水下氣體射流的渦擴(kuò)散理論模型

陳瑋琪，季錦梁

（1.北京機(jī)電工程研究所，北京100078；2.中國船舶科學(xué)研究中心，江蘇 無錫 214082）

0 引言

流體從某種形式的孔口或狹縫射入同一種或另一種環(huán)境流體而產(chǎn)生的流動，稱為射流。在水利水電工程、航空航天工程以及化工、冶金、機(jī)械等眾多工業(yè)領(lǐng)域，都會遇到大量射流問題，因此對射流的研究具有重要應(yīng)用價(jià)值。

射流問題按環(huán)境流體介質(zhì)及其運(yùn)動情況有多種分類[1]：若射流與環(huán)境流體相同，稱為淹沒射流；若射流與環(huán)境流體不一樣，稱為非淹沒射流；若射流進(jìn)入的環(huán)境流體介質(zhì)靜止且無界，則稱之為自由射流；若環(huán)境流體運(yùn)動，則稱之為伴隨射流；若射流是層流狀態(tài)，稱為層流射流；若射流為湍流狀態(tài)，稱之為湍射流。

射流穩(wěn)定后通?？煞譃?個(gè)區(qū)段：勢流核及其邊緣剪切層的區(qū)段稱為初始段，邊界層充分發(fā)展的區(qū)段為主體段，兩段之間區(qū)段為過渡段。過渡段相對很短，通常在分析中可忽略。

理論上對于射流與環(huán)境流體相同的淹沒自由射流問題研究較多[2]，研究表明：在自由射流主體段的各截面上，速度分布具有自相似性。利用這一點(diǎn)再結(jié)合邊界層方程，Schlichting[3]和Bickley[4]推導(dǎo)了層流射流的速度分布和流量的理論解，Gortler[5]和Schlichting[6]推導(dǎo)了湍射流的速度分布和流量的理論解。這些經(jīng)典理論解都通過了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

對于非淹沒自由射流問題，例如高速氣體在水下噴射形成的射流問題，情況就復(fù)雜的多。這時(shí)的射流是一種氣水摻混的兩相流，流動形態(tài)與氣體速度及空隙率有關(guān)，可分為3類：低速的泡流狀態(tài)、超聲速的射流狀態(tài)、以及介于兩者之間的泡流-射流狀態(tài)，其中的泡流狀態(tài)即指射流中氣體以大量小氣泡形式存在。國內(nèi)施紅輝[7]、戚隆溪[8]等人對水下高速氣體射流開展了實(shí)驗(yàn)研究，測量了射流壓力場，探索了射流不穩(wěn)定的力學(xué)機(jī)制?；莶闧9]利用湍流邊界層方程，從理論上研究了水下氣體射流速度和空隙率在軸線上的分布規(guī)律，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合的很好。

本文研究的是一種從水下航行體上的小孔射出的氣體射流問題。從航行體上觀察，本問題屬于非淹沒伴隨射流問題，伴隨流速為航行體速度。由于伴隨射流存在特征速度（即外流場速度），因此伴隨射流中的速度分布不滿足自相似假設(shè)，從而也很難給出解析解。

考慮到氣體進(jìn)入水中的過程是一個(gè)強(qiáng)烈的氣水摻混過程，水氣的粘性在摻混過程中生成了大量渦量進(jìn)入射流，因此射流可以認(rèn)為是一個(gè)渦量集中區(qū)域。從這個(gè)角度來看，射流也可以用渦量擴(kuò)散方程來描述，本文對此進(jìn)行了初步探索。

1 力學(xué)模型

為了改善航行性能，水下運(yùn)動航行體的表面上會布置一些通氣口，如圖1所示。

圖1 水下航行體上的氣體射流示意圖Fig.1 Schematic diagram of gas jet on underwater vehicle

圖1中可見，氣體以較低速度從中射出，并在航行體表面上形成一層氣泡膜，從而達(dá)到減阻等目的。圖2是其中1個(gè)單孔的氣體射流流動的放大示意圖。

圖2 壁面上單孔氣體射流示意圖Fig.2 Schematic diagram of single hole gas jet on wall

從圖2可看出，氣體以垂直外流速度的方向從孔中射入水流場中，并與外流中水介質(zhì)發(fā)生強(qiáng)烈摻混，生成大量渦量，并以水氣混合兩相形式流動。在氣體射入的速度為低速條件下，兩相射流呈現(xiàn)為泡狀流。泡狀射流在外流場帶動下，射流流動向流場方向彎曲，在經(jīng)過很短距離后，最終與外流場流動方向一致、速度相同（圖中虛線之后的部分），并因科恩達(dá)效應(yīng)貼在壁面上。

在泡狀流繼續(xù)向后發(fā)展過程中，射流厚度逐漸變厚，具體表現(xiàn)為水中氣泡向周圍擴(kuò)散。分析氣泡擴(kuò)散的原因有2個(gè)。

1）水氣強(qiáng)烈摻混過程產(chǎn)生的湍流脈動挾帶氣泡向外擴(kuò)散，即在射流與外流的邊界上，由于湍流脈動而產(chǎn)生動量交換，使得射流邊界不斷向外擴(kuò)散。粘性也會導(dǎo)致邊界擴(kuò)散，但粘性相對湍流脈動的作用要小得多。

2）氣泡自身的膨脹以及氣泡之間的 Bjerknes力的作用。

當(dāng)通氣口的氣體速度較小，或者氣體壓力接近外流壓力時(shí)，氣泡自身的膨脹運(yùn)動可忽略不計(jì)。因此本文僅研究第1）個(gè)原因?qū)е碌臄U(kuò)散。

為了從理論上研究此問題，從上述力學(xué)過程中可提煉出以下假設(shè)。

1）外流場是均勻定常流場，重力場方向與流速相同。

2）通氣口極小且氣體射入速度為亞聲速，流態(tài)為泡狀湍流，微氣泡對流場的影響可忽略。這個(gè)假設(shè)的含義是，由于氣體密度相對水密度小近800倍，因此可近似認(rèn)為兩相流中氣體成分不攜帶渦量，即氣體成分不影響渦量的分布與擴(kuò)散，而僅僅是改變兩相流的密度?；蛘邚牧硪粋€(gè)角度來看，可認(rèn)為微氣泡僅作為流場顯示的作用而存在，類似于流體實(shí)驗(yàn)中用于流場顯示的微氣泡技術(shù)。

3）泡狀射流充分發(fā)展后（圖2中垂直虛線之后），射流的平均速度與外流速度相等。

4）忽略航行體壁面，射流為軸對稱自由湍流。

如果從建立在流場上的動坐標(biāo)系中觀察，上述力學(xué)模型可描述如下（見圖3）。

在流場動坐標(biāo)系中，流場靜止，而航行體向左勻速運(yùn)動。當(dāng)航行體上通氣孔位置穿過某一軸向流體截面的瞬時(shí)，通氣孔中的氣體射流與截面上的水介質(zhì)產(chǎn)生強(qiáng)烈摻混，生成各個(gè)方向的渦量進(jìn)入平面截面。當(dāng)通氣孔穿越截面后，因不再有新的摻混過程，所以也不再有新的渦量產(chǎn)生。即在穿越瞬時(shí)，截面平面上的渦量是有限值，隨后渦在靜水中擴(kuò)散。

氣體從通氣孔出來瞬間，與外界流體的剪切產(chǎn)生的渦主要是以渦環(huán)形式存在，但是由于湍流強(qiáng)烈的脈動與對流，渦環(huán)迅速破碎并向各個(gè)方向擴(kuò)散而產(chǎn)生不同方向的渦。

在實(shí)際問題中航行體表面的摩擦雖然會產(chǎn)生新的渦量進(jìn)入截面平面，但是摩擦力產(chǎn)生的渦量相對氣水摻混過程是小量，因此為了簡化問題，忽略壁面的存在。

圖3 通氣孔穿越橫截平面形成的渦環(huán)Fig.3 Vortex rings formed by vents passing through the cross-section plane

2 數(shù)學(xué)模型

針對上述力學(xué)模型，可建立起定常射流的數(shù)學(xué)模型。為了簡化數(shù)學(xué)描述，將坐標(biāo)原點(diǎn)放在通氣口并建立柱體坐標(biāo)系（r,θ,x），射流軸線作為x軸，徑向距離用r表示。再設(shè)均勻外流場速度為V=（Vr,Vθ,Vx），水的動粘性系數(shù)為μ，動湍流粘性系數(shù)為ν，渦量密度分布為?=（Ωr,Ωθ,Ωx）。

已知不可壓粘性流體渦矢量方程

眾所周知，自由湍流的一個(gè)重要特征是，分子粘性對平均運(yùn)動不起控制作用，平均運(yùn)動基本上取決于湍流渦旋，而湍流剪應(yīng)力為層流應(yīng)力與湍流應(yīng)力之和，即對二維流體有

式中，是平均速度分量。從式（2）的表達(dá)形式來看，ν和μ具有類似的意義。因此，如果假設(shè)動湍流近似為各向同性，即認(rèn)為湍流粘性系數(shù)ν為某一常數(shù)，并采用類似推導(dǎo)雷諾方程的方法，將方程（1）中的速度理解為平均速度，渦量理解為平均渦量，即對應(yīng)與平均速度的旋度則方程（1）中右邊項(xiàng)的動粘性系數(shù)μ應(yīng)該修改為（μ+ν），即方程（1）可改寫為

根據(jù)渦動力學(xué)可知，截面上的渦并不是僅僅在平面上擴(kuò)散，而是在三維空間的任意方向擴(kuò)散，在軸對稱條件下，渦將在軸向和徑向方向擴(kuò)散。在本文中，因?yàn)橹魂P(guān)心射流的邊界或外形，所以只需要求出徑向擴(kuò)散的邊界即可。以下討論都基于方程（3），為了方便，以后將方程（3）中表示平均值的上橫線“—”去掉。因?yàn)?是一個(gè)矢量，所以方程（3）可以展開為描述3個(gè)渦分量發(fā)展的方程，對于只關(guān)心邊界的研究來說，只要求出一個(gè)渦分量的擴(kuò)散邊界即可。

當(dāng)氣體從通氣口射入水介質(zhì)的初始瞬間，氣體與水介質(zhì)的速度間斷形成環(huán)狀渦環(huán)，即初始渦主要以Ωθ分量為主。在通氣孔穿越平面截面瞬間，可認(rèn)為初始渦環(huán)的渦量Ωθ集中在截面平面上的一個(gè)圓形渦絲上。見圖3。

渦Ωθ分量在柱坐標(biāo)系下的擴(kuò)散方程為

式（5）是二維渦擴(kuò)散方程，其含義是，圓形渦絲上的ω僅僅在截面平面上擴(kuò)散。下面考察方程（5）的初邊值條件。

將通氣孔穿越某個(gè)軸向截面的瞬時(shí)作為初始時(shí)刻，在穿越瞬時(shí)，通氣口在截面上將產(chǎn)生一定的初始渦量，為了數(shù)學(xué)上求解方便，暫時(shí)認(rèn)為初始渦絲的半徑接近于0，即渦絲上的所有渦量集中在一點(diǎn)上，因此初始時(shí)刻的流場渦量密度分布可表示為

式中：Φ0表示初始時(shí)刻的渦量總量；δ(r)是δ函數(shù)。

根據(jù)力學(xué)模型，通氣孔穿過截面后，截面上不再有新的渦量產(chǎn)生，因此邊界條件為

式（5）-（7）構(gòu)成了點(diǎn)渦在無限平面擴(kuò)散的定解問題，文獻(xiàn)[10]中給出的解為

3 射流的邊界

渦量集中區(qū)域形成射流外形，因此需計(jì)算半徑為r的圓平面內(nèi)的總渦量Φ（r），即有

當(dāng)η=2時(shí)，因此η=2可以作為射流在截面平面上的邊界，將其代入η的表達(dá)式中，即得到計(jì)算射流厚度Δ隨時(shí)間變化的公式：

對于定常問題，可將時(shí)間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為空間坐標(biāo)。根據(jù)假設(shè) 3），射流速度與外流速度相同，因此有關(guān)系式t=x/U，代入式（11）可得到計(jì)算射流外形的公式

4 射流邊界計(jì)算的改進(jìn)

前面為了數(shù)學(xué)求解方便，在初始條件（3）中認(rèn)為渦量集中在通氣孔位置上的一點(diǎn)，但是實(shí)際上通氣孔是有一定面積的（設(shè)其直徑為d），因此，初始時(shí)刻的射流厚度應(yīng)該等于通氣孔直徑?？紤]到這個(gè)因素，可以將一個(gè)虛擬的渦量集中點(diǎn)移到通氣孔上游的某個(gè)距離處（見圖 3），使得射流發(fā)展到通氣孔位置時(shí)，射流厚度正好等于d，由式（12）可得移動距離為

簡單的通過坐標(biāo)平移，通氣孔之后的射流外形表達(dá)式（12）可修正為

5 射流邊界計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對比分析

根據(jù)式（15）可分析射流外形與Re的關(guān)系，Re中的水粘性系數(shù)μ是已知的，因此如何確定湍流粘性系數(shù)ν值，是計(jì)算射流厚度的關(guān)鍵。

根據(jù)普朗特混合長度理論，動湍流粘性系數(shù)ν是因湍流動量交換產(chǎn)生的，又稱為湍流動交換系數(shù)，實(shí)驗(yàn)表明它比水的動粘性系數(shù)可大上萬倍，即有但是這個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果是在湍流內(nèi)部測量的結(jié)果，而在射流邊界上，射流內(nèi)部一邊是湍流流動，另一邊則是層流，因此邊界上的動量交換可認(rèn)為只有全湍流狀態(tài)的一半，即在射流邊界上有

考慮到射流內(nèi)部是水氣混合物，密度比水要小，因此射流邊界的湍流脈動交換的動量也成比例減少。假設(shè)水氣體積各占，水氣混合物密度也只有水的，則湍流脈動的交換動量也只有水的。因此作為初步估計(jì)，不妨取再取實(shí)驗(yàn)中的雷諾數(shù)Re= 4 16一并代入式（15），計(jì)算的射流邊界與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的對比見圖4（圖中坐標(biāo)是無量綱距離，橫坐標(biāo)表示射流流向距離，縱坐標(biāo)表示射流孔所在位置，d是航行體直徑）。

圖4 理論計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)圖像的對比Fig.4 Comparison between theoretical results and experimental images

從圖4的對比可看出，計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合，這表明本文的理論模型是合理的。注意到實(shí)驗(yàn)圖像中有多個(gè)通氣孔產(chǎn)生的射流，兩相鄰射流在一定距離后邊界發(fā)生交匯而相互融合，利用式（15）可以計(jì)算交匯的距離。

即交匯距離為

取實(shí)驗(yàn)中的孔間距l(xiāng)=4d，計(jì)算得到的交匯距離xl≈ 1 9d，從圖4可看出，計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)圖像非常吻合。

6 雷諾數(shù)的影響

從式（15）可看出，雷諾數(shù)越小，射流厚度就越大，取= 1 00的射流厚度進(jìn)行對比，射流厚度隨雷諾數(shù)變化的曲線見圖5。

圖5 射流厚度隨雷諾數(shù)的變化曲線Fig.5 Variation curve of jet thickness with Reynolds number

從圖5可看出，當(dāng)雷諾數(shù)Re＜ 2 000時(shí)，射流厚度隨雷諾數(shù)的變化非常劇烈。這就表明，如果開展水下氣體射流的縮比實(shí)驗(yàn)，就不能不仔細(xì)考慮雷諾數(shù)的影響。

設(shè)縮尺比為λ，通氣口直徑按λ縮比，速度按縮比，但速度水介質(zhì)和氣體介質(zhì)的粘性系數(shù)不變，因此縮比實(shí)驗(yàn)中的雷諾數(shù)即縮尺比越大，雷諾數(shù)越小。再根據(jù)式（15）可看出，雷諾數(shù)越小，射流厚度就越大，即縮比模型越小，射流厚度越大。利用式（15）計(jì)算了縮尺比為1∶3, 1∶6, 1∶10的情況，其射流厚度 Δ與 1∶1 的結(jié)果比較如圖6所示。

圖 6 不同縮尺比1∶1, 1∶3, 1∶6, 1∶10的射流厚度對比Fig.6 Comparison of jet thicknesses with different scale ratios of 1∶1, 1∶3, 1∶6, 1∶10

7 結(jié)束語

在水下航行體表面上的通氣孔中射入水中的氣體射流不僅是一種水氣摻混的兩相自由湍流，而且由于通氣孔隨航行體運(yùn)動，這種射流也是一種伴隨射流，經(jīng)典的基于邊界層方程和自相似假設(shè)的射流理論對此難以處理。本文從水氣摻混過程產(chǎn)生大量渦量的觀點(diǎn)出發(fā)，基于渦擴(kuò)散理論建立了水下氣體射流的數(shù)學(xué)模型，新模型能較好描述伴隨射流的邊界擴(kuò)散過程，射流邊界的計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合。后續(xù)工作將建立多孔渦擴(kuò)散射流模型，并將其推廣到非定常伴隨射流外形計(jì)算上。