編有不同號碼的3個黑球，從中摸出2個球。

（1）具體指出共有多少種不同的結(jié)果？

（2）具體指出“摸出1白1黑”共有多少種不同的結(jié)果？

（3）求“摸出1白1黑”的概率。

解析：

（1）共有6種不同的結(jié)果，分別是：（白，黑1），（白，黑2），（白，黑3），（黑1，黑2），（黑1，黑3），（黑2，黑3）。

（2）共有3種不同的結(jié)果，分別是：（白，黑1）;（白，黑2）;（白，黑3）。

（3）由于4個球的大小相等，因此做一次試驗（即：摸出2個球）所出現(xiàn)的各種不同結(jié)果的可能性是相同的，這個試驗屬于古典概型。

又由（1）知基本事件共有6個，由（2）知事件“摸出1白1黑”共包含3個基本事件.故“摸出1白1黑”的概率為P=3/6=1/2。

評注：在羅列不同的結(jié)果時，要注意考慮全面，努力做到不重復(fù)不遺漏。

例2：袋中有大小、形狀相同的紅、黑球各一個，現(xiàn)摸球3次，每次都是有放回地隨機摸取一個球。

（1）試問：一共有多少種不同的結(jié)果？請列出所有可能的結(jié)果;

（2）若摸到紅球時得2分，摸到黑球時得1分，求3次摸球所得分為5的概率。

解析：

（1）一共有8種不同的結(jié)果，列舉如下：（紅，紅，紅），（紅，紅，黑，），（紅，黑，紅），（黑，紅，紅），（紅，黑，黑），（黑，紅，黑），（黑，黑，紅），（黑，黑，黑）。

（2）記“3次摸球所得總分為5”為事件A，則事件A包含的基本事件共有3個，分別為（紅，紅，黑），（紅，黑，紅），（黑，紅，紅）。

又由（1）知基本事件總數(shù)為8，故所求概率為P（A）=3/8。

評注：本題極易出錯，審清題意非常重要——由于題設(shè)要求“每次都是有放回地隨機摸取一個球”，所以每次摸取時的情景相同（袋中有1個紅球、1個黑球）。

例3：將一個骰子拋擲2次，求“兩次擲出的點數(shù)都是偶數(shù)”的概率。

解析：當(dāng)?shù)谝淮螖S出的點數(shù)為a（a=1，2，3，4，5，6）時，第二次擲出的點數(shù)只可能是1，2，3，4，5，6中的某一個，從而做一次試驗所得到的基本事件共有6×6=36個。

要使兩次擲出的點數(shù)都是偶數(shù)，則應(yīng)滿足：當(dāng)?shù)谝淮螖S出的點數(shù)為偶數(shù)b（b=2，4，6）時，第二次擲出的點數(shù)只可能是2，4，6中的某一個.從而知事件“兩次擲出的點數(shù)都是偶數(shù)”共包含3×3=9個基本事件.又易知此試驗屬于古典概型，故所求概率為P=9/36=1/4。

評注：考查基本事件的個數(shù)常用處理方法有：①先按點坐標(biāo)的形式給出，再數(shù)之;②先按表格的形式給出，再數(shù)之;③規(guī)律性較強時，可通過乘法運算迅速求得（例如本題）。

【參考文獻】

[1]林品吟，何小亞，朱源.古典概型的教學(xué)思考與教學(xué)新設(shè)計[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2016（5）：20-24.

[2]宮前長.新課程古典概型教學(xué)：困惑、解惑與感悟[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2014（9）：4-8.

（作者單位：甘肅省玉門市第一中學(xué)）