非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程功率譜與自相關(guān)的關(guān)系推導(dǎo)

胡敬安 魏冬梅

(山東師范大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院，山東 濟(jì)南 250014)

0 引 言

佩利-維納準(zhǔn)則指出平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)是1對(duì)傅立葉變換，一般涉及隨機(jī)過(guò)程的教材或書籍通常都會(huì)介紹佩利-維納準(zhǔn)則，有的直接給出結(jié)論[1-3]，也有很多教材會(huì)同時(shí)給出該結(jié)論的推導(dǎo)過(guò)程以幫助理解[4-8]．但很少有文獻(xiàn)介紹非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系，文獻(xiàn)[9-10]也僅僅介紹了一類特殊的非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程：循環(huán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜與自相關(guān)的關(guān)系．循環(huán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)R(t,t+τ)對(duì)時(shí)間(t)具有周期性，將其在1個(gè)周期內(nèi)對(duì)t進(jìn)行平均即可蛻變?yōu)橐辉瘮?shù)R(τ)，然后取傅立葉變換即為循環(huán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程功率譜，即

(1)

式中F表示求傅立葉變換，Pξ(f)為隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度，T0為自相關(guān)函數(shù)R(t,t+τ)對(duì)t的周期．文獻(xiàn)[9-10]只是給出了結(jié)論，沒(méi)有導(dǎo)出過(guò)程，這可能令初學(xué)者感到困惑．鑒于此，本文將對(duì)非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行推導(dǎo)．

1 結(jié)論的導(dǎo)出

隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度定義為所有樣本函數(shù)的功率譜密度的統(tǒng)計(jì)平均．記隨機(jī)過(guò)程為ξ(t)，其功率譜密度為Pξ(f)，則

(2)

其中ΞT(f)為截取過(guò)程

的傅立葉變換．式(2)中|(ΞT(f)|2可表示為

將其變?yōu)槎胤e分可得

(3)

式(3)的積分區(qū)域Dt1t2如圖1所示．

圖1 積分區(qū)域Dt1t2

記t1=t，令t2-t1=τ，則式(3)積分變?yōu)?/p>

其中積分區(qū)域(Dtτ)如圖2所示．于是

將其帶入式(2)可以得到

(4)

由式(4)可以看出，隨機(jī)過(guò)程的功率譜為其自相關(guān)函數(shù)的二重廣義積分．

圖2 積分區(qū)域Dtτ

現(xiàn)將圖2中Dtτ以t軸為界分為上下2個(gè)部分，先對(duì)t積分，再對(duì)τ積分，則式(4)可變?yōu)?個(gè)廣義二次積分

將2個(gè)廣義二次積分先對(duì)t的積分求極限，再對(duì)τ的積分求極限

(5)

應(yīng)注意到式(5)中對(duì)t的2個(gè)廣義積分相等，即

(6)

即隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度是其自相關(guān)函數(shù)的時(shí)間平均的傅立葉變換．

2 討 論

式(6)所給結(jié)論不僅對(duì)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程、還對(duì)包括循環(huán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程在內(nèi)的非平穩(wěn)過(guò)程都是成立的．當(dāng)隨機(jī)過(guò)程為廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程時(shí)，其自相關(guān)函數(shù)R(t,t+τ)與t無(wú)關(guān)，即其蛻變?yōu)橐辉瘮?shù)R(τ)，所以R(t,t+τ)的時(shí)間平均就是R(τ)自身，此時(shí)有

即平穩(wěn)過(guò)程的功率譜密度為R(τ)的傅立葉變換，因此佩利-維納準(zhǔn)則只是式(6)所給結(jié)論的1個(gè)特例．

而對(duì)于循環(huán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，其自相關(guān)函數(shù)R(t,t+τ)對(duì)t具有周期性，其在1個(gè)周期內(nèi)的平均等于整個(gè)時(shí)間范圍內(nèi)的平均，即有

其中T0為自相關(guān)函數(shù)R(t,t+τ)對(duì)t的周期，故

因此描述循環(huán)平穩(wěn)過(guò)程功率譜與自相關(guān)關(guān)系的式(1)也只是本文結(jié)論式(6)的1個(gè)特例．

另外，如果對(duì)自相關(guān)函數(shù)R(t,t+τ)不進(jìn)行時(shí)間平均，直接針對(duì)變量τ進(jìn)行傅立葉變換，結(jié)果將同時(shí)也是t的函數(shù)，如式(7)所示

Fτ[R(t,t+τ)]=Pξ(t,f)，

(7)

式中Fτ表示針對(duì)變量τ進(jìn)行傅立葉變換．現(xiàn)將Pξ(t,f)在整個(gè)頻率范圍內(nèi)積分，則有

即Pξ(t,f)對(duì)頻率的積分為ξ(t)的瞬時(shí)功率的統(tǒng)計(jì)平均值，因此Pξ(t,f)可定義為隨機(jī)過(guò)程的瞬時(shí)功率譜，則有

3 總 結(jié)

本文從隨機(jī)過(guò)程功率譜密度的定義出發(fā)導(dǎo)出了隨機(jī)過(guò)程功率譜與平均自相關(guān)是1對(duì)傅立葉變換的結(jié)論，不管是描述平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜與自相關(guān)關(guān)系的佩利-維納準(zhǔn)則，還是描述循環(huán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜與自相關(guān)關(guān)系的式(1)，都可看成是本結(jié)論的1個(gè)特例．