從算術(shù)思維向代數(shù)思維過渡的教學(xué)策略

吳雅靜 朱水萍

【摘 要】從算術(shù)思維向代數(shù)思維的過渡，是小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中極為重要的轉(zhuǎn)變階段。在實(shí)際教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)對等量關(guān)系的把握而非運(yùn)算結(jié)果、加強(qiáng)比較，感受代數(shù)方法的優(yōu)越性，正確定位學(xué)生用字母表示數(shù)的水平，從而有效促進(jìn)學(xué)生從算術(shù)思維向代數(shù)思維的過渡。

【關(guān)鍵詞】算術(shù)思維，代數(shù)思維，小學(xué)代數(shù)教學(xué)

中圖分類號：G61 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1007-0125（2020）03-0140-02

一、算術(shù)思維向代數(shù)思維過渡的必要性

1978年，我國教育部頒發(fā)的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱中首次提出“適當(dāng)增加代數(shù)、幾何的部分內(nèi)容”，此后的歷次教學(xué)大綱調(diào)整，這一基本精神沒有動(dòng)搖[1]。21世紀(jì)初新頒布的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)首次將“數(shù)與代數(shù)”設(shè)置為獨(dú)立的學(xué)習(xí)領(lǐng)域，并對小學(xué)代數(shù)課程內(nèi)容進(jìn)行了清晰表述，之后的課程改革則將算術(shù)與代數(shù)兩個(gè)不同的數(shù)學(xué)領(lǐng)域合并為一個(gè)名稱“數(shù)與代數(shù)”。但在實(shí)際教學(xué)中，算術(shù)與代數(shù)的割裂仍然存在，這使得學(xué)生在學(xué)習(xí)代數(shù)知識(shí)時(shí)困難重重。因此，有效引導(dǎo)學(xué)生從算術(shù)思維向代數(shù)思維過渡就顯得格外重要。

首先代數(shù)思維的培養(yǎng)，可以讓學(xué)生用更加簡便且符合邏輯的方法來解決比較復(fù)雜的關(guān)系問題。我國著名數(shù)學(xué)家吳文俊教授說[2]：“對于‘雞兔同籠之類的許多四則難題，你若用代數(shù)方法來做，就會(huì)變得非常容易?！逼浯?，算術(shù)與代數(shù)是相互依存，不可分離的，代數(shù)的學(xué)習(xí)可以鞏固和加深學(xué)生對所學(xué)算術(shù)知識(shí)的理解與運(yùn)用。最后，讓小學(xué)生在低年級階段初步接觸一點(diǎn)代數(shù)知識(shí)，能降低學(xué)生長期運(yùn)用算術(shù)思維形成的思維定勢，為之后系統(tǒng)學(xué)習(xí)代數(shù)知識(shí)做好準(zhǔn)備。

二、從算術(shù)思維向代數(shù)思維過渡的主要障礙

算術(shù)運(yùn)算和代數(shù)運(yùn)算的根本區(qū)別在于算術(shù)運(yùn)算是程序性的，算術(shù)運(yùn)算的目的是為了得到具體的運(yùn)算結(jié)果，而代數(shù)運(yùn)算是結(jié)構(gòu)性的，是形式的等價(jià)變換。學(xué)生在學(xué)習(xí)代數(shù)知識(shí)時(shí)，主要對從“程序性結(jié)果”轉(zhuǎn)移到“結(jié)構(gòu)性關(guān)系”感到困難重重。

（一）不能理解符號的新意義

算術(shù)和代數(shù)有很多共用的符號，這為代數(shù)知識(shí)的學(xué)習(xí)帶來方便，由于有些符號承載了新的意義，因此也造成學(xué)生思維上的困難[3]。比如“=”，在算術(shù)中表示運(yùn)算的具體結(jié)果是多少，而在代數(shù)中表示等價(jià)關(guān)系。學(xué)習(xí)“簡易方程”時(shí)我們用天平平衡來表示左右的等價(jià)關(guān)系，在天平左邊放一個(gè)50克的砝碼，右邊放一個(gè)未知重量的物體和一個(gè)10克的砝碼，天平平衡，要求學(xué)生看圖寫方程。學(xué)生總是習(xí)慣把方程寫成“x+10=50”而不是“50=x+10”，這說明學(xué)生對“=”的理解還停留在算術(shù)思維的層面上，認(rèn)為具體結(jié)果必須寫在等號的右邊。實(shí)際上在等價(jià)關(guān)系中，A=B和B=A是相同的。因此對“=”的程序性觀念到結(jié)構(gòu)性觀念的轉(zhuǎn)變，是算術(shù)思維到代數(shù)思維轉(zhuǎn)換的標(biāo)志之一。

（二）對未知數(shù)的特殊對待

在解簡易方程時(shí)，如“80-x=22”，也有學(xué)生習(xí)慣使用減數(shù)、被減數(shù)與差之間的關(guān)系即算術(shù)中四則運(yùn)算各部分之間的關(guān)系來求解方程，這種方法本質(zhì)上是算術(shù)思維的反映?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在第二學(xué)段要求：“了解等式的性質(zhì)，能用等式的性質(zhì)解簡單的方程。”這個(gè)過程中利用的是由天平引入的等價(jià)關(guān)系模型，是從結(jié)構(gòu)上去分析，運(yùn)用的是代數(shù)思維，若利用四則運(yùn)算各部分間的關(guān)系去求方程的解，那便遮蔽了方程作為等價(jià)關(guān)系的本質(zhì)意義。算術(shù)方法是把未知量置于特殊地位，通過已知量求出未知量，而代數(shù)方法則是把未知量看成是已知量，把兩者平等看待，找出各量之間的等量關(guān)系，建立方程進(jìn)而求出未知量。在對含有未知數(shù)的方程進(jìn)行求解時(shí)，需要把未知數(shù)看成已知數(shù)，學(xué)生有了這樣的認(rèn)識(shí)以后，才能順利求解更加復(fù)雜的方程。

三、實(shí)現(xiàn)從算術(shù)思維向代數(shù)思維的跨越

（一）強(qiáng)調(diào)對等量關(guān)系的把握而非運(yùn)算結(jié)果

學(xué)生在初學(xué)代數(shù)時(shí)往往不適應(yīng)這樣的思維方式，如果題目沒有特定要求，大部分學(xué)生還是會(huì)選擇自己熟悉的算術(shù)方法去解題，由此形成“惡性循環(huán)”，算術(shù)思維對代數(shù)思維的負(fù)遷移越來越嚴(yán)重。出現(xiàn)這樣的情況主要有三個(gè)原因，一是學(xué)生沒有真正理解代數(shù)方法表示的平衡關(guān)系，沒有通過建構(gòu)將天平模型的平衡原理順應(yīng)到自身的知識(shí)體系中，二是教師在教學(xué)和習(xí)題中沒有明顯展示代數(shù)方法的優(yōu)越性，學(xué)生沒有充分意愿去學(xué)習(xí)一種新的思維方式，三是代數(shù)方法所需要的抽象思維水平較高，算術(shù)方法先入為主，學(xué)生能用已有的知識(shí)解決，就很難再去想別的更簡便的方法。而在列方程解決實(shí)際問題中，學(xué)生不得不使用代數(shù)的方法去解決問題，但是學(xué)生長期的算術(shù)思維使得他們總是從計(jì)算出未知量的角度去思考和解決問題，而不是去尋找和分析問題情境中的等量關(guān)系。

在蘇教版五年級下冊列方程解決實(shí)際問題中，也比較注重尋找和分析問題情境中的等量關(guān)系，雖然教材將列方程解決實(shí)際問題分為三個(gè)步驟：一是弄清題意，找出未知數(shù)，并用字母表示數(shù)，二是根據(jù)題中數(shù)量之間的相等關(guān)系列方程，三是求出答案后，檢驗(yàn)結(jié)果是否正確。但是在“練一練”中，教材還是偏向讓學(xué)生先用文字表征出問題中的等量關(guān)系。如：“一頭藍(lán)鯨重165噸，大約是一頭非洲象的33倍。這頭非洲象大約重多少噸？（ ）的體重×33=（ ）的體重”。雖然需要求解的是非洲象的重量，但是題目要求先把數(shù)量間的相等關(guān)系填寫完整，由此可見，找到問題情境中的相等關(guān)系才是解決問題的重要一環(huán)，如果學(xué)生能夠正確表征數(shù)量之間的相等關(guān)系，那么答案就顯得沒有那么重要了。教師在教學(xué)過程中也不應(yīng)當(dāng)拘泥于計(jì)算結(jié)果的正確與否，而應(yīng)該關(guān)注學(xué)生是否正確表征問題情境中的相等關(guān)系。

（二）加強(qiáng)比較，感受代數(shù)方法的優(yōu)越性

以蘇教版教材五年級下冊第一單元“簡易方程”中的整理與練習(xí)為例：“學(xué)校體育室一共有186根跳繩。四年級5個(gè)班，每班借了18根。剩下的借給五年級的4個(gè)班，平均每班借多少根？”讓學(xué)生用不同的方法來解決，并對方法的簡易程度加以比較。

解法1：四年級借的跳繩總數(shù)為：5×18=90（根）

五年級可借的跳繩根數(shù)為：186-90=96（根）

五年級平均每班可借的根數(shù)為：96÷4=24（根）

所以五年級平均每班借24根。

解法2：（180-5×18）÷4=24（根）

所以五年級平均每班借24根。

解法3：設(shè)五年級平均每班借X根，則可列方程：

5×18+4X=186 解得X=24（四年級借的+五年級借的=總數(shù)）

所以五年級平均每班借24根。

解法4：設(shè)五年級平均每班借X根，則可列方程：

5×18=186-4X 解得X=24（四年級借的=總數(shù)-五年級借的）

所以五年級平均每班借24根。

在小學(xué)階段有很多類似的問題，這些問題既可以用算術(shù)方法來求解，也可以用代數(shù)方法來求解，教師應(yīng)當(dāng)要鼓勵(lì)學(xué)生一題多解，通過對同一道題目分別用算術(shù)方法和代數(shù)方法求解，并進(jìn)行比較，學(xué)生就越來越能夠體會(huì)到代數(shù)方法的優(yōu)越性和更廣泛的應(yīng)用性了，長此以往，學(xué)生的思維也漸漸從算術(shù)思維向代數(shù)思維過渡了。

（三）正確定位學(xué)生用字母表示數(shù)的水平

根據(jù)英國CSMS小組對11-16 歲兒童的數(shù)學(xué)理解的研究（1981），字母表示數(shù)有6種不同的意義：[4]一是給字母賦值，二是忽略字母的意義，三是把字母當(dāng)成物體，四是把字母看成特定未知量，五是把字母看成廣義的數(shù)，六是把字母看成變量。

上述六種情況代表了用字母表示數(shù)從低到高的不同水平，當(dāng)然同一種水平下又有不同難度的問題，并且不同水平下問題的難易程度也有所交叉，比如第一種水平中較難問題的難度系數(shù)要高于第二種水平中較簡單的問題?，F(xiàn)行數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)前兩個(gè)學(xué)段對于用字母表示數(shù)提出的要求包括了上述六種情況，但對后兩種情況的要求應(yīng)該是寬松、簡單的，較難的部分應(yīng)該放在中學(xué)數(shù)學(xué)課程中學(xué)習(xí)。所以教師在教學(xué)中也應(yīng)該要正確定位學(xué)生用字母表示數(shù)的水平，把握教學(xué)內(nèi)容的難易程度，使教學(xué)內(nèi)容貼合學(xué)生的接受水平，以促進(jìn)學(xué)生有效學(xué)習(xí)。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉久成，劉久勝.代數(shù)思維及其教學(xué)[J].課程·教材·教法，2015，（12）：76.

[2]黃偉星.算術(shù)思維到代數(shù)思維的飛躍“用字母表示數(shù)”的教學(xué)價(jià)值與教學(xué)策略[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2015，（24）：3-12.

作者簡介：吳雅靜（1995-），女，江蘇蘇州人，喀什大學(xué)教育科學(xué)學(xué)院碩士在讀，研究方向：小學(xué)教育。朱水萍（1970-），女，江蘇南通人，博士，南通大學(xué)教育科學(xué)學(xué)院教授，研究方向：教師教育、課程與教學(xué)。