高速動(dòng)車軸箱軸承疲勞壽命計(jì)算方法

李 震，商慧玲，張 旭，孫 偉

(1. 大連理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 遼寧 大連 116024；2. 北京金風(fēng)科創(chuàng)風(fēng)電設(shè)備有限公司 研發(fā)中心機(jī)械技術(shù)部, 北京 100176；3. 大連工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院， 遼寧 大連 116024)

軸承是高速動(dòng)車的核心零部件之一，其承載動(dòng)車總質(zhì)量和各種復(fù)雜載荷，在保障高速動(dòng)車穩(wěn)定高速地運(yùn)行過(guò)程中起著重要作用[1-2]。準(zhǔn)確預(yù)測(cè)軸承的工作壽命極其必要, 預(yù)測(cè)值過(guò)大會(huì)埋下重大安全隱患，過(guò)于保守會(huì)導(dǎo)致材料物質(zhì)浪費(fèi)[3]。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者針對(duì)軸承的壽命問(wèn)題做了大量研究。Jones等[4]基于軸承靜力學(xué)模型研究了軸承的接觸疲勞壽命；Ghaisas等[5]研究了軸承在固體潤(rùn)滑介質(zhì)工作條件下的載荷特征與疲勞壽命，提出了針對(duì)角接觸球軸承的動(dòng)力學(xué)模型；Sakaguchi等[6]基于ADAMS動(dòng)力學(xué)軟件研究了實(shí)際工況下角接觸球軸承的接觸疲勞壽命；Bercea等[7-8]建立了軸承的擬靜力學(xué)分析模型，研究了傾覆力矩與軸承游隙對(duì)其壽命特征的影響；萬(wàn)長(zhǎng)森等[9]基于Lundberg和Palmgren軸承疲勞壽命方法，研究了角接觸球軸承的壽命特征；杜冰等[10]基于彈性流體潤(rùn)滑理論開展了角接觸球軸承壽命特征的研究工作；冷鋼等[11]基于擬動(dòng)力學(xué)分析軟件得到軸承內(nèi)部的載荷分布，同時(shí)考慮了過(guò)盈配合和溫度等外在條件，研究了圓柱滾子軸承壽命的計(jì)算方法；吳子英等[12]針對(duì)鐵路列車不同運(yùn)行速度和不同可靠度條件建立三參數(shù)威布爾模型，研究了軸箱軸承的疲勞壽命。國(guó)內(nèi)外對(duì)軸承壽命的研究主要集中于球軸承和圓柱滾子，對(duì)圓錐滾子軸承的壽命分析及其計(jì)算方法的研究則較少。

考慮上述問(wèn)題，本文針對(duì)某型號(hào)高速動(dòng)車，分析軸箱使用的雙列圓錐滾子軸承，建立該類軸承的擬靜力學(xué)模型，從而得到其內(nèi)部載荷分布及疲勞壽命。比較了不同軸承疲勞壽命計(jì)算方法的差異，獲得在不同工況下軸承的疲勞壽命特性，為高速動(dòng)車軸箱軸承的研發(fā)設(shè)計(jì)及軸承疲勞壽命的準(zhǔn)確預(yù)測(cè)提供了理論基礎(chǔ)。

1 雙列圓錐滾子軸承擬靜力學(xué)模型

軸承擬靜力學(xué)分析的基本思想是將高速運(yùn)動(dòng)軸承元件的離心力和陀螺力矩效應(yīng)，與外載荷一起計(jì)入軸承的力和力矩平衡方程組，采用迭代方法求解這個(gè)非線性方程組[3]。

1.1 雙列圓錐滾子軸承幾何要素及載荷

雙列圓錐滾子軸承在實(shí)際應(yīng)用時(shí)有2種結(jié)構(gòu)形式，即“面對(duì)面”和“背對(duì)背”結(jié)構(gòu)。高速動(dòng)車中的安裝形式采用“背對(duì)背”結(jié)構(gòu)，本文建立了包含(5+3n)個(gè)自由度的軸承擬靜力學(xué)模型[13]，其中軸承內(nèi)圈有5個(gè)自由度，每個(gè)軸承滾子有3個(gè)。該模型采用2個(gè)坐標(biāo)系：固定在軸承外圈上的慣性坐標(biāo)系oxyz，軸承中心為原點(diǎn)，見圖1，其單位矢量為ex、ey、ez。F0為沿z軸方向的預(yù)緊力；Fz為軸向力；Fx、Fy分別為沿軸承半徑方向的徑向力；Mx、My分別為繞x、y軸的傾覆力矩。

另一個(gè)是固定在軸承滾子上的滾子坐標(biāo)系owxwywzw，滾子大端中心為原點(diǎn)，見圖2，其單位矢量為ewx、ewy、ewz。圖2中,ρwe、ρwi、ρwf分別是滾子與外圈、內(nèi)圈和擋邊接觸點(diǎn)的位置矢量；α、β、θ分別是外圈、內(nèi)圈和擋邊的接觸角；γ是中間接觸角；ε是滾子的半錐角。滾子坐標(biāo)系相對(duì)于慣性坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣MRN為

( 1 )

式中：ψ為滾子相對(duì)于慣性坐標(biāo)系x軸的方位角。

擬靜力學(xué)分析模型采用如下基本假設(shè)[14]：①軸承各部分結(jié)構(gòu)的材料均為線彈性材料；②滾子輪廓和滾道輪廓均為直線；③忽略軸承內(nèi)部的摩擦力和摩擦力矩；④忽略軸承保持架的影響；⑤軸承的外圈固定。雙列圓錐滾子軸承工作時(shí)，承受如下載荷(見圖1)：F0(為了保證負(fù)游隙Ga)，F(xiàn)z、Fx、Fy，Mx、My。

滾子和內(nèi)圈在外部載荷作用下會(huì)產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)和平移運(yùn)動(dòng)，使得偏離其初始位置。在慣性坐標(biāo)系中采用平移向量U和旋轉(zhuǎn)向量Φ為軸承內(nèi)圈的位移

U=[ux,uy,uz]T

( 2 )

Φ=[φx,φy,0]T

( 3 )

式中：ux,、uy、uz、φx、φy分別為軸承內(nèi)圈相對(duì)于慣性坐標(biāo)系的線位移及角位移。

為描述軸承滾子在平衡時(shí)的位移，在滾子坐標(biāo)系中采用平移向量Um及旋轉(zhuǎn)向量Φm表示

Um=[0,umy,umz]T

( 4 )

Φm=[φmx,0,0]T

( 5 )

式中：umy、umz、φmx分別為軸承滾子在滾子坐標(biāo)系下的線位移與角位移；m為滾子所在位置，m=1為左側(cè)滾子，m=2為右側(cè)滾子。

1.2 圓錐滾子的受力特征及軸承平衡方程1.2.1 內(nèi)圈接觸點(diǎn)位置矢量

慣性坐標(biāo)系下內(nèi)、外圈接觸點(diǎn)位置矢量見圖3。圖3中，ew和rw分別是軸承初始狀態(tài)下滾子坐標(biāo)系原點(diǎn)到慣性坐標(biāo)系y和z軸的距離，Re、Ri、Rf分別是外圈、內(nèi)圈和擋邊與滾子的接觸點(diǎn)矢量，其表達(dá)式為

( 6 )

施加載荷后，內(nèi)圈的平移矢量為

( 7 )

式中：“+”為左側(cè)內(nèi)圈，“-”為右側(cè)內(nèi)圈。

角位移φx、φy生成的旋轉(zhuǎn)矩陣MI為

( 8 )

( 9 )

1.2.2 滾子觸點(diǎn)位置矢量

軸承滾子變形之前，滾子與外圈、內(nèi)圈和擋邊接觸點(diǎn)的位置矢量(圖2)在滾子坐標(biāo)系中表示為

(10)

施加載荷后，滾子的平移矢量為

Λ=μmyewy+μmzewz

(11)

角位移φmx生成的旋轉(zhuǎn)矩陣MR為

(12)

因此，滾子變形后，其與外圈、內(nèi)圈和擋邊接觸點(diǎn)的位置矢量為

(13)

1.2.3 各接觸點(diǎn)位置法線方向的形變和受力

如圖3所示，滾子坐標(biāo)系原點(diǎn)ow的位置矢量為

Uw=rmcosψex+rmsinψey?ewez

(14)

式中:“-”為左側(cè)滾子；“+”為右側(cè)滾子。

內(nèi)圈、外圈和擋邊接觸位置的單位法向量為

(15)

施加載荷后，軸承在外圈、內(nèi)圈和擋邊各個(gè)接觸位置發(fā)生的形變可表示為

(16)

基于赫茲接觸理論，滾子與軸承內(nèi)外圈的變形與接觸載荷關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)公式為

(17)

式中：Q為滾子載荷；l為滾子長(zhǎng)度。

滾子與檔邊是點(diǎn)接觸形式，其接觸載荷和變形的關(guān)系為[15]

(18)

1.2.4 軸承平衡方程

滾子受力圖見圖4，其中，Qe、Qi和Qf分別為給定位移條件下軸承滾子與外圈、內(nèi)圈和擋邊接觸處的載荷；Fc為滾子的離心力；Tc為離心力形成的力矩；Tg為軸承滾子的陀螺力矩。滾子的離心力Fc為

(19)

式中：ρ為軸承滾動(dòng)體的密度；V為軸承滾動(dòng)體的體積；nm為軸承滾動(dòng)體繞軸承軸線轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的速度；rg為軸承滾子重心相對(duì)應(yīng)圓的半徑。

軸承滾子的陀螺力矩Tg為

(20)

式中：J為慣性矩；ωm為軸承滾動(dòng)體繞軸承軸線轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的角速度；ωr為軸承滾動(dòng)體繞自身軸線旋轉(zhuǎn)時(shí)的角速度。

如圖4所示，在滾子坐標(biāo)系中滾子平衡方程可以表示為

(21)

式中：Te、Ti和Tf分別是外圈、內(nèi)圈和擋邊接觸載荷在滾子坐標(biāo)系中的力矩。

軸承的整體平衡方程在慣性坐標(biāo)系表示為

(22)

式中：Qex、Qey、Qex分別為Qe在慣性坐標(biāo)系中的分量；Tex、Tey分別為Qe慣性坐標(biāo)系中形成的力矩分量；Z為單列滾子數(shù)。

1.3 軸承擬靜力學(xué)模型的求解

軸承擬靜力學(xué)計(jì)算流程見圖5。

為了快速求解擬靜力學(xué)平衡方程，基于符號(hào)運(yùn)算工具包(SymPy) ，推導(dǎo)并化簡(jiǎn)了軸承載荷計(jì)算公式，具體程序代碼可參考網(wǎng)址進(jìn)行查看[16]。在此基礎(chǔ)上，利用數(shù)值分析工具包(NumPy, SciPy)求解該非線性平衡方程組，計(jì)算過(guò)程見圖5。在軸承結(jié)構(gòu)和工況確定之后，設(shè)定軸承滾子及軸承內(nèi)圈的初始位移，然后對(duì)滾子和軸承的力學(xué)平衡方程組進(jìn)行迭代求解，直至獲得最終的收斂解。利用迭代計(jì)算求得的位移解，可以計(jì)算軸承內(nèi)部的各種載荷，并將其應(yīng)用于后續(xù)軸承壽命的計(jì)算。

2 軸承的疲勞壽命

當(dāng)前主要有3種方法用于計(jì)算滾動(dòng)軸承的額定壽命。方法一是基于ISO 281—2007標(biāo)準(zhǔn)的計(jì)算方法；方法二是基于次表層應(yīng)力的Lundberg和Palmgren理論計(jì)算方法；方法三是改進(jìn)的L-P理論計(jì)算方法。

2.1 ISO標(biāo)準(zhǔn)中滾子軸承的基本額定壽命計(jì)算

軸承疲勞壽命計(jì)算采用如下假設(shè)：①支撐軸承的套圈具有剛性特征；②軸承具有較低轉(zhuǎn)速時(shí)不考慮離心力及陀螺力矩；③軸承的內(nèi)部游隙在軸承承受徑向載荷時(shí)認(rèn)為是零；④針對(duì)名義接觸角，角接觸軸承被認(rèn)為是常數(shù)；⑤對(duì)于滾子軸承，滾子和軸承滾道之間相互接觸，其間載荷認(rèn)為是分布均勻的[17]。

依據(jù)ISO281—2007[18]，針對(duì)徑向滾子軸承，其基本額定動(dòng)載荷為

(23)

式中：bm為經(jīng)常使用的淬硬軸承鋼與良好的制造方法的額定系數(shù)[19]；fc為與軸承零部件的形狀、精度和材料特征相關(guān)的系數(shù)，其值由Dwecosα/Dpw查表確定；Dwe為軸承滾子的直徑，針對(duì)圓錐滾子而言，其值為滾子的大端與小端直徑和的一半；α為滾子軸承結(jié)構(gòu)中的公稱接觸角；Dpw為軸承滾子結(jié)構(gòu)的節(jié)圓直徑；i為軸承滾子的列數(shù)；Lwe為軸承滾子的實(shí)際有效作用長(zhǎng)度；Z為軸承滾子的個(gè)數(shù)。

當(dāng)軸承在保持定值的軸向載荷、徑向載荷的共同作用下，軸承的徑向當(dāng)量動(dòng)載荷為

Pr=XFr+YFa

(24)

針對(duì)基本的額定壽命，軸承的壽命[20]為

(25)

式中：L10為基本額定壽命，百萬(wàn)轉(zhuǎn)。

2.2 L-P理論滾子軸承基本額定壽命計(jì)算

對(duì)于滾子軸承的滾道，額定的動(dòng)載荷為

(26)

相對(duì)于承受的外部載荷來(lái)說(shuō)，軸承的內(nèi)圈是在做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，內(nèi)圈的當(dāng)量載荷為

(27)

因此，軸承的內(nèi)圈壽命為

(28)

外圈相對(duì)于軸承外部載荷處于靜止?fàn)顟B(tài)，則外圈的當(dāng)量載荷為

(29)

因此，軸承外圈的壽命為

(30)

綜上，計(jì)算的軸承的基本額定壽命為

(31)

修正之后的軸承額定壽命為

(32)

式中：修正系數(shù)bm可以基于軸承的類型進(jìn)行考慮。

雙列圓錐滾子軸承的壽命計(jì)算為

(33)

式中：Lnm1、Lnm2分別為左側(cè)軸承、右側(cè)軸承修正之后的額定壽命。

上述軸承壽命計(jì)算方法過(guò)于嚴(yán)格，為簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，針對(duì)剛性套圈中等轉(zhuǎn)速的滾子軸承Lundberg 和Palmgren提出了如下近似公式[20]

Qei=QmaxJ1

(34)

(35)

Qeo=QmaxJ2

(36)

(37)

2.3 改進(jìn)的L-P方法中軸承的額定壽命

當(dāng)軸承承受復(fù)合載荷時(shí)，即同時(shí)受到徑向力和彎矩等作用，導(dǎo)致軸承的內(nèi)部載荷實(shí)際分布特征與標(biāo)準(zhǔn)中規(guī)定的分布特征出現(xiàn)偏差，同時(shí)也使得沿滾子長(zhǎng)度方向的載荷產(chǎn)生偏載等。而L-P壽命公式未考慮以上偏差與偏載等對(duì)軸承壽命的影響。

Harris考慮軸承承受復(fù)合載荷時(shí)，軸承的內(nèi)部載荷實(shí)際分布特征和周向的應(yīng)力對(duì)軸承壽命的影響，根據(jù)軸承的額定動(dòng)載荷方法，進(jìn)一步將L-P方法做了深入研究。沿著軸承滾子的長(zhǎng)度方向，把有效接觸長(zhǎng)度值l的軸承滾道，劃分成T個(gè)小段[3]。考慮軸承滾道的切片，其疲勞壽命如下

(38)

式中：QC,k,m,t為軸承滾動(dòng)體-滾道切片的基本額定動(dòng)載荷；QE,k,m,t為位于同列的軸承滾道上面的當(dāng)量接觸載荷值；t為切成的第t個(gè)片段；m=1為左側(cè)軸承，m=2為右側(cè)軸承。

(39)

式中：Dt為第t個(gè)切成片段的直徑；dpt為第t個(gè)切片軸承的節(jié)圓直徑。

針對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)軸承內(nèi)滾道

(40)

針對(duì)固定的軸承外滾道

(41)

滾道結(jié)構(gòu)整體的壽命為

(42)

滾子-滾道相接觸的時(shí)候，考慮滾子薄片，其基本的額定動(dòng)載荷(單位為106轉(zhuǎn))為

qC,j,k,t=464(1?γ*)1.324(Δl)7/9Dt29/27

(43)

當(dāng)軸承滾子與內(nèi)外滾道相接觸，滾子薄片和滾道薄片的壽命計(jì)算方法相一致，軸承滾動(dòng)體—內(nèi)外圈滾道切片的疲勞壽命為

(44)

把軸承滾子的轉(zhuǎn)動(dòng)數(shù)轉(zhuǎn)換成套圈的轉(zhuǎn)動(dòng)數(shù)，當(dāng)內(nèi)圈轉(zhuǎn)動(dòng)一周時(shí)，軸承滾子的轉(zhuǎn)動(dòng)數(shù)N為

(45)

綜合滾子的壽命和內(nèi)外滾道的壽命，雙列圓錐滾子軸承的整體壽命為[3]

(46)

3 高速動(dòng)車軸箱軸承分析

某高速動(dòng)車的軸箱軸承實(shí)際工作條件為：動(dòng)車的單根軸重為17 t,通過(guò)計(jì)算得到軸承承受的徑向載荷值約等于95 kN，軸向載荷值約等于25 kN(該值根據(jù)軸載荷的15%計(jì)算得到)。雙列圓錐滾子軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)見表1。

表1 雙列圓錐滾子軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)[14]

3.1 軸承內(nèi)部的載荷特征

滾子與內(nèi)圈滾道、擋邊接觸載荷特征見圖6。

圖6的工況條件為：Fy=90 kN，F(xiàn)z=25 kN，高速動(dòng)車運(yùn)行速度為250 km/h，軸承存在的負(fù)游隙值Ga，分別為0.10、0.15、0.20 mm。當(dāng)軸承承受著相同的外部施加載荷時(shí)，軸承內(nèi)部承受的接觸載荷值，隨著軸承自身負(fù)游隙值的增大而增大，導(dǎo)致軸承的額定承載值更加容易達(dá)到。同時(shí)，當(dāng)軸承負(fù)游隙值增大時(shí)，處于軸承內(nèi)部不同位置的滾子，與內(nèi)圈擋邊及滾道的接觸載荷值的大小差異也變的越來(lái)越小，使得在軸承內(nèi)部的各滾子承受的載荷分布更加均勻。

在列車不同速度下，第一列滾子與內(nèi)圈滾道、擋邊接觸載荷特征，見圖7—圖9。單個(gè)滾子所受的離心力及滾子附加力矩和陀螺力矩。

圖7工況條件為：Fy=90 kN，F(xiàn)z=25 kN，軸承負(fù)游隙值Ga=0.10 mm。在高速列車速度從50 km/h增加到250 km/h過(guò)程中，軸承滾子和內(nèi)圈滾道在接觸時(shí)的最大載荷值僅僅增大了36.8 N, 軸承滾子和內(nèi)圈擋邊在接觸時(shí)的最大載荷值僅僅增大了11.01 N。由圖8、圖9中可以發(fā)現(xiàn)，軸承滾子的離心力最大值為74 N，附加力矩的最大值為1.63 N·m。其與外載荷相比較，高速列車速度變化產(chǎn)生的離心效應(yīng)，對(duì)軸承內(nèi)部各滾子載荷特征的影響并不明顯，因此對(duì)于該動(dòng)車軸箱軸承，采用靜力學(xué)模型即可達(dá)到分析要求。

3.2 ISO標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算方法與L-P理論計(jì)算方法的對(duì)比分析

軸承壽命隨徑向、軸向載荷變化2種算法對(duì)比見圖10。

由圖10可見，當(dāng)軸承的徑向與軸向載荷增大時(shí)，計(jì)算出的軸承壽命均在逐漸變小。當(dāng)軸承載荷條件相同時(shí)，L-P理論計(jì)算較ISO標(biāo)準(zhǔn)算法得出的壽命值要小許多。原因之一是ISO標(biāo)準(zhǔn)算法中，沒有考慮到陀螺力矩和離心力的存在對(duì)軸承壽命的影響；其二是當(dāng)給軸承施加軸向預(yù)載荷時(shí)，軸承的徑向游隙值會(huì)產(chǎn)生增大效應(yīng)，增大的游隙值使得軸承內(nèi)部各滾子的載荷分布情況發(fā)生較大變化，而ISO標(biāo)準(zhǔn)的計(jì)算算法中卻將軸承游隙值假定為零。由圖10還可以發(fā)現(xiàn)，基于以上2種計(jì)算方法所獲得的軸承壽命預(yù)測(cè)結(jié)果的差值，隨負(fù)游隙值的減小而變的越來(lái)越小，隨載荷的減小而變的越來(lái)越大。

3.3 L-P理論計(jì)算方法與改進(jìn)的L-P理論計(jì)算方法對(duì)比分析

軸承壽命隨徑向、軸向荷載變化中，L-P方法與改進(jìn)L-P方法對(duì)比見圖11。

由圖11可以看到，2種計(jì)算方法中，軸承壽命均隨軸承承受的徑向與軸向載荷值的變大而逐漸減小。改進(jìn)的L-P方法比L-P方法計(jì)算得到的軸承壽命結(jié)果要小，是因?yàn)槠湓谟?jì)算過(guò)程中將滾動(dòng)體的壽命作了考慮。改進(jìn)的L-P方法分析得到的軸承壽命結(jié)果大約是L-P理論計(jì)算結(jié)果的45%，并且這個(gè)比值不會(huì)隨著軸承載荷大小和游隙值的變化而改變，其原因是這2種計(jì)算方法采用的都是軸承內(nèi)部的載荷特征，當(dāng)游隙變化導(dǎo)致載荷分布發(fā)生變化時(shí)，對(duì)2種方法產(chǎn)生的影響是相同的。

通過(guò)以上分析可知，采用不同的方法計(jì)算軸承疲勞壽命，結(jié)果差異較大。軸承在真實(shí)的工作環(huán)境中，往往承受著復(fù)合載荷，如徑向載荷與彎矩等，這要求實(shí)際研究時(shí)建立合適的軸承力學(xué)模型，同時(shí)采用改進(jìn)的L-P理論去計(jì)算軸承的疲勞壽命特征，能夠更全面、準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)軸承實(shí)際工作時(shí)的疲勞壽命。

4 結(jié)論

(1) 本研究建立了包含(5+3n)個(gè)自由度的高速動(dòng)車雙列圓錐滾子軸承的擬靜力學(xué)模型，獲得了軸承在不同游隙值與不同運(yùn)行速度下的內(nèi)部載荷分布情況。軸承的內(nèi)部載荷值隨著軸承負(fù)游隙值的增大而增大；當(dāng)列車運(yùn)行速度發(fā)生變化時(shí)，軸承內(nèi)部的載荷分布情況變化不大。

(2) 比較ISO標(biāo)準(zhǔn)方法與L-P理論方法的計(jì)算結(jié)果，前者因未考慮軸承的離心效應(yīng)與游隙等因素，使得利用ISO標(biāo)準(zhǔn)方法計(jì)算出的軸承壽命比利用L-P理論計(jì)算的軸承壽命值要大；同時(shí)，2種計(jì)算方法所得壽命結(jié)果的差異隨著軸承游隙值的減小而逐漸減小。

(3) 比較L-P理論方法與改進(jìn)的L-P理論方法的計(jì)算結(jié)果，后者在計(jì)算過(guò)程中考慮了滾動(dòng)體帶來(lái)的影響，使得計(jì)算得到的軸承壽命值最??；同時(shí)，當(dāng)軸承的游隙值發(fā)生變化時(shí)，2種計(jì)算方法計(jì)算結(jié)果的比值并不會(huì)隨著改變。