三偏心混沌混凝土振動(dòng)臺(tái)振動(dòng)特性分析

史麗晨，李彥泳，贠志達(dá)

（西安建筑科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，陜西 西安 710055）

1 引言

混凝土振動(dòng)臺(tái)是生產(chǎn)混凝土預(yù)制件的主要設(shè)備，混凝土預(yù)制件可以減少城市噪音和污染，縮短工程建造周期等優(yōu)點(diǎn)，有很大的發(fā)展前景。然而國(guó)內(nèi)外混凝土預(yù)制件的應(yīng)用卻相對(duì)較少，主要原因是振動(dòng)后混凝土預(yù)制件的密實(shí)度不高，易出現(xiàn)蜂窩、麻面、孔洞、裂縫，影響其強(qiáng)度和耐用性，從而造成質(zhì)量事故，因此提高振動(dòng)臺(tái)的振動(dòng)密實(shí)度顯得尤為重要，且已成為國(guó)內(nèi)外學(xué)者研究的焦點(diǎn)[1]。文獻(xiàn)[2]提出了振動(dòng)壓實(shí)的力學(xué)模型，并且分析受載體的變形與力的關(guān)系建立了不同的力學(xué)模型；文獻(xiàn)[3]考慮跳振現(xiàn)象對(duì)壓實(shí)作業(yè)過(guò)程進(jìn)行建模并發(fā)現(xiàn)了混沌振動(dòng)；文獻(xiàn)[4]設(shè)計(jì)的激振器，產(chǎn)生了寬頻振動(dòng)；文獻(xiàn)[5-6]對(duì)振動(dòng)壓實(shí)系統(tǒng)進(jìn)行了設(shè)計(jì)和混沌識(shí)別；文獻(xiàn)[7-8]利用振動(dòng)反饋試驗(yàn)不同的建模并很好指導(dǎo)了壓實(shí)參數(shù)的合理選擇。現(xiàn)有文獻(xiàn)對(duì)提高振動(dòng)密實(shí)度的研究主要是建立不同的振動(dòng)模型或激振器模型，將兩者結(jié)合起來(lái)的研究較少，在分析激振器的振動(dòng)特性時(shí)，沒(méi)有將激振器與振動(dòng)系統(tǒng)結(jié)合起來(lái)進(jìn)行研究，忽視了激振器偏心主軸在振動(dòng)系統(tǒng)中的上下運(yùn)動(dòng)，其不能客觀真實(shí)的反應(yīng)振動(dòng)臺(tái)的振動(dòng)特性。

因此，將三偏心混沌激振器與振動(dòng)臺(tái)系統(tǒng)結(jié)合起來(lái)進(jìn)行研究，首先建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，然后運(yùn)用MATLAB中的Simulink模塊對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行振動(dòng)仿真分析，并從定性和定量?jī)煞矫鎸?duì)振動(dòng)臺(tái)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律進(jìn)行混沌識(shí)別，最后運(yùn)用PFC2D軟件對(duì)混凝土骨料密實(shí)過(guò)程進(jìn)行仿真驗(yàn)證，為工程實(shí)際中提高混凝土密實(shí)度提供了理論依據(jù)。

2 振動(dòng)臺(tái)系統(tǒng)力學(xué)模型的建立

為了研究振動(dòng)臺(tái)的振動(dòng)特性，在分析混沌激振器的基礎(chǔ)上，將混沌激振器與振動(dòng)臺(tái)視為一個(gè)整體振動(dòng)系統(tǒng)，并對(duì)其結(jié)構(gòu)進(jìn)行必要簡(jiǎn)化，使振動(dòng)臺(tái)系統(tǒng)成為一個(gè)可處理的力學(xué)模型，如圖1所示。該模型是在E.T.Seling提出的二自由度系統(tǒng)模型的基礎(chǔ)上經(jīng)過(guò)改進(jìn)所建立的，與實(shí)際生產(chǎn)工況相符，而且在計(jì)算上相對(duì)簡(jiǎn)單。

圖1 “激振器—振動(dòng)臺(tái)”系統(tǒng)的力學(xué)模型Fig.1 Mechanical Model of“Vibration Exciter-Vibration Table”System

圖中：m0—混凝土質(zhì)量；m1—振動(dòng)臺(tái)質(zhì)量；m2—隔振體質(zhì)量；k1、c1—主振彈簧剛度和阻尼；k2、c2—隔振彈簧剛度和阻尼；OO1、O1C2、O2C3—偏心主軸 1、偏心塊 2、偏心塊 3；C1、C2、C3—其質(zhì)心；O、O1、O2—轉(zhuǎn)動(dòng)中心；OC1、O1C2、O2C3的長(zhǎng)度—R1、R2、R3；OO1、O1O2的長(zhǎng)度—r1、r2；偏心主軸 1、偏心塊 2、偏心塊 3 的轉(zhuǎn)角為 ωt、Ф1、Ф2。mc1、Jc1；mc2、Jc2；mc3、Jc3；—偏心主軸1、偏心塊2、偏心塊3的質(zhì)量及其對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；y1、y2—振動(dòng)臺(tái)和隔振體在豎直方向的位移并且是以彈簧自然狀態(tài)為起點(diǎn)。

3 振動(dòng)臺(tái)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型的建立

偏心主軸以恒定轉(zhuǎn)速n=2800r/min轉(zhuǎn)動(dòng)，其角速度為ω=293.1rad/s，根據(jù)系統(tǒng)在有勢(shì)力和耗散力作用下的第二類(lèi)Lagrange方程：

式中：拉氏函數(shù)L=T-U；T、U—系統(tǒng)動(dòng)能和勢(shì)能；R—系統(tǒng)的耗散函數(shù)。

3.1 系統(tǒng)動(dòng)能方程的建立

“激振器—振動(dòng)臺(tái)”系統(tǒng)的動(dòng)能由七部分組成，包括振動(dòng)臺(tái)和混凝土參振質(zhì)量的動(dòng)能、激振器附屬件的動(dòng)能、隔振體的動(dòng)能、偏心主軸1的動(dòng)能、偏心塊2的動(dòng)能和偏心塊3的動(dòng)能，其中前三部分在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中作平動(dòng)，而偏心主軸1、偏心塊2和偏心塊3作平面運(yùn)動(dòng)。根據(jù)每部分的運(yùn)動(dòng)情況，其動(dòng)能分析如下。

（1）振動(dòng)臺(tái)、混凝土參振質(zhì)量、隔振體和激振器附屬件的總動(dòng)能：

式中：ks—物料結(jié)合系數(shù)；m—激振器附屬件的質(zhì)量。

（2）偏心主軸1動(dòng)能：

（5）由式（1）～式（5）得“激振器—振動(dòng)臺(tái)”系統(tǒng)的總動(dòng)能為：

3.2 系統(tǒng)勢(shì)能方程的建立

“激振器—振動(dòng)臺(tái)”系統(tǒng)的總勢(shì)能U包括系統(tǒng)的重力勢(shì)能Ug和系統(tǒng)的彈性勢(shì)能 Us，設(shè)在 t=0、y1=0、y2=0、Ф1=0、Ф2=0 時(shí)為零勢(shì)能點(diǎn)，則系統(tǒng)在任意位置時(shí)的勢(shì)能經(jīng)推導(dǎo)得：

3.3 系統(tǒng)耗散函數(shù)的建立

“激振器—振動(dòng)臺(tái)”系統(tǒng)的耗散函數(shù)有兩部分組成，一部分是有主振彈簧阻尼c1和隔振彈簧阻尼c2引起的耗散函數(shù)；另一部分是有激振器軸承Ⅰ和Ⅱ引起的耗散函數(shù)，所采用的是滾動(dòng)軸承，因其摩擦力很小，可以忽略不計(jì)，因此激振器軸承引起的耗散函數(shù)忽略不計(jì)，只考慮主振彈簧阻尼c1和隔振彈簧阻尼c2引起的耗散函數(shù)，經(jīng)推導(dǎo)得系統(tǒng)的耗散函數(shù)為：

3.4 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型和狀態(tài)方程的建立

將式（6）～式（8）中的 T、U、R 代入到式（1）經(jīng)推導(dǎo)得“激振器—振動(dòng)臺(tái)”系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為：

將數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化為狀態(tài)方程，得“激振器—振動(dòng)臺(tái)”系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：

4 振動(dòng)臺(tái)系統(tǒng)振動(dòng)特性分析

4.1 混沌振動(dòng)

混沌振動(dòng)是一種由確定性系統(tǒng)產(chǎn)生對(duì)于初始條件極為敏感而具有內(nèi)稟隨機(jī)性和長(zhǎng)期預(yù)測(cè)不可能性的往復(fù)非周期運(yùn)動(dòng)?？防碚撌强茽柲炅_夫（Andrey Nikolaevich Kolmogorov）、阿爾諾德（Vladimir Igorevich Arnold）和莫澤（Jürgen Kurt Moser）三人提出和證明的KAM理論，用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推理奠定了混沌理論的基礎(chǔ)。

Aronld擴(kuò)散理論證明了當(dāng)系統(tǒng)自由度大于2時(shí)，呈現(xiàn)全局混沌振動(dòng)[9]。因此，三偏心激振器、雙質(zhì)體振動(dòng)臺(tái)組成的振動(dòng)系統(tǒng)，將生成混沌振動(dòng)。將三偏心激振器與振動(dòng)臺(tái)相結(jié)合，對(duì)振動(dòng)臺(tái)的振動(dòng)特性進(jìn)行混沌識(shí)別，且m2隔振體質(zhì)量可調(diào)，通過(guò)調(diào)節(jié)隔振體的質(zhì)量，來(lái)改變振動(dòng)臺(tái)的振動(dòng)特性。又因振動(dòng)波在混凝土中的傳播與地震波在土壤中的傳播類(lèi)似，頻率越高衰減越快，混沌振動(dòng)有較寬的振動(dòng)頻率，因此有兩方面的優(yōu)點(diǎn)，一是能夠使不同粒徑的混凝土骨料發(fā)生共振，二是低頻波在土壤中衰減較慢，能起到承載高頻波的作用，有利于提高混凝土預(yù)制件上方的密實(shí)度。

4.2 Simulink動(dòng)力學(xué)仿真

利用MATLAB中的Simulink對(duì)狀態(tài)方程建立“激振器—振動(dòng)臺(tái)”系統(tǒng)仿真模型[10]，如圖2所示。查閱相關(guān)資料，經(jīng)過(guò)計(jì)算得仿真時(shí)的基本參數(shù)為[6]：ts1=1464，ts2=2024.2，ts3=0.0393，ts4=1.0335，ts5=0.0014，ts6=0.0135，ts7=0.0089，ts8=0.7340，ts9=0.3653，ts10=4.3693，us1=3.1425，us2=43.9628，us3=28694，us4=39578，us5=700000，us6=26250，c1=5250，c2=3500；另外驅(qū)動(dòng)電機(jī)為一級(jí)電機(jī)，理論轉(zhuǎn)速為3000r/min，但在實(shí)際工況下電機(jī)的轉(zhuǎn)速為2800r/min，因此偏心主軸的實(shí)際轉(zhuǎn)速ω=293.1rad/s（f=46.7Hz）；初始條件 t0=0，y0=［0，0，0，0，0，0，0，0］；采用Ode45（變步長(zhǎng)Runge-Kutta）算法進(jìn)行仿真。

圖2 “激振器—振動(dòng)臺(tái)”系統(tǒng)仿真圖Fig.2 Simulation Diagram of the System of“Vibration Exciter—Vibration Table”

4.3 仿真數(shù)據(jù)采集與動(dòng)態(tài)特性分析

為了更準(zhǔn)確的分析判斷振動(dòng)臺(tái)的振動(dòng)是否為混沌振動(dòng)，需要對(duì)仿真數(shù)據(jù)進(jìn)行分析處理，目前判斷系統(tǒng)振動(dòng)是否具有混沌成份有定性分析和定量分析兩種方法。定性一般通過(guò)相軌圖、Poincare圖、加速度功率譜圖等進(jìn)行判定[11]，混沌振動(dòng)的相軌圖在一定區(qū)域內(nèi)纏繞、折疊，不重復(fù)；Poincare圖在一定區(qū)域內(nèi)不重疊、并具有一定的結(jié)構(gòu)；功率譜圖具有連續(xù)寬頻譜。定量通常采用計(jì)算最大Lyapunov指數(shù)的方法進(jìn)行判定，若最大Lyapunov指數(shù)λmax＞0表示系統(tǒng)具有混沌振動(dòng)。

4.3.1 相軌圖、Poincare圖、功率譜圖混沌識(shí)別

用“激振器—振動(dòng)臺(tái)”系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)時(shí)的仿真結(jié)果（y1，y5）作圖，可得振動(dòng)臺(tái)的相軌圖，如圖3所示。圖中：橫坐標(biāo)為振動(dòng)臺(tái)的位移y1（m），縱坐標(biāo)為振動(dòng)臺(tái)的速度y5（m/s）。從振動(dòng)臺(tái)的相軌圖（圖3）中可以看出，其相軌線在該區(qū)域內(nèi)不斷地在發(fā)生變化，出現(xiàn)總體吸引折疊而不重復(fù)，又呈現(xiàn)局部排斥的混沌特征。

對(duì)“激振器—振動(dòng)臺(tái)”系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)時(shí)的y1和y5按激勵(lì)周期：T=0.02141s為采樣時(shí)間進(jìn)行采樣，采樣4096個(gè)點(diǎn)，利用采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行作圖，得振動(dòng)臺(tái)的Poincare圖，如圖4所示。圖中：橫坐標(biāo)為振動(dòng)臺(tái)的位移y1（m），縱坐標(biāo)為振動(dòng)臺(tái)的速度y5（m/s）。

對(duì)振動(dòng)臺(tái)的Poincare圖（圖4）進(jìn)行觀察，可以看出振動(dòng)臺(tái)Poincare圖在該運(yùn)動(dòng)區(qū)域內(nèi)，出現(xiàn)密集的且具有一定結(jié)構(gòu)，局部而又不重疊的圖形；這是混沌運(yùn)動(dòng)一個(gè)很明顯的特征，因此可以定性的說(shuō)明振動(dòng)臺(tái)的運(yùn)動(dòng)是混沌的。對(duì)“激振器—振動(dòng)臺(tái)”系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)時(shí)振動(dòng)臺(tái)的振動(dòng)加速度y9，以ΔT=0.002s為采樣時(shí)間進(jìn)行采樣，采樣4096個(gè)點(diǎn)，對(duì)采樣數(shù)據(jù)作功率譜分析，得振動(dòng)臺(tái)的加速度功率譜圖，如圖5所示。圖中：橫坐標(biāo)為頻率（Hz），縱坐標(biāo)為（dB）。從振動(dòng)臺(tái)的加速度功率譜圖（圖5）中可以看出，振動(dòng)臺(tái)的加速度功率譜具有連續(xù)寬頻譜，所以振動(dòng)臺(tái)的運(yùn)動(dòng)呈現(xiàn)混沌特性。且振動(dòng)臺(tái)的振動(dòng)頻率大致分布在（0～180）Hz，根據(jù)雷爾密特理論，這些頻率基本能夠?qū)?yīng)混凝土中不同顆粒粒徑的共振頻率。

4.3.2 最大Lyapunov指數(shù)λmax混沌識(shí)別

設(shè)式（11）在 y＝［y1；y2；y3；y4；y5；y6；y7；y8］處的 Jacobi矩陣為 J，則式（11）的 Jacobi矩陣為：

計(jì)算最大Lyapunov指數(shù)λmax時(shí)采用wolf方法，編寫(xiě)求解λmax的MATLAB程序。查閱相關(guān)文獻(xiàn)，該程序計(jì)算的初始條件：Ea=10-6，標(biāo)準(zhǔn)化時(shí)間間隔ΔT=0.3s。經(jīng)求解得振動(dòng)臺(tái)的λmax時(shí)間曲線圖，如圖6所示。橫坐標(biāo)為時(shí)間t（s），縱坐標(biāo)為幅值λmax。對(duì)振動(dòng)臺(tái)的λmax時(shí)間曲線圖（圖6）分析發(fā)現(xiàn)，振動(dòng)臺(tái)的最大Lyapunov指數(shù)λmax=0.0377＞0，表明振動(dòng)臺(tái)的運(yùn)動(dòng)為混沌振動(dòng)。

圖6 最大Lyapunov指數(shù)時(shí)間曲線Fig.6 The Time Curve of Maximum Lyapunov Index

通過(guò)定性的相軌圖、Poincare圖、功率譜圖和定量的最大Lyapunov指數(shù)可以看出該振動(dòng)臺(tái)的振動(dòng)為混沌振動(dòng)。

5 混凝土成型PFC 2D仿真驗(yàn)證

振動(dòng)臺(tái)的振動(dòng)為混沌振動(dòng)，但研究振動(dòng)臺(tái)的最終目的是用于混凝土密實(shí)成型，但是用實(shí)驗(yàn)的方法來(lái)測(cè)混凝土骨料成型的密實(shí)度，不但工作量大，而且目前還沒(méi)有很好的方法，所以采用PFC 2D顆粒流軟件，通過(guò)離散單元模擬顆粒介質(zhì)的運(yùn)動(dòng)及其相互作用，來(lái)比較三偏心混沌振動(dòng)臺(tái)與普通振動(dòng)臺(tái)在混凝土密實(shí)成型效果上是否有所提高。經(jīng)過(guò)對(duì)混凝土骨料分析，建立混凝土骨料顆粒流模型，通過(guò)在混凝土骨料顆粒流模型下方施加單一頻率（ω=293.1rad/s）的正（余）弦激振力來(lái)模擬普通混凝土振動(dòng)臺(tái)的密實(shí)成型，其他初始條件與三偏心混沌振動(dòng)臺(tái)的相同，仿真結(jié)果，如圖7（a）所示。通過(guò)在混凝土骨料顆粒流模型下方施加多種頻率的激振力，（且保證頻率與加速度功率譜圖中的頻率一致）來(lái)模擬三偏心混沌混凝土振動(dòng)臺(tái)的密實(shí)成型，仿真結(jié)果，如圖7（b）所示。對(duì)密實(shí)成型后兩種混凝土在不同高度的密實(shí)度進(jìn)行測(cè)量統(tǒng)計(jì)，求平均值，繪制密實(shí)度曲線，如圖8所示。

圖7 不同振動(dòng)臺(tái)成型模擬Fig.7 Molding Simulation of Different Vibration Table

圖8 密實(shí)度曲線Fig.8 The Curve of Density

結(jié)果分析：混凝土密實(shí)成型后圖7（b）中基于三偏心混沌振動(dòng)臺(tái)的混凝土顆粒散體的排列狀態(tài)較圖7（a）中普通振動(dòng)臺(tái)的混凝土顆粒散體排列狀態(tài)有明顯的提升，尤其在中上部較為明顯。從圖8中可以看出，混凝土密實(shí)成型后基于三偏心混沌振動(dòng)臺(tái)的密實(shí)度在不同高度位置較普通振動(dòng)臺(tái)的密實(shí)度都有提高，尤其在混凝土模型的中上部位置處提高明顯，通過(guò)對(duì)這5個(gè)高度處的密實(shí)度求平均值，得三偏心混沌振動(dòng)臺(tái)在混凝土振動(dòng)成型后混凝土密實(shí)度較普通振動(dòng)臺(tái)提高6.32%。

6 結(jié)論

基于E.T.Seling提出的二自由度系統(tǒng)模型的基礎(chǔ)上將三偏心激振器和振動(dòng)臺(tái)結(jié)合起來(lái)，并基于第二類(lèi)Lagrange方程，建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程，運(yùn)用Ode45算法求解計(jì)算振動(dòng)臺(tái)的運(yùn)動(dòng)特性，通過(guò)PFC2D軟件對(duì)混凝土密實(shí)成型進(jìn)行仿真驗(yàn)證，得到如下結(jié)論：

（1）振動(dòng)臺(tái)的振動(dòng)為混沌振動(dòng)，并且從功率譜圖中可以看出，振動(dòng)臺(tái)的振動(dòng)頻率大致在（0～180）Hz范圍內(nèi)，基本能夠?qū)?yīng)混凝土骨料中不同顆粒粒徑的共振頻率，這對(duì)提高混凝土的密實(shí)度是非常有利的。

（2）從實(shí)驗(yàn)仿真的結(jié)果可以看出，三偏心混沌混凝土振動(dòng)臺(tái)更有利于混凝土的密實(shí)成型，不但密實(shí)度提高了6.32%，而且顆粒的均勻度也有所提升。

（3）三偏心混沌混凝土振動(dòng)臺(tái)參數(shù)選擇合理，與傳統(tǒng)混凝土振動(dòng)臺(tái)相比，該混沌振動(dòng)臺(tái)具有明顯的優(yōu)勢(shì)。因此將混沌技術(shù)應(yīng)用到混凝土振動(dòng)臺(tái)中是可行且有效的，為工程實(shí)際中提高混凝土密實(shí)度提供了理論依據(jù)。