拋物隨機(jī)微分方程的多水平Monte Carlo法

摘 要：在熱傳導(dǎo)、化學(xué)物質(zhì)擴(kuò)散的問題中，常出現(xiàn)帶有隨機(jī)系數(shù)的拋物偏微分方程，而求這些隨機(jī)拋物微分方程的解析解非常困難，因此考慮其數(shù)值近似。本文用多水平Monte Carlo法和有限差分法相結(jié)合來求解拋物隨機(jī)問題的數(shù)值解，與傳統(tǒng)的Monte Carlo法相比，它的漸近成本顯著降低，計(jì)算速度顯著提高，數(shù)值算例檢驗(yàn)了該方法的高效性。

關(guān)鍵詞：多水平;Monte Carlo方法;拋物隨機(jī)偏微分方程;有限差分法

中圖分類號(hào)：O241.82; O35

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A

現(xiàn)實(shí)生活中很多物理現(xiàn)象都是用微分方程來描述，特別是隨機(jī)偏微分方程（SPDE）在現(xiàn)代物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等都有很多應(yīng)用。由于求隨機(jī)問題的解析解比較困難，于是轉(zhuǎn)而考慮數(shù)值解。在處理這類數(shù)值問題時(shí)，Monte Carlo（MC）法是首選方法， 多水平Monte Carlo（MLMC）法是GILES首先基于多重網(wǎng)格的思想在傳統(tǒng)Monte Carlo法的基礎(chǔ)上提出來的[1]，目前漸漸受到了廣泛關(guān)注。

到目前為止，Monte Carlo 法（包含擬Monte Carlo法、多水平Monte Carlo法、多水平擬Monte Carlo法）在常見的隨機(jī)橢圓偏微分方程[2-3]的數(shù)值解方面已經(jīng)取得了一些進(jìn)展。比如2011年CLIFFE等將MLMC法應(yīng)用在含有隨機(jī)系數(shù)的橢圓偏微分方程，并在數(shù)值計(jì)算中證明了該方法對(duì)地下水流中出現(xiàn)的一維和二維模型問題的有效性[4];BARTH等于2011年采用多水平Monte Carlo法數(shù)值近似有隨機(jī)系數(shù)的橢圓偏微分方程，并給出了詳細(xì)的理論分析[5];2011年GRAHAM等利用擬Monte Carlo法求解含有隨機(jī)系數(shù)的橢圓偏微分方程[6];2015年KUO、SCHWAB，以及SLOAN利用多水平擬Monte Carlo（MLQMC）法結(jié)合有限元方法數(shù)值求解在帶有隨機(jī)系數(shù)的橢圓偏微分方程[7]; 2016年KUO和NUYENS分析了擬Monte Carlo法在含有隨機(jī)系數(shù)的橢圓偏微分方程的應(yīng)用，分別比較了均勻分布與正態(tài)分布、單水平算法與多水平算法、一階擬Monte Carlo規(guī)則與高階擬Monte Carlo規(guī)則，確定的擬Monte Carlo法與隨機(jī)擬Monte Carlo法，給出了誤差分析的總結(jié)，提供了在偏微分方程問題中生成擬Monte Carlo點(diǎn)的示例[8];2017年KUO等將對(duì)數(shù)正態(tài)問題的多水平擬Monte Carlo方法，應(yīng)用于隨機(jī)多孔介質(zhì)中典型橢圓問題穩(wěn)態(tài)流動(dòng)解的線性泛函，得出了誤差分析，并用數(shù)值實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)[9]。這對(duì)于處理地下流動(dòng)問題的不確定性量化至關(guān)重要。

然而，用多水平Monte Carlo方法在處理帶時(shí)間的隨機(jī)偏微方程數(shù)值解的研究較少。本文考慮用多水平Monte Carlo方法研究拋物隨機(jī)微分方程的數(shù)值近似。

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（責(zé)任編輯：于慧梅）