精心設(shè)計(jì)核心問題　發(fā)展學(xué)生思維能力

藍(lán)曉君

[摘? 要] 發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)是教學(xué)的目標(biāo)，發(fā)展思維能力，是提高核心素養(yǎng)的重要途徑，而課堂教學(xué)的每一個(gè)環(huán)節(jié)通常都蘊(yùn)含著一個(gè)解決問題的過程. 問題的有效設(shè)計(jì)是發(fā)展學(xué)生思維能力的關(guān)鍵. 因此根據(jù)教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)學(xué)生思維的發(fā)展點(diǎn)，以問題的有效設(shè)計(jì)把目標(biāo)落實(shí)在課堂中，推進(jìn)核心素養(yǎng)的發(fā)展是教師每天要面臨的任務(wù). 現(xiàn)以“直角三角形相似復(fù)習(xí)”為例，對(duì)教學(xué)發(fā)展學(xué)生思維能力轉(zhuǎn)化為落實(shí)有效的核心問題的這一策略，進(jìn)行闡述和分析.

[關(guān)鍵詞] 核心問題;思維能力;直角三角形相似;學(xué)科素養(yǎng)

問題是數(shù)學(xué)的心臟，以有效的核心問題設(shè)計(jì)為載體，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，是每一節(jié)課中落實(shí)核心素養(yǎng)重要的做法. 所謂的“核心問題”也可以稱為“核心任務(wù)”，它是一節(jié)課或某一個(gè)板塊環(huán)節(jié)中“牽一發(fā)而動(dòng)全身”的中心問題. 這個(gè)問題是課堂教學(xué)的一條主線，它既能激發(fā)和推進(jìn)學(xué)生主動(dòng)活動(dòng)，又能整合現(xiàn)行教材中應(yīng)該學(xué)習(xí)的重點(diǎn)內(nèi)容，為學(xué)生打開一道自主探究的通道，使之在教師的引領(lǐng)下充分展開高層次的思維過程，以實(shí)現(xiàn)知識(shí)的自主建構(gòu)和能力的合面發(fā)展[1]. 下面筆者以一節(jié)復(fù)習(xí)課的設(shè)計(jì)，來闡述自己的想法.

暴露學(xué)生思維層次，預(yù)測學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)

“選擇”是思維能力的重要體現(xiàn). 為了客觀、系統(tǒng)地分析好學(xué)生學(xué)習(xí)起點(diǎn)狀態(tài)，可結(jié)合學(xué)生實(shí)際在課前設(shè)計(jì)的預(yù)習(xí)作業(yè). 對(duì)比學(xué)生不同的解法，滲透優(yōu)化解題的思想，讓學(xué)生懂得如何“選擇”. 同時(shí)可以預(yù)估學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)域.

核心問題一頭連接著核心內(nèi)容、核心目標(biāo)，另一頭連接著學(xué)生. 因此，設(shè)計(jì)核心問題的基礎(chǔ)是正確地預(yù)測學(xué)生的知識(shí)水平和最近發(fā)展區(qū)域.

下面是本節(jié)課的例2，考慮到本節(jié)課的教學(xué)容量和例題本身的經(jīng)典性、難度性，特將此例題設(shè)置為課前預(yù)習(xí)，以便檢測學(xué)生原有的知識(shí)水平、技能等. 檢測結(jié)果發(fā)現(xiàn)正確率很高，但很多學(xué)生耗時(shí)很長！例2如下：

如圖1，在△ABC中，∠C=90°，AC=4厘米，BC=5厘米，點(diǎn)D在邊BC上，且CD=3厘米.現(xiàn)有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A和點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，其中點(diǎn)P以1厘米/秒的速度沿AC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng).過點(diǎn)P作EP∥BC交AD于點(diǎn)E，連接EQ.設(shè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t > 0）.

（1）連接DP，經(jīng)過1秒后，四邊形EQDP能夠成為平行四邊形嗎？請(qǐng)說明理由.

（2）連接PQ，求證：PQ∥AB.

（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△EDQ為直角三角形？

學(xué)生的學(xué)習(xí)需求表現(xiàn)為解法優(yōu)化的指導(dǎo)，解法的優(yōu)化性也確定為本節(jié)課要解決的關(guān)鍵問題. 故上課的引入環(huán)節(jié)設(shè)置為練習(xí)分析，大致環(huán)節(jié)如下：

（1）從整體上分析課前作業(yè)的完成情況，展示大多數(shù)學(xué)生的第1小題的解題過程并整理解題思路后，展示、分析其他班學(xué)生的解法，暴露學(xué)生的思維層次：

師：我們完成本題的最快時(shí)間為20分鐘，而其他班同學(xué)用了不到10分鐘.

提問：哪一種更簡潔？為什么？

生：第二種，短！

師：短就是書寫簡潔，優(yōu)化解題;利用相似法求線長時(shí)還要證相似，而三角函數(shù)法則可直接計(jì)算. 其實(shí)它還有一個(gè)好處：關(guān)系簡單！相似是在兩個(gè)三角形中找對(duì)應(yīng)關(guān)系，三角函數(shù)是在一個(gè)三角形中找！本小題做錯(cuò)的同學(xué)恰恰錯(cuò)在：利用相似找對(duì)應(yīng)邊時(shí)，對(duì)應(yīng)邊順序比錯(cuò)了！

練習(xí)鞏固：

已知在Rt△ADC中，DC=3，AC=4，EP⊥AD.

①若AE=4，則AP的長為多少？

②若AE=4-t，請(qǐng)用t的代數(shù)式分別表示AP的長.

（2）展示并分析問題3的解題過程：

比較得出：能用一次方程解決的問題，盡量不要用二次方程解決.

師：這個(gè)題除了這么解答外，還可以這么做！看看其他班同學(xué)的解答：

教師引導(dǎo)學(xué)生再一次感受用三角函數(shù)解答的簡潔性！

思考：三角函數(shù)法與相似法是兩種不同的解法嗎？

師：回顧昨天的解題過程，我們得到怎樣的一些解題經(jīng)驗(yàn)?zāi)兀?/p>

優(yōu)化解題思路：①能用一次方程解決的問題，盡量不要用二次方程解決. ②優(yōu)化解題思想，時(shí)間成本就是分?jǐn)?shù)成本. 直角三角形相似與三角函數(shù)都是解決數(shù)學(xué)問題的常用工具，他們在解題本質(zhì)上是一致的. 但三角函數(shù)格式更簡單，解法更簡潔、更直接.

重組教材，設(shè)計(jì)核心問題，發(fā)展學(xué)生思維

“直角三角形相似復(fù)習(xí)”這一課，安排了3個(gè)較難的例題. 如果按復(fù)習(xí)導(dǎo)引順序進(jìn)行例題教學(xué)，那么學(xué)生將疲于應(yīng)付，只能“走馬觀花”，不讓他們自主將知識(shí)進(jìn)行內(nèi)化，因此筆者重組教材，精心設(shè)計(jì)核心問題，提高課堂效益.

重組教材，在設(shè)計(jì)核心問題之前，教師首先應(yīng)站在命題思考的高度，認(rèn)真研讀考試要求. 其次，從整體把握考試要求與課本三大例題的聯(lián)系，用心揣摩教材編者的意圖，對(duì)三大例題進(jìn)行全面的解讀，以便精準(zhǔn)地把握本節(jié)課的重點(diǎn)及難點(diǎn)，設(shè)計(jì)出合理明確的教學(xué)目標(biāo). 本節(jié)課的核心任務(wù)為：如何在復(fù)雜圖形識(shí)別直角三角形相似，將它作為一種工具，幫助我們解決問題，并體會(huì)轉(zhuǎn)化的思想和培養(yǎng)優(yōu)化解題的能力.

尋找到恰當(dāng)?shù)那腥肟谥亟M教材是設(shè)計(jì)核心問題的有效方式. 數(shù)學(xué)知識(shí)是一個(gè)動(dòng)態(tài)的發(fā)展的知識(shí)體系，由于學(xué)生的差異性，在教學(xué)中需要尋找到恰當(dāng)?shù)那腥肟谕卣够蛑亟M教材. 課本例1的第2小題的難度系數(shù)很大，一般的學(xué)生根本無法解答. 為了能有效地調(diào)動(dòng)學(xué)生主動(dòng)參與學(xué)習(xí)的積極性，使他們能完成知識(shí)的自主建構(gòu)，突破本節(jié)課的核心問題，即把相似作為一種工具.

如何在以直角三角形為背景下的復(fù)雜圖形中幫助我們解決問題，特挖出例題中隱含的直角三角形（即分別延長AE，BC交于一點(diǎn)G，則△ABG為直角三角形），教學(xué)實(shí)錄大致如下：

1. 在學(xué)生已有的知識(shí)點(diǎn)附近，設(shè)置適度的開放題

問題一：已知在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，點(diǎn)E從B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，連接AE，設(shè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，請(qǐng)大家鎖定△ABE，你能提出怎樣的數(shù)學(xué)問題？

這是在重現(xiàn)例2所隱藏的直角三角形后設(shè)置的一個(gè)開放題，起點(diǎn)較低. 其目的除了能有效地向?qū)W生展示他們最熟悉的知識(shí)點(diǎn)，讓他們有足夠的空間去憑借自己的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)問題、解決問題.

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△ABE是等腰三角形？

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，AE平分∠BAC？

雖然這兩個(gè)問題較為簡單，學(xué)生能較快解決，但教學(xué)中注意強(qiáng)調(diào)以下幾點(diǎn)：

（1）注意基本圖形的提煉. 例如，等腰三角形→角平分線.

（2）體現(xiàn)轉(zhuǎn)化思想，例如，等腰三角形中可將腰的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為底的數(shù)量關(guān)系;角平分線中可將角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為線段的數(shù)量關(guān)系，幫助學(xué)生將知識(shí)自主建構(gòu).

師梳理總結(jié)：解決這兩個(gè)問題的方法有多樣，要注意強(qiáng)調(diào)方法的優(yōu)化. 注意提煉解決這類問題的關(guān)鍵，即找等量關(guān)系，用方程思想解決問題. 并總結(jié)找等量關(guān)系常用方法，如勾股法、相似法、三角函數(shù)法等.

2. “轉(zhuǎn)化”與“推理”的問題設(shè)計(jì)，是發(fā)展思維能力的重要演繹

在問題一的基礎(chǔ)上，以AC為直徑作一個(gè)圓，得到如下問題：

問題二：已知在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，點(diǎn)E從B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，連接AE，以AC為直徑作圓，分別交AB，AE于點(diǎn)D，M. 設(shè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，隨著E點(diǎn)的移動(dòng)，新產(chǎn)生的量，哪些量會(huì)變化，哪些量不會(huì)變化？請(qǐng)問：

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)M是弧CD的中點(diǎn)？

可做適當(dāng)提示：看到弧的中點(diǎn)，你想到了什么？

生：角等. 即∠EAC=∠BAE.

師：此問題就可轉(zhuǎn)化為哪個(gè)問題？

生：哦！就可轉(zhuǎn)化為前面的第二小題，即當(dāng)t為何值時(shí)，AE平分∠BAC.

師：學(xué)數(shù)學(xué)，我們要善于聯(lián)想！如前面看到等腰三角形、角平分線就要想到它們的基本圖形;看到弧的中點(diǎn)，就要聯(lián)想到圓周角等. 善于聯(lián)想、善于轉(zhuǎn)化，你會(huì)發(fā)現(xiàn)原來復(fù)雜的問題就是由簡單的問題轉(zhuǎn)化而成的！

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)D是弧AM的中點(diǎn)？

此問看似與上一問相似，其實(shí)難度提升了不少！但解決的策略與上題一致. 學(xué)生通過上一小題的解決會(huì)有模糊、不完整的思路，教師通過追問將其清晰化，如：

生：連接CD.

師：你為什么會(huì)想到連接CD？

生：因?yàn)榛∠嗟染陀袌A周角相等;還有直徑所對(duì)的圓周角等于90°.

師：這里除了有角相等外，還產(chǎn)生了新的直角三角形，為此你們又發(fā)現(xiàn)此題還隱含著哪些基本圖形呢？

引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“母子相似”的基本圖形，由此得到∠EBA=∠BAE，感受題目是由問題一中的第一小題轉(zhuǎn)化而成，即當(dāng)t為何值時(shí)，△ABE是等腰三角形？找到題目的“本質(zhì)”，突破本節(jié)課的核心問題，即把相似作為一種工具，如何在以直角三角形為背景下的復(fù)雜圖形中幫助我們解決問題.

如果上課時(shí)間充足，可繼續(xù)解決下面的問題：求證EC=EN;求CN ∶ DN的值.

課堂核心問題的設(shè)計(jì)直接影響學(xué)生思維能力的發(fā)展，同時(shí)也影響課堂效率的高低，需要我們不斷地實(shí)踐與反思. 常常有老師會(huì)嘆息：“如何讓學(xué)生喜愛數(shù)學(xué)？”也有很多老師試圖用情境化的有趣引入等外部人文因素來促使學(xué)生喜愛數(shù)學(xué)，而忽略了學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程，學(xué)生經(jīng)歷的探究、深度思維、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)本身的“內(nèi)在美”，然后獲得無法用言語描述的美妙的體驗(yàn). 設(shè)計(jì)有價(jià)值的核心問題，引導(dǎo)學(xué)生思考，感受數(shù)學(xué)內(nèi)在魅力才是學(xué)生喜愛數(shù)學(xué)的決定因素.

期盼老師們都能根據(jù)教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)重難點(diǎn)，將內(nèi)容設(shè)計(jì)成使學(xué)生覺得有趣、有意義、有挑戰(zhàn)性的核心問題，讓學(xué)生體會(huì)整體思想、轉(zhuǎn)化思想、方程思想等數(shù)學(xué)思想方法，體會(huì)數(shù)學(xué)的美妙. 達(dá)到以問題為載體，落實(shí)數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)展學(xué)生思維這一核心任務(wù)，明確目標(biāo)，實(shí)現(xiàn)學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)的提升.

參考文獻(xiàn)：

[1]周建勛. 發(fā)展學(xué)生的思維能力是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心任務(wù)——2018年無錫市數(shù)學(xué)中考試題選析. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2018（26）.