基于艦船電場的目標(biāo)跟蹤方法研究

張伽偉，喻鵬，姜潤翔,孫寶全

(1.海軍工程大學(xué) 兵器工程學(xué)院，湖北 武漢 430033；2.海軍工程大學(xué) 電氣工程學(xué)院，湖北 武漢 430033；3.92941部隊(duì)44分隊(duì)，遼寧 葫蘆島 125000)

0 引言

水下電場作為艦船目標(biāo)的重要物理場，不僅具有明顯的傳播規(guī)律和分布特征，可實(shí)現(xiàn)對艦船目標(biāo)的探測，還包含大量的艦船信息，可實(shí)現(xiàn)對艦船目標(biāo)的定位和跟蹤[1]。艦船電場可等效為若干點(diǎn)電荷組成，即點(diǎn)電荷陣列模型[2-3]。艦船電場跟蹤則是利用接收到的艦船電場信號(hào)，基于點(diǎn)電荷模型實(shí)時(shí)反演出目標(biāo)狀態(tài)的過程，準(zhǔn)確估計(jì)出艦船的位置、速度及源強(qiáng)度等，對于水中兵器目標(biāo)定位、水下探測陣列目標(biāo)跟蹤等應(yīng)用具有重要意義。艦船電場跟蹤問題目前研究相對較少，而磁偶極子的跟蹤研究相對較多[4]，參考磁偶極子的跟蹤方法，艦船電場跟蹤可采用的方法主要有解析反演、離線尋優(yōu)和濾波估值三類。解析反演方法受噪聲影響較大，不適用于連續(xù)狀態(tài)解算[5]；離線尋優(yōu)方法不能對變向機(jī)動(dòng)的目標(biāo)進(jìn)行實(shí)時(shí)跟蹤；濾波估值方法是基于觀測模型的在線遞推方法，能夠在一定背景噪聲中對目標(biāo)狀態(tài)進(jìn)行實(shí)時(shí)估計(jì)，也是在跟蹤定位領(lǐng)域應(yīng)用最為廣泛的方法。

目前濾波估計(jì)方法主要包括粒子濾波[6-7]和卡爾曼濾波兩大類，粒子濾波所需樣本數(shù)量大，計(jì)算代價(jià)過高，在實(shí)際跟蹤中實(shí)時(shí)性較難保證；卡爾曼濾波形式相對簡單，且具有很高的實(shí)時(shí)性，易于編程實(shí)現(xiàn)，因此更適用于艦船電場跟蹤?？柭鼮V波的方法有很多，一部分側(cè)重于解決濾波過程中的非線性問題[8-11]，一部分側(cè)重于解決濾波初值問題[12-15]，各類方法均有各自特點(diǎn)及優(yōu)劣，而對于艦船電場目標(biāo)跟蹤實(shí)際應(yīng)用所需的濾波估值算法，必須注重綜合考慮艦船電場模型與濾波算法的匹配性、初始條件魯棒性、計(jì)算復(fù)雜度和穩(wěn)定性等問題。其中，艦船電場跟蹤中模型準(zhǔn)確度與跟蹤模型的低維度是相矛盾的，一方面艦船電場的點(diǎn)電荷陣列模型，若陣元個(gè)數(shù)越多則建模精度高，另一方面隨陣元個(gè)數(shù)的增多又會(huì)增加跟蹤模型的維度，易導(dǎo)致卡爾曼濾波發(fā)散。

針對艦船電場卡爾曼濾波跟蹤中的問題，本文首先建立艦船電場點(diǎn)電荷陣列模型，并結(jié)合艦船電場反演算法，對點(diǎn)電荷個(gè)數(shù)、觀測點(diǎn)水深對建模精度的影響進(jìn)行分析，明確觀測點(diǎn)位置對點(diǎn)電荷個(gè)數(shù)的需求，以此作為合理控制艦船電場跟蹤中濾波器維度的依據(jù)，并結(jié)合漸進(jìn)更新擴(kuò)展卡爾曼濾波器(PUEKF)進(jìn)行艦船電場跟蹤仿真分析和試驗(yàn)驗(yàn)證。結(jié)果表明，在艦船電場跟蹤中以少量點(diǎn)電荷艦船電場模型等效復(fù)雜點(diǎn)電荷陣列艦船電場模是可行的；PUEKF對艦船少量電場點(diǎn)電荷模型具有初值魯棒性、執(zhí)行效率高等優(yōu)勢，具有較高的應(yīng)用價(jià)值。

1 艦船電場點(diǎn)電荷陣列模型建模精度分析

1.1 艦船電場點(diǎn)電荷陣列模型建模

根據(jù)文獻(xiàn)[3]中的艦船電場建模理論，艦船電位和電場的點(diǎn)電荷陣列模型可分別表示為

(1)

(2)

1.2 艦船電場建模精度分析

艦船電場點(diǎn)電荷陣列模型建模精度分析的具體思路是：利用艦船電場仿真軟件Beasy生成艦船在某一平面的電位和電場信號(hào)，基于點(diǎn)電荷模型的反演算法[2]，求得點(diǎn)電荷陣列模型中各點(diǎn)源的強(qiáng)度，再代入由點(diǎn)電荷陣列模型正演某一平面的電位和電場值，將計(jì)算得到的艦船電位和電場值與Beasy計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比、求得誤差，由此分析點(diǎn)電荷模型對艦船電場的建模精度。定義艦船電位和電場建模精度的相對均方根誤差計(jì)算公式為

(3)

(4)

(5)

(6)

式中：Ue為電位建模精度誤差；Ex,e、Ey,e、Ez,e分別為電場在x軸、y軸、z軸方向上的建模精度誤差；Uj表示平面上第j點(diǎn)處的實(shí)際電位；j為點(diǎn)電荷陣列模型正演得到的電位值；Exj、Eyj、Ezj為第j電場的實(shí)際電場三分量；xj、yj、zj為正演得到的電場三分量。

利用電磁場仿真軟件Beasy建立某船舶三維模型如圖1所示，該船長為130 m，船寬B=17 m，吃水深度約為5 m，海水電導(dǎo)率σs=4 S/m，海床電導(dǎo)率σf=0.1 s/m，海水深度H=100 m.1.5B(1.5倍船寬25.5 m)深度平面的艦船電場分布如圖2所示。

圖1 船體水線下結(jié)構(gòu)邊界元模型Fig.1 Boundary element model for underwater structure of ship

圖2 水深1.5B時(shí)船舶自然腐蝕狀態(tài)下電場分布情況Fig.2 Electric field distribution of ships under natural corrosion condition at 1.5B depth

艦船電場模型的點(diǎn)電荷陣列沿艦船縱向分布，對比位于艦船龍骨處的1條點(diǎn)電荷陣列模型，位于艦船龍骨及其兩側(cè)10 m處3條點(diǎn)電荷陣列模型，每條陣列點(diǎn)電荷數(shù)量N分別取2～18等間隔分布(固定每條陣列點(diǎn)電荷數(shù)量N的情況下，3條陣列點(diǎn)電荷模型的點(diǎn)源個(gè)數(shù)為3N，1條陣列模型的點(diǎn)電荷個(gè)數(shù)為N)，不同陣列數(shù)及陣元數(shù)對艦船電場建模的相對均方根誤差如圖3所示。

圖3 點(diǎn)電荷陣列及陣元個(gè)數(shù)對艦船電場建模的相對均方根誤差影響Fig.3 Influences of point charge array and array element number on relative root mean square error

由圖3可以得到以下兩點(diǎn)結(jié)論：

1)點(diǎn)電荷數(shù)量越多，建模的相對均方根誤差越小，但點(diǎn)電荷數(shù)量增加到一定程度后，相對均方根誤差趨于穩(wěn)定(波動(dòng)在1%以內(nèi))。在實(shí)際應(yīng)用中，不是點(diǎn)電荷數(shù)目越多越好，當(dāng)每條點(diǎn)電荷陣列數(shù)量大于10后，單條點(diǎn)電荷陣列模型和3條點(diǎn)電荷陣列模型建模電位和電場的相對均方根誤差均小于10%.因此，從跟蹤定位模型維度復(fù)雜度的角度考慮，單條陣列點(diǎn)電荷的數(shù)量不宜超過10.

2)每條點(diǎn)電荷陣列上N>8時(shí)，對于電位信號(hào)U，3條點(diǎn)電荷陣列相比單條點(diǎn)電荷陣列，建模精度有一定的提升，相對均方根誤差有3%～5%的提升；對電場信號(hào)，除Ey分量外3條點(diǎn)電荷陣列的建模精度與單條點(diǎn)電荷陣列的建模精度相當(dāng)。Ey分量3條陣列的建模精度略高于單條陣列(相對均方根誤差降低4%以下)，主要是因?yàn)閱螚l陣列無法對沿y軸方向的偶極距進(jìn)行建模。而實(shí)際中，艦船的y軸方向電偶極距遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于x軸方向的電偶極距，采用3條點(diǎn)電荷陣列對建模精度提升作用并不大，而在跟蹤時(shí)點(diǎn)電荷的維度會(huì)增加3倍，因此從計(jì)算量的角度考慮，可采用單條點(diǎn)電荷陣列進(jìn)行建模。

在上述分析的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步分析單條點(diǎn)電荷陣列模型在不同深度平面點(diǎn)電荷數(shù)量與建模精度的關(guān)系，以艦船電位為例其相對均方根誤差如圖4所示，計(jì)算平面分別取1.0B、1.5B、2.0B、2.5B、3.0B，點(diǎn)電荷個(gè)數(shù)N取2～18.

圖4 不同深度計(jì)算平面下點(diǎn)電荷陣列的建模精度Fig.4 Modeling accuracy of point charge array at difference depths

從圖4中可以看出：隨著平面深度的增加，建模精度越高，在水深大于1.5B(25.5 m)時(shí)，5個(gè)點(diǎn)電荷模型的相對均方根誤差可小于10%；特別在深度大于3.0B(51 m)時(shí)3個(gè)點(diǎn)電荷模型的相對均方根誤差為16.98%；在靠近艦船較近時(shí)(小于1.0B)，艦船電場建模的相對均方根較大，即使點(diǎn)電荷個(gè)數(shù)較大單排點(diǎn)電荷陣列模型的誤差也接近20%，其主要原因?yàn)樵谂灤幐黝惥植扛g、電解偶電路產(chǎn)生的電場不可忽略，單排點(diǎn)電荷陣列難以準(zhǔn)確模擬。

綜合上述分析可知，在利用艦船電場進(jìn)行跟蹤定位時(shí)，艦船電場的點(diǎn)電荷陣列模型，可取單排點(diǎn)電荷陣列，測量點(diǎn)相對于艦船的水深大于1倍船寬時(shí)可取5個(gè)點(diǎn)電荷，大于3倍船寬時(shí)最少可取3個(gè)點(diǎn)電荷。

2 艦船電場的跟蹤模型

2.1 艦船電場跟蹤狀態(tài)模型

由于艦船的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是低動(dòng)態(tài)的，其航跡可用線性動(dòng)態(tài)模型描述，則跟蹤模型為

xk=Φxk-1+Guk-1，
yk=h(xk)+wk，

(7)

假定艦船目標(biāo)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)速度為v=(vx,vy)(其中vx、vy分別表示沿x軸、y軸方向的速度分量，這里只考慮在水平面內(nèi)運(yùn)動(dòng))。很顯然，在直角坐標(biāo)系中，艦船目標(biāo)的狀態(tài)包括x軸、y軸方向的位置，x軸、y軸方向的速度，等效電場場源的強(qiáng)度q=(I1,I2,I3)(采用3個(gè)點(diǎn)電荷對艦船電場進(jìn)行建模，I1、I2、I3分別為點(diǎn)電荷源強(qiáng)度)，艦船運(yùn)動(dòng)過程中受到的隨機(jī)擾動(dòng)表示為uk，采樣間隔為T.則艦船目標(biāo)由k-1時(shí)刻到k時(shí)刻的狀態(tài)轉(zhuǎn)換可表示為

(8)

由此可得

(9)

(10)

(11)

艦船狀態(tài)向量可寫為

xk=[xk-1,vx,k-1,yk-1,vy,k-1,qk-1]T.

(12)

根據(jù)點(diǎn)電荷電場的計(jì)算公式(2)式，可得到艦船電場的觀測方程為

yk=Ek+wk，

(13)

式中：Ek為k時(shí)刻對應(yīng)的電場值。由于這里采用3個(gè)點(diǎn)電荷進(jìn)行建模，(14)式中i取1、2、3即可，從而得到

(14)

聯(lián)合(7)式～(12)式，即可構(gòu)成艦船電場跟蹤問題的狀態(tài)空間模型。由(13)式、(14)式可知，該狀態(tài)模型為非線性模型，因此可利用非線性濾波方法對目標(biāo)狀態(tài)進(jìn)行估計(jì)。

2.2 漸進(jìn)更新擴(kuò)展卡爾曼濾波

針對非線性模型的卡爾曼濾波方法有很多，通過對艦船電場目標(biāo)定位方法的研究表明，PUEKF應(yīng)用在電場跟蹤上可以達(dá)到較好的效果[17-19]。

PUEKF算法的基本步驟如下：

步驟1時(shí)間更新。

Pk|k-1=ΦPk-1|k-1ΦT+Qk-1，
k|k-1=Φk-1|k-1，

式中：Pk|k-1為預(yù)測誤差協(xié)方差矩陣；k|k-1為線性化展開點(diǎn)。

步驟2觀測更新。

2)j=1,2,…,Npu循環(huán)執(zhí)行以下更新：

式中：Npu為總執(zhí)行次數(shù)；S為過程變量；λ=1/Npu；K為卡爾曼增益；Hj-1為h(xj-1)在j-1的1階偏導(dǎo)矩陣，即為依據(jù)觀測方程對xj-1進(jìn)行求解得到觀測量。

3 電場跟蹤仿真算例

根據(jù)第2節(jié)的分析，利用10個(gè)點(diǎn)電荷單條陣列模型模擬艦船電場，在電場跟蹤時(shí)3個(gè)點(diǎn)電荷建立電場跟蹤模型，分析建模及跟蹤方法的有效性，基本仿真參數(shù)設(shè)置如表1所示。

表1 數(shù)值仿真基本參數(shù)設(shè)置Tab.1 Basic parameters setting of numerical simulation

(15)

圖5 最優(yōu)仿真跟蹤結(jié)果Fig.5 Optimal simulation tracking result

圖6 最優(yōu)仿真定位結(jié)果位置分量各采樣點(diǎn)的均方根誤差Fig.6 Root mean square errors of position components of optimal simulation tracking result

從圖5可知，在較大初值誤差下，跟蹤軌跡迅速收斂到真實(shí)軌跡附近。由圖6可知，定位誤差隨著濾波算法的開始迅速下降，并基本保持平穩(wěn)，穩(wěn)定后對各個(gè)方向的定位誤差在15 m以下。仿真分析表明，用少量點(diǎn)電荷模型代替復(fù)雜點(diǎn)電荷陣列模型來犧牲一定建模精度，降低濾波器的維度，提高濾波器的穩(wěn)定性，在電場定位跟蹤中是可行的。

4 電場跟蹤試驗(yàn)算例

為了進(jìn)一步檢驗(yàn)少量點(diǎn)電荷模型電場跟蹤的有效性，利用海上模擬源實(shí)測數(shù)據(jù)對算法的性能進(jìn)行試驗(yàn)驗(yàn)證。電場測量陣列由2個(gè)電場測量節(jié)點(diǎn)組成，固定于水面浮箱上，兩個(gè)傳感器中心點(diǎn)間距5 m如圖7所示，玻璃鋼船搭載模擬源及差分全球定位系統(tǒng)(GPS)在航道內(nèi)運(yùn)動(dòng)，試驗(yàn)過程如圖8所示。試驗(yàn)海區(qū)海水深度9 m，海水電導(dǎo)率4 S/m，海底電導(dǎo)率約0.03 S/m，模擬源發(fā)射極水深0.2 m，兩個(gè)點(diǎn)電荷發(fā)射電極距離20 m，電流10 A.

圖7 測量節(jié)點(diǎn)Fig.7 Measuring node

圖8 電場跟蹤模擬試驗(yàn)過程Fig.8 Electric field tracking simulation test

對PUEKF配置，由于電場對艦船的探測距離有限，一般在2 km范圍內(nèi)，因此假設(shè)目標(biāo)源距離分布在3個(gè)等級(jí)上，即r=200 m(針對小型目標(biāo)開始定位的大致距離)，r=600 m(針對中型目標(biāo))，r=1 000 m(針對大型目標(biāo))，航向起始角設(shè)定為π/4 rad、3π/4 rad、5π/4 rad、7π/4 rad，航速約為3 m/s，共計(jì)12個(gè)初值不同的濾波器，并以最大似然作為濾波過程中的選擇判據(jù)，觀測噪聲協(xié)方差R取環(huán)境噪聲協(xié)方差(mV/m)：

實(shí)際軌跡與跟蹤軌跡如圖9所示，各采樣點(diǎn)估計(jì)距離相對均方根誤差如圖10所示。

圖9 實(shí)測最優(yōu)跟蹤結(jié)果Fig.9 Measured best tracking result

圖10 最優(yōu)定位結(jié)果位置分量各采樣點(diǎn)的均方根誤差Fig.10 Root mean square errors of position components of optimal tracking result

從圖9可知，在較大初值誤差下，跟蹤軌跡迅速收斂到真實(shí)軌跡附近。圖10表明，對正橫距y估計(jì)誤差的相對均方根在130 s后(即第1 300個(gè)采樣點(diǎn))基本維持在2 m以下(大部分區(qū)間在1 m以下)，縱向距離x估計(jì)誤差的相對均方根誤差在觀測點(diǎn)附近為6 m左右，通過觀測點(diǎn)后最遠(yuǎn)處誤差約為18 m.

上述試驗(yàn)結(jié)果表明，靜態(tài)多模的PUEKF算法在電場跟蹤中可以有效解決先驗(yàn)信息缺失條件下的目標(biāo)跟蹤問題，對少量點(diǎn)電荷電場模型定位誤差500 m范圍內(nèi)可小于10 m.

5 結(jié)論

本文針對艦船電場跟蹤中模型準(zhǔn)確度與跟蹤模型維度之間的矛盾，根據(jù)艦船電場點(diǎn)電荷陣列模型，并結(jié)合艦船電場反演算法，分析了點(diǎn)電荷個(gè)數(shù)、觀測點(diǎn)水深對建模精度的影響，明確了觀測點(diǎn)位置對點(diǎn)電荷個(gè)數(shù)的需求，以此作為合理控制艦船電場跟蹤中濾波器維度的依據(jù)。結(jié)合漸進(jìn)更新擴(kuò)展卡爾曼濾波算法進(jìn)行了電場跟蹤仿真分析和試驗(yàn)驗(yàn)證。所得主要結(jié)論如下：

1)用少量點(diǎn)電荷模型代替復(fù)雜點(diǎn)電荷陣列模型，犧牲一定建模精度以降低濾波器的維度、提高濾波穩(wěn)定性，在艦船電場定位跟蹤中是可行的。

2)漸進(jìn)更新擴(kuò)展卡爾曼濾波方法，對少量點(diǎn)電荷電場模型的跟蹤，能夠有效提高初始誤差允許動(dòng)態(tài)范圍，具有很高的濾波穩(wěn)定性，定位誤差在500 m范圍內(nèi)小于10 m，且計(jì)算代價(jià)較低，適合工程應(yīng)用。下一步可結(jié)合實(shí)測開展實(shí)船電場跟蹤試驗(yàn)研究。