從全等到相似由特殊到一般

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九年級(jí)下冊(cè)共4章內(nèi)容，其中“二次函數(shù)”是初中“函數(shù)”板塊的收官之章，“圖形的相似”是初中“幾何”板塊的收官之章，“銳角三角函數(shù)”是“數(shù)形結(jié)合代表之一的三角”板塊的收官之章，“統(tǒng)計(jì)和概率的簡(jiǎn)單應(yīng)用”是“統(tǒng)計(jì)和概率”板塊的收官之章。這樣4章內(nèi)容放在一起，正好使初中數(shù)學(xué)“代數(shù)、幾何、統(tǒng)計(jì)與概率”四大板塊完美收?qǐng)觯链?，初中?shù)學(xué)學(xué)段學(xué)習(xí)告一段落。隨著時(shí)代的發(fā)展，對(duì)我們初中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的要求也在不斷提高。原來我們主要以掌握基礎(chǔ)知識(shí)技能會(huì)解題為主，后來逐步發(fā)展到通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提高各種能力，現(xiàn)在要求發(fā)展我們的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。這就說明，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中僅掌握一個(gè)一個(gè)的知識(shí)點(diǎn)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，需要我們把這些知識(shí)點(diǎn)連成線、構(gòu)成知識(shí)系統(tǒng)。只有從宏觀、中觀、微觀三個(gè)層面掌握知識(shí)及相互關(guān)聯(lián)，才算真正掌握了數(shù)學(xué)知識(shí)。下面就從三個(gè)層面向同學(xué)們介紹基礎(chǔ)知識(shí)及其相互關(guān)系。

一、宏觀認(rèn)識(shí)“圖形的相似”

要宏觀認(rèn)識(shí)“圖形的相似”，必須從研究幾何對(duì)象的基本方法說起。研究幾何對(duì)象，一般先認(rèn)識(shí)一個(gè)幾何對(duì)象，再認(rèn)識(shí)兩個(gè)幾何對(duì)象之間的關(guān)系。如認(rèn)識(shí)線段、角，我們都是先認(rèn)識(shí)線段、角的定義，再學(xué)習(xí)線段、角所具有的性質(zhì)判定，在此基礎(chǔ)上研究?jī)蓷l線段、兩個(gè)角之間的關(guān)系。認(rèn)識(shí)三角形也同樣如此。我們先學(xué)習(xí)一個(gè)三角形的定義，再學(xué)習(xí)三角形的性質(zhì)和判定，然后用定義、性質(zhì)、判定解決相關(guān)問題。接著研究?jī)蓚€(gè)三角形之間的關(guān)系，就出現(xiàn)了三角形的全等與三角形的相似。顯然，“圖形的相似”是建立在“圖形的全等”基礎(chǔ)上的延續(xù)，兩個(gè)圖形全等是形狀和大小完全一樣，而兩個(gè)圖形相似是只有形狀相同、大小不一定相同。因此，圖形的全等是特殊情形，而圖形的相似是一般情形。所以說，從全等發(fā)展到相似，是由特殊走向了一般。要明白圖形的相似研究的基本內(nèi)容和方法，只需對(duì)照?qǐng)D形的全等的基本套路就可以了。

二、中觀認(rèn)識(shí)“圖形的相似”

由于相似的兩個(gè)圖形形狀是完全相同的，這點(diǎn)等同于全等，但大小不一定一樣，這就存在著組成圖形的元素（邊、角、對(duì)角線等）大小之間存在著一定的關(guān)系。所以，第6章“圖形的相似”中“6.1圖上距離與實(shí)際距離”“6.2黃金分割”主要是引出“兩條線段之比”及“黃金分割比”（兩條線段之比的一種特殊情形），為學(xué)習(xí)“相似中研究對(duì)應(yīng)邊之間的關(guān)系”奠基，而“6-3相似圖形”是本章研究?jī)蓚€(gè)圖形之間相似的一般情形，“6.4探索三角形相似的條件”“6.5相似三角形的性質(zhì)”“6.7用相似三角形解決問題”是兩個(gè)圖形之間相似的一種特殊情形——相似三角形，“6.6圖形的位似”是“相似圖形”中不僅具有大小關(guān)系，還具有位置關(guān)系的另一個(gè)視角的特殊情形。清楚了上述中觀層面之間的相互關(guān)系，有助于我們學(xué)有方向。從相似圖形走向相似三角形是圖形的一般到特殊，從相似圖形到位似圖形是位置的一般到特殊。顯然，作為“相似圖形”中最為特殊的“相似三角形”，對(duì)它的研究最為系統(tǒng)，應(yīng)該成為本章學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和核心。

三、微觀認(rèn)識(shí)“圖形的相似”

1.正確認(rèn)識(shí)“比”的價(jià)值。

兩條線段如果相等，它們的比為1;兩條線段如果不相等，它們的比就不等于1。我們最為熟悉的比當(dāng)數(shù)“比例尺”，比例尺=圖上距離：實(shí)際距離。由于兩個(gè)相似圖形的大小一般是不同的，這樣對(duì)應(yīng)元素“邊”之間就存在著大小關(guān)系，邊的大小關(guān)系除了直接“比較大小”（顯然不夠入微）外，還可以通過“比”來體現(xiàn)，這就是本章中定義的“相似比”。顯然，前兩節(jié)內(nèi)容主要是為引出“相似比”起了奠基作用。

2.全面認(rèn)識(shí)“相似三角形”。

學(xué)習(xí)了相似圖形的定義、性質(zhì)和判定之后，本章的重點(diǎn)應(yīng)放在相似三角形上。因?yàn)橄嗨茍D形具有一般性，從邊的視角看，圖形可以是三角形、四邊形、五邊形等，它具有不確定性。通過前面幾何知識(shí)的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)知道三角形是最簡(jiǎn)單的封閉圖形，限于我們初中生的接受和理解水平，研究透最為特殊的相似三角形是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)。

按照研究全等三角形的思路與方法，我們依舊可以通過類比與對(duì)比去研究相似三角形。從內(nèi)容上看，全等三角形主要研究定義、性質(zhì)、判定、運(yùn)用、應(yīng)用，所以對(duì)于一般的相似三角形，也應(yīng)該研究這些重點(diǎn)內(nèi)容。全等三角形可以看成是相似比為1的特殊相似三角形;全等三角形的性質(zhì)主要是通過邊、對(duì)應(yīng)線段（中線、高、角平分線）、角、周長(zhǎng)、面積等體現(xiàn)，那么相似三角形的性質(zhì)也可以通過上述量的研究體現(xiàn);全等三角形的判定主要是通過SAS、ASA、AAS、SSS和特殊的HL體現(xiàn)，相似三角形的判定也應(yīng)該類比和對(duì)比全等進(jìn)行。

上述研究都是靜態(tài)研究，而兩個(gè)圖形之間的關(guān)系還可以從動(dòng)態(tài)角度認(rèn)識(shí)。全等三角形有平移、翻折、旋轉(zhuǎn)三種全等變換，利用三種變換很容易在復(fù)雜圖形中找到兩個(gè)對(duì)應(yīng)的全等三角形。同樣，研究相似三角形，一些基本圖形的認(rèn)識(shí)就顯得非常重要，它同樣有利于我們?cè)趶?fù)雜圖形中識(shí)別相似三角形，更有利于我們找對(duì)應(yīng)的邊與角。如我們常說的“A”型、“X”型、“平行”型、“旋轉(zhuǎn)”型、“K”型等，這些基本圖形我們必須非常熟練地記住并學(xué)會(huì)識(shí)別與運(yùn)用。

3.系統(tǒng)認(rèn)識(shí)“圖形的位似”。

在中觀認(rèn)識(shí)中我們已經(jīng)介紹了從“相似圖形”到“相似三角形”是圖形的一般到特殊，從“圖形的相似”到“圖形的位似”是從不具備特定位置關(guān)系的兩個(gè)相似圖形到具有特殊位置關(guān)系的兩個(gè)相似圖形，特殊位置體現(xiàn)在位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線通過同一個(gè)點(diǎn)。這樣，我們可以得出，位似圖形具有相似圖形的一切性質(zhì)，還具有自身的特性。抓住了這一點(diǎn)，我們就真正掌握兩者的聯(lián)系與區(qū)別了。

總之，初中幾何的研究?jī)?nèi)容和方法是非常清晰的，一條知識(shí)線是從一個(gè)圖形的研究開始，分別研究線段、角、三角形、四邊形、多邊形、圓等;另一條知識(shí)線是從兩個(gè)圖形的相互關(guān)系開始的，如相交線、平行線、對(duì)頂角、互余、互補(bǔ)、全等三角形、相似三角形、全等圖形、相似圖形等。一個(gè)視角是從靜止的角度認(rèn)識(shí)圖形，另一個(gè)視角是從運(yùn)動(dòng)的角度認(rèn)識(shí)圖形。當(dāng)然，還有從直線型走向曲線型（圓）視角，從全等變換到相似變換視角，最綜合的還有數(shù)形結(jié)合的研究視角，如函數(shù)（含三角函數(shù)）。只有站在較高的角度來認(rèn)識(shí)“圖形的相似”這章，充分利用類比和對(duì)比的數(shù)學(xué)思想方法，我們才能高屋建瓴，掌控全章。

（作者單位：江蘇省無錫市新吳區(qū)教師發(fā)展中心）