《獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本原理及其初步應(yīng)用》的教學(xué)研究

蘇志強(qiáng) 王慧

摘 要：高中階段“獨(dú)立性檢驗(yàn)”知識(shí)一直是教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，尤其在文科班教學(xué)中會(huì)碰到更大的理解障礙。故本人打算研究一下“獨(dú)立性檢驗(yàn)”在文科數(shù)學(xué)教學(xué)中的問(wèn)題，以一個(gè)不同的教學(xué)視角重塑教材，促進(jìn)文科生更好地理解和掌握獨(dú)立性檢驗(yàn)知識(shí).

關(guān)鍵詞：獨(dú)立性檢驗(yàn);教材解析

一、產(chǎn)生背景

高中數(shù)學(xué)“獨(dú)立性檢驗(yàn)”知識(shí)一直是教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，并且在文科數(shù)學(xué)和理科數(shù)學(xué)中的教學(xué)方式很不相同。本人通過(guò)查閱相關(guān)文獻(xiàn)，感覺(jué)多數(shù)文章都是針對(duì)理科數(shù)學(xué)的“獨(dú)立性檢驗(yàn)”教學(xué)進(jìn)行研究，從事件的相互獨(dú)立性入手，推出兩個(gè)分類變量無(wú)關(guān)下的公式，然后結(jié)合小概率原理說(shuō)明獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本原理。這樣的教學(xué)在文科數(shù)學(xué)教學(xué)中卻會(huì)碰到很大的障礙，本文打算研究一下“獨(dú)立性檢驗(yàn)”在文科數(shù)學(xué)中的教學(xué)問(wèn)題，以一個(gè)不同的教學(xué)視角重塑教材，促進(jìn)文科生更好地理解獨(dú)和掌握獨(dú)立性檢驗(yàn)知識(shí)。

二、問(wèn)題提出

文科生應(yīng)該如何學(xué)習(xí)“獨(dú)立性檢驗(yàn)”知識(shí)？這對(duì)大多數(shù)一線老師來(lái)說(shuō)都是一個(gè)頭疼的問(wèn)題。首先文科學(xué)生多數(shù)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不好，對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解不夠深刻;其次“獨(dú)立性檢驗(yàn)”知識(shí)放在了選修1—2的第一章第2節(jié)，在此之前學(xué)生沒(méi)有學(xué)習(xí)過(guò)相關(guān)知識(shí)：比如假設(shè)檢驗(yàn)的知識(shí)[1]、連續(xù)型隨機(jī)變量和正態(tài)分布的知識(shí)，也沒(méi)有正式學(xué)習(xí)過(guò)小概率原理和反證法原理等等，所以很多學(xué)生會(huì)困惑為什么獨(dú)立性檢驗(yàn)要假設(shè)兩個(gè)分類變量無(wú)關(guān)？為什么不能假設(shè)兩個(gè)分類變量有關(guān)？為什么要構(gòu)造K2？K2為什么用書上的形式？P（K2≥6.635）=0.01是什么意思？6.635是怎么冒出來(lái)的？“犯錯(cuò)誤不超過(guò)0.01”又該如何理解？[2]鑒于此，要想讓文科生易于接受獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想，就不能按照教材的過(guò)程按部就班地進(jìn)行教學(xué)，應(yīng)當(dāng)對(duì)教材深入挖掘和提煉，找到一個(gè)適合文科生數(shù)學(xué)現(xiàn)狀的教學(xué)方式。

那么“獨(dú)立性檢驗(yàn)”如何教學(xué)才能更好的讓文科生接受呢？本人最近在本市上了一節(jié)本課例的示范課，收獲了很好的教學(xué)效果，在此列出其中的一些片段，希望能夠與各位同仁探討一下。

三、實(shí)施過(guò)程

（前面的分類變量、列聯(lián)表、數(shù)據(jù)和圖形分析的講解過(guò)程省略）

師：同學(xué)們，我們知道了數(shù)據(jù)和圖形分析可以很直觀的判斷出兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系，但是現(xiàn)在有個(gè)問(wèn)題，我們這個(gè)判斷結(jié)果有沒(méi)有可能犯錯(cuò)誤呢？

生1：有可能，因?yàn)檎{(diào)查數(shù)據(jù)有一定的隨機(jī)性

師：很好，我們通過(guò)數(shù)據(jù)和圖形分析得來(lái)的判斷過(guò)于依賴數(shù)據(jù)的特征，這便有可能造成誤判，那么如果我們能將這種誤判的風(fēng)險(xiǎn)定量化是不是對(duì)于決策會(huì)產(chǎn)生很好的幫助呢？比如我們不僅得到了一個(gè)判斷結(jié)果，而且還知道這個(gè)結(jié)果犯錯(cuò)誤的可能性只有1%，那么我們的結(jié)果是不是更有說(shuō)服力呢？那么如何確定我們做判斷時(shí)犯錯(cuò)誤的概率呢？

生：......

師：大家有了困惑，這很好，這個(gè)便是我們這節(jié)課所要完成的事情，也就是說(shuō)獨(dú)立性檢驗(yàn)不僅要解決兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系的問(wèn)題，而且要推斷出犯錯(cuò)誤的概率，下面我們一個(gè)一個(gè)解決！

師：同學(xué)們，我們將前面的引例一般化，看看有什么發(fā)現(xiàn)？

不吸煙者中患肺癌的比例是? ，在吸煙者中患肺癌的比例是? ，那么如果吸煙和患肺癌有關(guān)系，用式子如何表示？

生2：應(yīng)該吸煙者中患肺癌的比例高于不吸煙者中患肺癌的比例，即

師：很好，那么如果吸煙和患肺癌沒(méi)有關(guān)系，用式子又如何表示？

生3：應(yīng)該吸煙者中患肺癌的比例約等于不吸煙者中患肺癌的比例，即

師：回答的很對(duì)，但是事實(shí)上我們不知道吸煙和患肺癌是不是有關(guān)系，這時(shí)我們要進(jìn)行下去，就要先假設(shè)一下，這樣才能將研究進(jìn)行下去。那么大家覺(jué)得應(yīng)該如何假設(shè)才有利于操作和計(jì)算？

生：假設(shè)吸煙和患肺癌沒(méi)有關(guān)系比較好，這樣式子比較簡(jiǎn)單

師：對(duì)的，那么請(qǐng)同學(xué)們計(jì)算一下，看看能通過(guò)

推出什么？

生4：我們可以推出ad-bc≈0

師：很好，但是ad-bc的值可正可負(fù)，那么我們?nèi)绾翁幚聿拍鼙苊膺@種麻煩呢？

生5：取絕對(duì)值或平方

師：好，如果吸煙與患肺癌無(wú)關(guān)，那么? ?或? ?的值有什么特征？

生6：會(huì)非常小

師：對(duì)的，也就是說(shuō)兩個(gè)變量無(wú)關(guān)時(shí)（ad-bc）2會(huì)非常小，可是我們知道樣本容量越大得到的結(jié)果就會(huì)越接近真實(shí)情況，但是上面的量（ad-bc）2并未將樣本容量包括進(jìn)去，所以我們需要兼顧（ad-bc）2和樣本容量，所以基于以上分析，我們構(gòu)造了一個(gè)變量：? ? ? ? ? ? ，請(qǐng)問(wèn)，如果吸煙和患肺癌沒(méi)有關(guān)系，那么K2的值會(huì)有什么特征？

生7：K2的值會(huì)很小

師：對(duì)的，也就是說(shuō)我們可以很形象地用K2值的大小來(lái)確定吸煙和患肺癌是否有關(guān)系，若K2值很大，我們就認(rèn)為兩者有關(guān)系;若K2值很小，我們就認(rèn)為兩者無(wú)關(guān)系，這樣說(shuō)可不可以？

生：可以！

師：好的，那么問(wèn)題來(lái)了，K2的值怎樣才算大？怎樣才算??？

生：......

師：大家不妨想想生活中的例子，比如什么才算成績(jī)好？什么才算低收入？怎么界定胖和廋？

生8：我知道了，這里的K2是大還是小要有一個(gè)臨界值，比臨界值大我們就認(rèn)為K2值大，比臨界值小，我們就認(rèn)為K2值小.

師：對(duì)的，我們可以通過(guò)K2值與臨界值k0的比較來(lái)確定：如果K2≥k0，我們就可以認(rèn)為K2值很大，這時(shí)吸煙和患肺癌有關(guān)系;如果K2

生：......

師：不好回答，那么大家思考另一個(gè)問(wèn)題：在吸煙和患肺癌無(wú)關(guān)的情況下，K2有沒(méi)有可能很大呢？

生9：有可能，因?yàn)檎{(diào)查數(shù)據(jù)的隨機(jī)性K2有可能出現(xiàn)較大值.

師：對(duì)的，在吸煙和患肺癌無(wú)關(guān)時(shí)K2值有可能很大，只是出現(xiàn)較大K2值的概率非常小，有多小呢？數(shù)學(xué)家已經(jīng)幫我們求出來(lái)了，比如P（K2≥6.635）=0.01，這里的意思就是在兩個(gè)分類變量沒(méi)有關(guān)系的前提下K2≥6.35的概率只有0.01，我們的數(shù)學(xué)家是不是很厲害??？

生：是的！

師：大家思考一下，哪些情況下會(huì)出現(xiàn)K2值很大呢？

生10：有兩種情況，（1）兩個(gè)分類變量有關(guān)系，K2值很大;（2）兩個(gè)分類變量沒(méi)有關(guān)系，K2值有很小的概率會(huì)很大

師：回答的很好，大家想一想，如果K2≥k0，這時(shí)我們有理由認(rèn)為吸煙和患肺癌有關(guān)系，但這種判斷我們知道是有可能犯錯(cuò)誤的，那么犯錯(cuò)誤的概率是多少呢？

生11：我覺(jué)得應(yīng)該是第（2）種情況對(duì)應(yīng)的概率

師：對(duì)的，我們根據(jù)較大K2值確定了兩個(gè)分類變量有關(guān)系，但是我們忽視了兩個(gè)分類變量無(wú)關(guān)時(shí)K2值較大的這種可能性，所以我們會(huì)犯的錯(cuò)誤就是這個(gè)概率，大家明白了么？

生：明白！

師：K2值很大時(shí)我們?yōu)槭裁床徽J(rèn)為是第（2）種情況發(fā)生了呢？

生12：在第（2）種情況下K2值很大的可能性太小了，在一次實(shí)驗(yàn)的情況下很難發(fā)生

師：回答的很好

（后面的教學(xué)過(guò)程省略）

四、教后反思

在此之前本人一直是采用教材的處理方式展開教學(xué)，但是在處理P（K2≥6.635）=0.01上感覺(jué)教學(xué)的銜接不是很順暢，這個(gè)公式在教材中是直接給出的，是忽然間冒出來(lái)的，書上沒(méi)有給出什么解釋，所以教學(xué)中處理不當(dāng)就會(huì)讓學(xué)生感到牽強(qiáng)和唐突，自然教學(xué)效果也不盡如人意。雖然后期通過(guò)強(qiáng)化訓(xùn)練可以讓學(xué)生學(xué)會(huì)獨(dú)立性檢驗(yàn)的操作步驟，但是學(xué)生心中的疑惑始終不能排解。所以這次本人在教學(xué)時(shí)有意識(shí)的避開書上的講解方式，淡化理論性的敘述，改用通俗形象的語(yǔ)言解釋如何利用K2的值判斷兩個(gè)變量是否有關(guān)系，只要K2值大于或等于臨界值 我們就認(rèn)為兩個(gè)變量有關(guān)系，K2小于臨界值k0我們就認(rèn)為兩個(gè)變量沒(méi)有關(guān)系;然后說(shuō)明在兩個(gè)變量無(wú)關(guān)的前提下，也有小概率出現(xiàn)K2值很大的情況，只是在一次試驗(yàn)中，這種小概率幾乎不會(huì)發(fā)生，所以我們根據(jù)K2值判斷兩個(gè)變量有關(guān)系時(shí)，這種判斷會(huì)犯錯(cuò)誤，并且犯錯(cuò)誤的概率就是前面說(shuō)的小概率。當(dāng)然，通俗的語(yǔ)言容易產(chǎn)生麻煩，教學(xué)中說(shuō)K2小于臨界值k0我們就認(rèn)為兩個(gè)變量沒(méi)有關(guān)系，這其實(shí)是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?。但是為什么又要這樣敘述呢？我覺(jué)得文科學(xué)生，尤其是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不好的文科生不能跟他們強(qiáng)調(diào)太多的數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)，學(xué)生的認(rèn)知水平還遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒(méi)有達(dá)到嚴(yán)謹(jǐn)?shù)某潭?，過(guò)度的嚴(yán)謹(jǐn)會(huì)束縛學(xué)生的思維，令學(xué)生失去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和熱情。所以教學(xué)不能生搬硬套書本知識(shí)，特別是教材內(nèi)容超過(guò)學(xué)生的理解范疇時(shí)更要仔細(xì)挖掘教材的精華，通過(guò)老師的深度思考和加工后再以通俗易懂的語(yǔ)言教給學(xué)生，這樣的教學(xué)才是符合新課標(biāo)的理念，教師的魅力也在于此！

參考文獻(xiàn)：

[1]李勇，張淑梅.關(guān)于高中教材中獨(dú)立性檢驗(yàn)知識(shí)呈現(xiàn)方式的思考[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2010，49（11）：25-26.

[2]彭愛萍.新課程理論下是“教”教材還是“用”材教——從一節(jié)“獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想”的教學(xué)談起[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2013（3）：30-31.