離子型金屬聚合物復(fù)合材料的分?jǐn)?shù)階建模及二階滑?？刂?/h1>

2020-04-22 10:37:52陳靖威黃梁松李甜甜李連鵬李玉霞

科學(xué)技術(shù)與工程訂閱 2020年7期 收藏

關(guān)鍵詞：致動器二階控制算法

陳靖威, 黃梁松, 李甜甜, 李連鵬, 李玉霞

(山東科技大學(xué)山東省機(jī)器人與智能技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，青島266590)

離子型金屬聚合物復(fù)合材料 (IPMC)[1]是一種電驅(qū)動智能復(fù)合材料，能夠在外加電場的驅(qū)動下實(shí)現(xiàn)大幅度的彎曲形變，撤去電場后又能快速恢復(fù)至初始狀態(tài)。近年來，由于其作為致動器具有致動電壓低(1～5 V)，響應(yīng)速度快，擺動位移大，可根據(jù)需要裁剪成任意形狀且柔韌性好等特點(diǎn)，引起大量國內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了深入的研究與探索。美國NASA(National Aeronautics and Space Administration) 的 JPL(Jet Propulsion Laboratory)實(shí)驗(yàn)室用 IPMC 驅(qū)動器制造了與自動刮雨器相類似的除塵刷，用于太空儀器表面的除塵[2]；美國密歇根州立大學(xué)的Tant等設(shè)計(jì)了一種用 IPMC 驅(qū)動的機(jī)器魚[3]；日本Eamex公司開發(fā)了以 IPMC 作為驅(qū)動材料的商業(yè)化產(chǎn)品人工魚[4]；日本的名古屋大學(xué)研制了基于 IPMC 材料的泳動機(jī)器人[5]。因此，IPMC在仿生學(xué)、生物醫(yī)學(xué)和微機(jī)電等領(lǐng)域的應(yīng)用前景十分廣闊。

分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)，即是用分?jǐn)?shù)階概念里的導(dǎo)數(shù)和積分算子來代替?zhèn)鹘y(tǒng)整數(shù)階動力系統(tǒng)當(dāng)中的導(dǎo)數(shù)和積分，近年來受到了越來越多的關(guān)注。國外學(xué)者Sabatier指出采用分?jǐn)?shù)階模型可以有效地模擬大量的物理現(xiàn)象[6]。針對IPMC模型，Bao等證明了IPMC具有分形電極結(jié)構(gòu)[7]。并由Caponetto在2008年確定了能夠在較大的頻率范圍內(nèi)描述IPMC執(zhí)行器動態(tài)特性的分?jǐn)?shù)階傳遞函數(shù)[8]。證明了IPMC可以用具有長期時(shí)間或空間依賴現(xiàn)象特性的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)來表示，即建立一個(gè)分?jǐn)?shù)階IPMC模型能更好地描述它的運(yùn)動特性。

在大多數(shù)情況下，滑模是通過向控制或觀測系統(tǒng)中注入一個(gè)非線性不連續(xù)項(xiàng)來獲得的，該項(xiàng)取決于輸出誤差。在設(shè)計(jì)不連續(xù)注入時(shí)，系統(tǒng)的運(yùn)動軌跡必須保持在誤差空間的某個(gè)滑動面上，產(chǎn)生的運(yùn)動稱為滑模[9]?；？刂品椒ㄓ捎谄渚哂杏邢迺r(shí)間的收斂性和對不確定情況的強(qiáng)魯棒性等優(yōu)點(diǎn)，得到了廣泛的應(yīng)用。本文根據(jù)Davila在2005年提出的二階滑?？刂朴^測器[10]，設(shè)計(jì)了一個(gè)基于分?jǐn)?shù)階的二階滑?？刂破?，從理論方面論證了其可行性，并在仿真與實(shí)驗(yàn)兩個(gè)方面分別與分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制方法作對比，證明所提出的控制器具有更好的控制精度。

1 實(shí)驗(yàn)平臺的搭建

離子聚合物是IPMC的重要組成部分，也是用來區(qū)分膜體種類的重要依據(jù)，主要分為全氟磺酸離子聚合物(Nafion)和全氟碳酸離子聚合物(Flemion)兩種，通常選用美國杜邦公司生產(chǎn)的Nafion膜作為IPMC的基底膜。除了基膜外，還有上下表面的電極，通常為各種貴金屬材料，如鉑、鈀、金和銀等。值得注意的是，電極和基膜的界面特性對IPMC致動器的變形特性十分重要，通?？梢詫﹄x子交換膜進(jìn)行打磨處理，然后對糙化后的基膜采用浸泡還原的方法沉積電極層，所獲得的電極與基膜相互滲透，可以極大提高電極與基膜的接觸面積。圖1為IPMC致動器結(jié)構(gòu)圖。

圖1 IPMC致動器結(jié)構(gòu)圖Fig.1 IPMC actuator structure diagram

實(shí)驗(yàn)平臺如圖2所示，使用LABVIEW搭建了上位機(jī)部分并通過RS485與控制器進(jìn)行串口通信，可以實(shí)現(xiàn)IPMC性能測試和輸出位移控制兩種功能。

圖2 IPMC致動器實(shí)驗(yàn)平臺Fig.2 IPMC actuator experimental platform

本實(shí)驗(yàn)平臺的硬件主要包括控制器芯片、電源模塊、可調(diào)電壓輸出模塊、數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換傳輸模塊、激光位移傳感器等。

(1)控制器芯片選用TI公司的TMS320C28335浮點(diǎn)DSP(digital signal processing)，該控制器相比于以往的DSP，多了一個(gè)MAC單元，具有運(yùn)算速度快、數(shù)據(jù)及程序存儲量大等優(yōu)勢，可滿足實(shí)驗(yàn)平臺功能需要。

(2)電源模塊主要為開關(guān)電源直接供電220 V轉(zhuǎn)24 V，為激光位移傳感器供電24 V，為控制器芯片供電+3.3 V和+1.9 V，為IPMC致動器提供可調(diào)的輸入電壓。

(3)可調(diào)電壓輸出模塊是為了滿足實(shí)驗(yàn)中IPMC致動器兩極的電壓不僅要有直流電壓，還要有正弦電壓。所以為了滿足需要，該部分采用了正弦波脈寬調(diào)制法(SPWM)，該方法中使用的驅(qū)動電路是全橋驅(qū)動芯片HIP4082IB，直流可調(diào)降壓電源為LM2596S。

(4)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換傳輸模塊中，使用的模數(shù)轉(zhuǎn)換芯片為ADS8688，吞吐量可達(dá)500 kSPS；數(shù)字隔離器為ISO7241M，它具有四通道配置和輸出使能功能，傳輸速度最高可達(dá)150 Mbit/s。

(5)為了實(shí)現(xiàn)IPMC致動器尖端位移的檢測，本實(shí)驗(yàn)平臺選用美國邦納公司生產(chǎn)的L-GAGE LE250激光位移傳感器作為檢測設(shè)備。它帶有顯示屏，在量程范圍(位移100～400 mm，電流0～10 V)內(nèi)可以實(shí)時(shí)顯示當(dāng)前的測量位移和輸出電流。

使用該實(shí)驗(yàn)平臺，對IPMC薄膜施加一個(gè)電壓為2 V，頻率為10/2π Hz的正弦電壓，可得其尖端位移的曲線如圖3所示。

圖3 驅(qū)動電壓2 V、10/2π Hz時(shí)的尖端位移曲線Fig.3 Tip displacement curve when driving voltage is 2 V and 10/2π Hz

并且可以得到在該正弦電壓下的輸入輸出關(guān)系圖如圖4所示，可以清楚地看出IPMC具有的磁滯特性。

圖4 IPMC的輸入輸出關(guān)系Fig.4 The input/output relationship of IPMC

2 IPMC致動模型的建立

2.1 分?jǐn)?shù)階微積分

早在300多年前，隨著古典微積分概念的提出，數(shù)學(xué)家們就推導(dǎo)出了分?jǐn)?shù)階微積分，雖然僅僅是純數(shù)學(xué)理論分析和推導(dǎo)，但也受到了眾多學(xué)者的青睞。直到19世紀(jì)后期，分?jǐn)?shù)階微積分理論才開始逐漸在實(shí)際工程領(lǐng)域中得到初步的應(yīng)用[11]。近年來，由于運(yùn)用傳統(tǒng)控制理論和方法無法達(dá)到期望指標(biāo)，更無法滿足人們對控制精度日益提高的要求，激發(fā)了學(xué)者們將分?jǐn)?shù)階微積分理論應(yīng)用在實(shí)際工程的研究熱情以及對分?jǐn)?shù)階領(lǐng)域進(jìn)行更加深入的探索。

(1)

分?jǐn)?shù)階微積分普遍定義如下。

Riemann-Liouville 分?jǐn)?shù)階積分定義：存在α>0,t≥0時(shí)，f(t)被定義為

(2)

式(2)中：Γ表示歐拉伽馬函數(shù)：

(3)

(4)

Caputo 分?jǐn)?shù)階微分定義：存在α>0,t≥0時(shí)，f(t)被定義為

(5)

當(dāng)α∈(0,1)時(shí)，Riemann-Liouville與Caputo分?jǐn)?shù)階微分之間的聯(lián)系為

(6)

2.2 IPMC分?jǐn)?shù)階建模

Sun在2014年的時(shí)候提出了一個(gè)基于IPMC的傳遞函數(shù)模型，分別采用了線性不可逆電動力學(xué)模型和動力學(xué)模型對離子聚合物-金屬復(fù)合材料的性能進(jìn)行了分析[12]。其中第一個(gè)模型根據(jù)Onsager方程準(zhǔn)確地預(yù)測了其靜態(tài)特性，而第二個(gè)模型能夠揭示其磁滯特性。通過這兩個(gè)模型推導(dǎo)出的IPMC動力學(xué)傳遞函數(shù)模型將能較好地?cái)M合出IPMC的實(shí)際運(yùn)動效果。

該傳遞函數(shù)模型如下：

(7)

式(7)中：C、τ1、τ2、K1、K2為需要辨識的參數(shù)。

通過上述的實(shí)驗(yàn)平臺，對IPMC采用驅(qū)動電壓為2 V，頻率為10/2π Hz的正弦信號，得到所需的輸入輸出數(shù)據(jù)，隨后結(jié)合人工蜂群算法來對上述傳遞函數(shù)中的5個(gè)未知參數(shù)進(jìn)行辨識。人工蜂群算法是由土耳其學(xué)者提出的一種基于蜜蜂群體覓食行為的智能優(yōu)化算法[13]。該算法相比粒子群算法、蟻群算法等其他智能優(yōu)化算法，具有參數(shù)少、易于實(shí)現(xiàn)、魯棒性較好等優(yōu)點(diǎn)，而且全局搜索和局部搜索在每次迭代過程中都會進(jìn)行，這一點(diǎn)不僅增加了找到最優(yōu)解的概率，還相對減小了陷入局部最優(yōu)的可能性。整個(gè)優(yōu)化步驟如下。

(1)初始化ABC(artificial bee colony)算法中的各種參數(shù)、食物源的數(shù)量SN、食物源的最大循環(huán)次數(shù)和終止循環(huán)次數(shù)。

本次人工蜂群優(yōu)化算法中，設(shè)蜜源數(shù)N=100，參數(shù)limit為100，最大迭代次數(shù)為500，程序運(yùn)行次數(shù)為100。最終得到5個(gè)待辨識的參數(shù)分別為：τ1=0.145 2，τ2=12.722 4，C=1，K1=1.275，K2=-22.246 8。即傳遞函數(shù)模型為

(8)

得到了IPMC整數(shù)階的傳遞函數(shù)，此時(shí)再根據(jù)上述的輸入輸出數(shù)據(jù)，采用結(jié)合了泰勒計(jì)數(shù)法和梯度法的Marquardt算法將其轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)階模型[14]。該算法實(shí)際上是使模型滿足：

(9)

(10)

(11)

根據(jù)圖5可以看出分?jǐn)?shù)階模型與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的擬合度更高，即分?jǐn)?shù)階模型能夠描述出IPMC所具有的非整數(shù)階特性。

圖5 分?jǐn)?shù)階模型、整數(shù)階模型和實(shí)驗(yàn)輸出結(jié)果比較Fig.5 Comparison of fractional order model, integer order model and experimental output results

3 基于分?jǐn)?shù)階的二階滑模控制器設(shè)計(jì)

考慮到一個(gè)受動態(tài)模型控制的帶擾動的一階分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)：

CDαx(t)=ax(t)+bu(t)+φ(t)

(12)

式(12)中：α∈(0，1)是已知的非整數(shù)階微分；x(t)∈R是測量出的輸出變量；u(t)∈R是一個(gè)可調(diào)輸入；a∈R是一個(gè)不確定的參數(shù)；b是一個(gè)已知的正常量；φ(t)是一個(gè)不確定的干擾。

基于上述分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了一個(gè)基于分?jǐn)?shù)階的二階滑?？刂破鳛?/p>

(13)

設(shè)xr(t)為一個(gè)足夠光滑的參考面，此時(shí)，需要證明該控制器能夠保證跟蹤誤差能在有限時(shí)間歸零。誤差e可以表示為

e(t)=x(t)-xr(t)

(14)

考慮跟蹤誤差變量的動態(tài)特性：

CDαe(t)=ax(t)+bu(t)+φ(t)-CDαxr(t)

(15)

此時(shí)把除了可調(diào)輸入的其余三項(xiàng)合并為

Δ (x,xr,t)=ax(t)+φ(t)-CDαxr(t)

(16)

很容易可以證得閉環(huán)跟蹤誤差動力學(xué)滿足這種形式：

(17)

定義：

(18)

此時(shí)：

Δ2(xr,t)=φ(t)-CDαxr(t)

(19)

(20)

根據(jù)式(19)可得：

(21)

此時(shí)，根據(jù)式(12)，假設(shè)受控輸出x(t)的時(shí)間演化足夠光滑，即系統(tǒng)輸出x(t)由一個(gè)已知的常量xd和有限時(shí)間td組成，即：

|RLD2-αx(t)|≤xd,t≥td

(22)

在該假設(shè)的基礎(chǔ)上，擾動φt，參考面xr(t)以及不確定的常量a有以下關(guān)系：

(23)

式(23)中：xa、xb、xc為已知的常量；tb、tc為有限時(shí)間。

根據(jù)式(22)～式(23)，推得：

RLD2-αΔ2(xr,t)≤xb+xc

(24)

針對所提出的控制器，其整數(shù)階模型和分?jǐn)?shù)階模型在有限時(shí)間歸零條件下是等價(jià)的，所以通過形式更加簡單的整數(shù)階模型進(jìn)行李雅普諾夫定理的證明，簡化后的整數(shù)階模型為

(25)

轉(zhuǎn)換Lyapunov函數(shù)為

(26)

式(26)在任何地方都連續(xù)，但是在x1=0處不可微。

因?yàn)橛墒?25)得到的微分子集的狀態(tài)軌跡φ(t,x0)是絕對連續(xù)函數(shù)，因此V[φ(t,x0)]是一個(gè)連續(xù)時(shí)間的函數(shù)，但于V(x)缺少Lipschitz性質(zhì)，所以無法保證V[φ(t,x0)]的絕對連續(xù)性和它的可微性是無處不在的。然而V(x)是除了在S={(x1,x2)∈R2|x1=0}處是連續(xù)可微的。很容易看出系統(tǒng)(13)的軌跡只是穿過曲面S，不能停留在上面，除非達(dá)到原點(diǎn)x=0。這意味著V[φ(t,x0)]幾乎在每一個(gè)t都是可微的，并且這些點(diǎn)導(dǎo)數(shù)都可以用鏈?zhǔn)椒▌t這種普通的計(jì)算方法得到。這表明，在運(yùn)用Lyapunov定理時(shí)，可以只考慮V(x)可微的點(diǎn)。

(27)

注意V(x)在x=0處是連續(xù)不可微的。當(dāng)K3>0時(shí)為正定無界，即：

(28)

(29)

(30)

(31)

4 仿真和實(shí)驗(yàn)研究

4.1 仿真研究

選取了目前在分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)中較為常用的分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制算法與所提出的基于分?jǐn)?shù)階的二階滑?？刂扑惴ㄗ鲗Ρ取７?jǐn)?shù)階PIλDμ控制算法是分?jǐn)?shù)階微積分理論與傳統(tǒng)PID控制算法的融合，在傳統(tǒng)PID控制的三個(gè)參數(shù)KP、KI、KD的基礎(chǔ)上，又多了兩個(gè)可調(diào)的參數(shù)λ和μ，所以控制器參數(shù)的正定范圍變大，能夠更加靈活地對受控對象進(jìn)行控制，得到更好的控制效果[15]。設(shè)計(jì)PIλDμ控制器如下：

GFOPID(s)=0.95+2.5s0.98+0.04s-1.9

(32)

圖7所示即為上述仿真系統(tǒng)中的單位負(fù)反饋階躍響應(yīng)。其中FOSM表示基于分?jǐn)?shù)階的二階滑模控制，F(xiàn)OPID表示分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制。

由圖7、表1可見，在上升時(shí)間、超調(diào)量、調(diào)節(jié)時(shí)間三個(gè)方面，基于分?jǐn)?shù)階的二階滑?？刂贫家∮诜?jǐn)?shù)階PIλDμ控制。即從仿真結(jié)果來說，基于分?jǐn)?shù)階的二階滑?？刂破鞯目刂菩Ч獌?yōu)于分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器。

圖6 分?jǐn)?shù)階PIλDμ與基于分?jǐn)?shù)階的二階滑?？刂瓶驁DFig.6 The control block diagrams of fractional PIλDμ and second order sliding model based on fractional order

圖7 FOSM與FOPID的比較Fig.7 Comparison of FOSM and FOPID

表1 兩種控制器的數(shù)據(jù)對比

4.2 實(shí)驗(yàn)研究

已經(jīng)通過第一章介紹的實(shí)驗(yàn)平臺對IPMC致動器進(jìn)行了性能測試，得到了實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，下面則運(yùn)用該實(shí)驗(yàn)平臺對IPMC尖端位移進(jìn)行控制。通過上位機(jī)發(fā)送出期望位移，RS485接收到該位移并進(jìn)行相應(yīng)的控制器的計(jì)算，然后將計(jì)算得到電壓附加到IPMC致動器上，以實(shí)現(xiàn)對IPMC致動器的控制。軟件流程圖如圖8所示。

圖8 控制模式軟件流程圖Fig.8 Software flow chart of control mode

由文獻(xiàn)[14]可知，分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制算法中的微分項(xiàng)對IPMC控制的影響很小，所以在本實(shí)驗(yàn)中忽略其參數(shù)KD和μ?？梢酝ㄟ^上位機(jī)隨時(shí)更改分?jǐn)?shù)階PIλ控制算法中的KP、KI、λ三個(gè)參數(shù)以及基于分?jǐn)?shù)階的二階滑?？刂扑惴ㄖ械摩?、K1、K3三個(gè)參數(shù)。通過對參數(shù)不斷調(diào)節(jié)，以期望達(dá)到每種算法的最優(yōu)跟蹤效果。設(shè)定期望位移為幅值為3 mm，頻率為1/2π Hz的正弦曲線。兩種算法的最優(yōu)跟蹤曲線及誤差分別如圖9～圖12所示。

圖9 分?jǐn)?shù)階PIλ控制時(shí)的輸出曲線Fig.9 The output curve under fractional PIλcontrol

圖10 分?jǐn)?shù)階PIλ控制器的控制誤差Fig.10 The control error of fractional PIλcontroller

圖11 基于分?jǐn)?shù)階的二階滑?？刂破鞯妮敵銮€Fig.11 The output curve under second order sliding mode controller based on fractional order

圖12 基于分?jǐn)?shù)階的二階滑?？刂破鞯目刂普`差Fig.12 The control error of second order sliding mode controller based on fractional order

由圖9～圖12可以看出，基于分?jǐn)?shù)階的二階滑模制器的跟蹤效果要好于分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器，且位移誤差更小。通過計(jì)算均方根誤差可得，基于分?jǐn)?shù)階的二階滑模制控制器的均方根誤差為RMSE=0.289 5,分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器的均方根誤差為RMSE=0.431 9。因此可以得出，所提出的控制器在針對IPMC實(shí)際的控制效果上要優(yōu)于傳統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器，且擁有較好的控制效果。

5 結(jié)論

根據(jù)IPMC特性，搭建了實(shí)驗(yàn)平臺，并為IPMC薄膜施加了驅(qū)動電壓為2 V，頻率為10/2π Hz的正弦電壓，得到了實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。隨后，選用人工蜂群算法對參考模型中的未知參數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)，得到了整數(shù)階模型；再使用Marquardt算法辨識出了分?jǐn)?shù)階模型。通過兩種模型與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的比較可以得出，分?jǐn)?shù)階模型與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合度更高，能更精確地反映出IPMC的非整數(shù)階特性。

然后針對該IPMC的分?jǐn)?shù)階模型，設(shè)計(jì)了一個(gè)基于分?jǐn)?shù)階的二階滑?？刂扑惴?，并從理論方面證明了其合理性。后將其與常用于分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)控制的分?jǐn)?shù)階PIλDμ算法進(jìn)行對比，并分別采用仿真與實(shí)驗(yàn)兩個(gè)方面進(jìn)行。無論是仿真結(jié)果還是實(shí)驗(yàn)結(jié)果，所提出的控制算法均優(yōu)于分?jǐn)?shù)階PIλDμ算法。即證明了所提方法是可行的，可以更加精確地控制IPMC致動器。

通過實(shí)驗(yàn)過程可知，控制器參數(shù)不僅關(guān)系著控制器本身，而且對于分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的影響也很大。所以，下一步應(yīng)該針對所提出控制器的參數(shù)進(jìn)行深入的研究，提供一種有效的參數(shù)選取方法，以便在任何控制情況下都能高效地設(shè)計(jì)出所需的控制器。

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