淺談初中數(shù)學教學中的“幾何模型” 構造思想

徐曉靜

【摘 要】 義務教育數(shù)學課程標準（2011版）將模型思想作為十個核心概念之一。幾何知識的學習是初中階段很重要的一部分，建模思想作為初中幾何核心思想，貫穿于整個幾何知識體系，還是幾何課堂教學中最常用的方法和手段。構造思想是數(shù)學學習中需具備的一種指導思想，通過觀察與聯(lián)想等思想，構造出本題中表面不具備的模型。達到把本身復雜的問題轉化為簡單，易求解的問題。

【關鍵詞】 幾何模型? 構造法

圖形建模，就是建立幾何圖形模型的過程，包括對現(xiàn)實原型進行提煉，抽象，簡化，以及確立，驗證，解釋，應用和拓展的過程。構造思想利用觀察與聯(lián)想等思想，準確恰當?shù)貥嬙斐鲆粋€或者多個同原來問題相關的輔助條件或問題。

一、把握圖形建模 之“形”

圖形建模是內隱的，教師應該認真研讀教材，不但研讀本課時的教學內容，還要研讀與之相關的其他內容，挖掘問題之外的暗線，深刻把握知識內部的關聯(lián)。

1. 第一環(huán)節(jié)，圖形建模準備：在數(shù)學概念的教學中滲透數(shù)學思想方法

初中數(shù)學幾何中定義，定理都是一個個數(shù)學模型，如何使學生通過建模形成數(shù)學模型。教師在教學過程中概念的教學，不能簡單地把概念的定義告訴給學生，而是要盡可能地向學生講授概念發(fā)生發(fā)展過程，把對概念的分析過程來龍去脈展示給學生。讓學生明確知識的內涵與外延。筆者在上初三中考專題復習課中“角的關系：倍半角處理策略”對基本概念進行了如下推廣，并運用概念去滲透數(shù)學思想。

01. OC是∠AOB的平分線，則∠AOC=∠BOC=1/2______;∠AOB=2______=2______

02. 等腰三角形頂角的外角等于底角的______倍。

03. 折疊，旋轉不改變圖形的______。

探究

“特殊半角”的三角函數(shù)值（由倍β到半β/2）（策略構造等腰三角形）

求tan22.5=_____? ?求tan15=_____

學生在遇到這樣問題時，往往千頭萬緒，不知從何入手解題。這時教師首先要引導學生從角的倍到半，從概念出發(fā)尋找建立模型的突破口，模型準備階段，盡可能為學生完整，真實的問題背景，使學生走入數(shù)學知識中去，幫助他們理解，思考。一旦學生參與了問題的研究，就會激發(fā)學生的求知欲和探索欲，并使學生在探索中感受和領悟到數(shù)學思想方法的魅力。

2. 第二環(huán)節(jié)：圖形建模形成與驗證，點播導學，構建模型。

在建模的過程中，為了合乎實際問題又能求解，就要求在諸多因素中抓住主要因素進行抽象化簡，而這一過程恰好又是學生的分析，抽象綜合表達能力的體現(xiàn)。這個過程教師要通過調動學生原有的知識經(jīng)驗，引導他們經(jīng)過操作，質疑，交流提出猜想，驗證猜想。筆者在用“角的關系：倍半角處理策略”的復習課中進行了如下設計：

在直角坐標系中，A在X軸的負半軸上，B（4，0），C（0，3）連接AC，BC.且∠ABC=2∠AC0.求OA.

問題1. 如何將∠ABC轉化成半角？你有哪些方法？

問題2. 我們還能用什么方法將β構造成2β呢？

這一環(huán)節(jié)中，我讓學生小組合作，學生從自主學習的概念延伸與拓展中容易從下面幾個角度思考。角平分線，等腰三角形，翻折的概念出發(fā)，產(chǎn)生聯(lián)想，用構造思想去添加輔助線，使問題化繁為簡，化抽象為直觀，并通過驗證，使學生發(fā)現(xiàn)“輔助線”在證明中的強大作用，正確圖形建模應該以下方法：

01. 作∠ABC的角平分線由倍角構造半角

02. 延長AB使BD=CB構造等腰三角形由倍角構造半角。

03. 沿OC折疊;或沿CA折疊：由半角構造倍角。

在這樣一個建構，解構，重構，遷移的過程中，不僅讓學生從幾何概念出發(fā)延伸去建模構造基本圖形，還讓學生感知到分析問題需要從多角度去完善的思維方式。

由此可見教師導學是構建模型的前提，從導思，導議，導練入手，結合學生心理特征和認知水平，提出啟發(fā)性的問題，不宜過于簡單又不能超過學生的實際水平。同時老師要善于由此及彼，由表及里把分散的、現(xiàn)象的問題上升到理性。并納入所要達到的教學目標的軌道上來。

3. 第三環(huán)節(jié)：深層探究，求解結果

這一環(huán)節(jié)以學生交流討論為主，交流討論的目的在于抓重點，明思路，排難點，解疙瘩，解迷惑，進而培養(yǎng)自己分析問題，解決問題的能力。教師應最大限度調動學生的積極性，提高學生的參與程度，尤其是思維參與程度，教師作用是指導問題求解的策略，組織好交流活動，使學生交流求解問題的經(jīng)驗，相互補充，形成策略。

這個階段要引導學生用分析、比較、概括等思維方式自主構建模型，獲得 數(shù)學結論，促進知識的內化。讓學生對這些思路進行猜想，驗證，最后得出這五種方法都可構造角，這樣一步一步就得到圖形建模的目的，進一步理解圖形建模構造思想的思維方法。

二、領會圖形建模之“神”

教學最終目標是促進學生自身的發(fā)展，圖形建模學習不應止步于掌握圖形建模內部的結構，而通過建?；^程的展開培養(yǎng)學生建?；乃季S方式。進行建?；膶W習探究，從而培養(yǎng)學生思維能力。教師既要有自己的理性思考，又要引導學生對整個學習過程進行評價，通過師生共同評價反思，歸納出問題解決的策略。

學生的學習過程是一個新知識內容與原有知識經(jīng)驗相互作用建構的過程，因此，課堂小結，要依據(jù)學生的差異，靈活地引導學生用自己的方式，方法來小結，會取得很好的效果。

教師呈現(xiàn)多角度問題線索：從內容、方法、過程中引導學生回憶、復述。學生在反思中回顧學習內容和認知過程，提煉思想方法。

圖形建模構造思想應該是以理解為主的構建過程。學生在對圖形構建過程中，教師應引導學生對圖形建模進一步拓展、重塑，并派生出新的圖形建模，從而培養(yǎng)學生的數(shù)學思想。

學習中，學生通過完成圖形建模，由“形”到“神”，不但能學到識，而且能培養(yǎng)思維能力和數(shù)學思想方法。