基于PD控制的液壓系統(tǒng)的建模和分析

趙春江王 蕊13張德真龍 濤

(1.太原科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，山西 太原 030024；2.太原科技大學(xué) 太原重型裝備協(xié)同創(chuàng)新中心，山西 太原 030024；3.河北工程大學(xué) 機(jī)械與裝備工程學(xué)院，河北 邯鄲 056038)

引言

液壓系統(tǒng)由于無級調(diào)速、運(yùn)行穩(wěn)定、易實(shí)現(xiàn)自動(dòng)控制等特點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于機(jī)器人、機(jī)械制造、航空航天等工業(yè)領(lǐng)域[1-3]。但是，因?yàn)橄到y(tǒng)本身存在強(qiáng)烈的非線性特性，所以針對液壓系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性和控制方法等方面的研究受到了很多研究人員的青睞。尤其在控制方面，利用線性和非線性控制、自適應(yīng)控制、魯棒控制等方法來改善系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的研究都取得了很大程度的進(jìn)步[4-6]。SAMAKWONG T等[7]在研究電液伺服閥系統(tǒng)PID控制器設(shè)計(jì)時(shí)發(fā)現(xiàn)基于遺傳算法優(yōu)化PID控制器比Ziegler-Nichols、整定方法、自動(dòng)整定方法和粒子群優(yōu)化算法(PSO)具有更好的閉環(huán)性能。許文斌等[8]在研究大型裝備電液系統(tǒng)非線性、參數(shù)不確定性問題中提出的具有積分行為的魯棒H_∞位置控制策略能提高系統(tǒng)的魯棒性和穩(wěn)定性。徐夢等[9]在研究加速BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)調(diào)節(jié)PID控制器參數(shù)的方法時(shí)，利用動(dòng)量常數(shù)來加速神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練能夠?qū)崿F(xiàn)系統(tǒng)快速逼近功能。

以上研究表明，控制系統(tǒng)的研究對液壓系統(tǒng)性能的調(diào)節(jié)和優(yōu)化具有非常重要的意義。而實(shí)際工程中，針對控制器參數(shù)的調(diào)節(jié)主要有理論計(jì)算和工程經(jīng)驗(yàn)兩種方法，且好的控制調(diào)節(jié)策略應(yīng)該遵守的原則是：直接對系統(tǒng)閉環(huán)響應(yīng)進(jìn)行簡單分析，并對控制器參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化調(diào)整[10-11]。因此，本文以泵控液壓系統(tǒng)為研究對象，通過數(shù)學(xué)建模和軟件分析對PD控制器參數(shù)進(jìn)行仿真分析，同時(shí)利用系統(tǒng)幅值裕度和相位裕度來確定控制器各增益系數(shù)的值。研究結(jié)果為實(shí)際工程中調(diào)節(jié)液壓系統(tǒng)性能和合理選擇控制參數(shù)提供了參考。

1 系統(tǒng)描述和數(shù)學(xué)模型的建立

1.1 液壓系統(tǒng)原理圖

液壓系統(tǒng)原理圖如圖1所示，通過伺服電機(jī)控制定量泵來調(diào)節(jié)液壓缸的運(yùn)行速度。其中，利用永磁同步伺服電機(jī)和定量泵作為系統(tǒng)的動(dòng)力源，工作中通過調(diào)節(jié)電機(jī)轉(zhuǎn)速來改變泵的排量，從而控制非對稱液壓缸的進(jìn)給速度，且液壓缸活塞桿在運(yùn)動(dòng)過程中受到一個(gè)向上的負(fù)載力FL。

1.2 液壓控制系統(tǒng)方塊圖

實(shí)驗(yàn)時(shí)，電磁換向閥預(yù)先打開，故這一部分可忽略。系統(tǒng)主要由交流調(diào)速環(huán)節(jié)和泵控機(jī)構(gòu)兩部分組成，控制系統(tǒng)框圖如圖2所示。

1.油箱 2.過濾器 3.伺服電機(jī) 4.液壓泵5.換向閥 6.液壓缸 7.安全閥圖1 液壓系統(tǒng)原理圖

圖2 液壓控制系統(tǒng)框圖

1.3 永磁同步伺服電機(jī)的數(shù)學(xué)模型

基于同步電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系，不考慮磁路中鐵芯磁飽和；不計(jì)鐵芯渦流和磁滯損耗；轉(zhuǎn)子上無阻尼繞組，永磁體也無阻尼繞組；以及永磁材料電導(dǎo)率為0的前提下[12-13]，建立永磁同步伺服電機(jī)的數(shù)學(xué)模型。

電磁轉(zhuǎn)矩方程：

Td=Ktisq

(1)

式中，Kt—— 電機(jī)靈敏度系數(shù)

isq—— 控制電機(jī)電流

電壓方程：

(2)

式中，Lsq—— 定子電感

Rd—— 定子電阻

Ke—— 反電勢系數(shù)

ω—— 電機(jī)轉(zhuǎn)子角速度

電機(jī)運(yùn)動(dòng)方程：

(3)

式中，TL—— 負(fù)載轉(zhuǎn)矩

J—— 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

D—— 電機(jī)的黏性摩擦系數(shù)

對式(1)～式(3)進(jìn)行拉氏變換并整理，得：

(4)

由式(4)可畫出永磁同步伺服電機(jī)動(dòng)態(tài)框圖，如圖3所示。

圖3 永磁同步伺服電機(jī)動(dòng)態(tài)框圖

1.4 泵控機(jī)構(gòu)數(shù)學(xué)模型

泵控機(jī)構(gòu)包括過濾器、液壓泵、管道、換向閥和液壓缸。不考慮過濾器流量損失和管道壓力損失，液壓泵高壓腔到液壓缸之間的壓力p1看作是相等的，回油腔壓力p2為0，液壓缸的控制壓力為pL=p1-p2。且伺服系統(tǒng)的負(fù)載以慣性負(fù)載為主，沒有彈性負(fù)載或彈性負(fù)載很小。當(dāng)活塞桿向下運(yùn)動(dòng)時(shí)，液壓缸控制腔的流量連續(xù)性方程為[14-15]：

(5)

式中，qL—— 負(fù)載流量

Ap—— 液壓缸活塞有效工作面積

v—— 活塞桿運(yùn)動(dòng)速度

λc—— 液壓缸總泄漏系數(shù)

pL—— 液壓缸的控制壓力

Vc—— 液壓缸高壓腔的容積

K—— 有效體積彈性模量(包括油液、連接管道和缸體的機(jī)械柔度)

液壓缸活塞與負(fù)載力的平衡方程為：

(6)

式中，m—— 活塞及負(fù)載折算到活塞上的總質(zhì)量

B—— 活塞及負(fù)載的黏性阻尼系數(shù)

fL—— 作用在活塞上的任意外負(fù)載力

將式(5)、式(6)進(jìn)行拉普拉斯變換為：

(7)

由式(7)可以繪出由負(fù)載流量引起的液壓缸活塞速度的方塊圖，如圖4所示。

圖4 液壓缸活塞速度的方塊圖

液壓泵軸上的轉(zhuǎn)矩為：

(8)

式中，Δp—— 液壓泵的高、低壓腔的壓差，由于低壓腔壓力為0，則Δp=p1

Vp—— 液壓泵的排量

液壓泵的實(shí)際流量：

(9)

式中，qt—— 泵的理論流量

ηV—— 液壓泵的容積效率

ω—— 角速度

根據(jù)圖4和式(8)、式(9)繪制出伺服泵控系統(tǒng)傳遞函數(shù)方塊圖，如圖5所示。

圖5 伺服泵控系統(tǒng)傳遞函數(shù)方塊圖

其中,控制器增益為KPD；Ur為控制信號；KU為控制信號放大倍數(shù)；Kv為電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速增益；V(s)為速度閉環(huán)的輸出。根據(jù)圖5可得閉環(huán)系統(tǒng)對指令輸入U(xiǎn)r(s)的傳遞函數(shù)為：

(10)

其中，C=VpηvA1KPDKUKt/120π

2 動(dòng)態(tài)仿真與分析

在AMESim軟件中建立系統(tǒng)模型，如圖6所示。模型主要包括PD控制器、伺服電機(jī)、油源、定量泵、電磁換向閥、溢流閥及液壓缸組件。根據(jù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型和傳遞函數(shù)，可知該系統(tǒng)為零型系統(tǒng)，各項(xiàng)系數(shù)均大于0，且最高階次為四次、無導(dǎo)前環(huán)節(jié)。因此，可以通過使用幾何判據(jù)分析系統(tǒng)的幅值裕度和相位裕度來判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并在系統(tǒng)不穩(wěn)定時(shí)直接提出改進(jìn)系統(tǒng)穩(wěn)定性的辦法。模擬中使用的系統(tǒng)參數(shù)如表1所示[16]。

圖6 串聯(lián)校正控制的系統(tǒng)模型

表1 泵控系統(tǒng)仿真參數(shù)表

2.1 頻域分析

系統(tǒng)的幅值裕度和相位裕度隨控制器增益系數(shù)變化曲線如圖7所示。隨著控制器比例環(huán)節(jié)增益系數(shù)KP的改變，對數(shù)幅頻特性曲線上下移動(dòng)，幅值穿越頻率左右移動(dòng)。而對數(shù)相頻特性曲線不變，即相位穿越頻率不發(fā)生變化。當(dāng)系統(tǒng)的幅值裕度Kg<0且相位裕度γ<0°，此時(shí)系統(tǒng)不穩(wěn)定，如圖7中線1所示。當(dāng)控制器增益系數(shù)KP=35時(shí),Kg=0且γ=0°時(shí)，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，如線2所示。當(dāng)KP<35時(shí),系統(tǒng)具有正的幅值裕度和相位裕度，如線3所示，此時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定。

圖7 不同比例系數(shù)的伯德圖

通過調(diào)節(jié)比例環(huán)節(jié)系數(shù)改變系統(tǒng)性能，屬于一種簡單的控制方法，但隨著比例系數(shù)的增大，系統(tǒng)的穩(wěn)定性降低。因此加入微分控制環(huán)節(jié)，能夠預(yù)測輸入信號的變化趨勢，起到超前校正的作用，以改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性，同時(shí)提高系統(tǒng)響應(yīng)速度，節(jié)省調(diào)整時(shí)間。

系統(tǒng)在不同校正環(huán)節(jié)下的伯德圖如圖8所示，曲線1，2分別為比例系數(shù)確定時(shí)，不同的微分系數(shù)下系統(tǒng)的頻率圖，曲線3為僅在比例環(huán)節(jié)控制下的系統(tǒng)頻率圖。由圖8可知，當(dāng)系統(tǒng)加入微分環(huán)節(jié)后，相位裕度增加，穩(wěn)定性提高；且穿越頻率ωc變大，即頻帶變寬，

圖8 不同校正環(huán)節(jié)的伯德圖

系統(tǒng)快速性提高，從而改善了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能；并且當(dāng)系統(tǒng)加入微分環(huán)節(jié)后，隨著微分系數(shù)的增大，相位裕度減小，穿越頻率增大。

根據(jù)控制工程理論可知，為了保證系統(tǒng)具有滿意的性能儲(chǔ)備，一般希望系統(tǒng)的相位裕度γ=30°～60°，幅值裕度Kg>6 dB[16]。針對本文研究的系統(tǒng),調(diào)節(jié)控制器參數(shù)KP=23，KD=1時(shí)，系統(tǒng)頻率特性圖滿足要求，如圖8中曲線1所示。因此，在實(shí)際工程中利用這種方法對控制器各增益系數(shù)進(jìn)行調(diào)節(jié)可以使系統(tǒng)快速獲得滿意的動(dòng)態(tài)特性，提高工作效率。

2.2 時(shí)域分析

圖9為系統(tǒng)在不同校正環(huán)節(jié)下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)曲線。當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定工作時(shí)，隨著比例系數(shù)KP和微分系數(shù)KD的改變，系統(tǒng)的穩(wěn)定性、快速性和準(zhǔn)確性都會(huì)發(fā)生變化。曲線1，2分別是比例系數(shù)KP一定時(shí)，微分系數(shù)KD的改變對液壓缸速度的影響；曲線3是系統(tǒng)僅在比例系數(shù)KP的作用下液壓缸的速度曲線。

圖9 不同校正環(huán)節(jié)下的液壓缸速度曲線

由圖可知，采用PD控制后，系統(tǒng)的振蕩次數(shù)減少，振蕩幅度減弱，穩(wěn)定性提高，響應(yīng)速度加快，但系統(tǒng)始終還會(huì)存在穩(wěn)態(tài)誤差，且自身抗干擾能力減弱，故比例微分調(diào)節(jié)也存在缺點(diǎn)。而不同的微分調(diào)節(jié)會(huì)影響系統(tǒng)的超調(diào)幅度，微分系數(shù)KD越大，響應(yīng)速度加快，振蕩幅度越大，調(diào)節(jié)時(shí)間越長。因此，通過選擇合適的微分環(huán)節(jié)系數(shù)來減小系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差，降低系統(tǒng)的振蕩程度，能夠進(jìn)一步改善系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性。但在串聯(lián)校正的過程中，微分環(huán)節(jié)只對系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過程起作用，對穩(wěn)態(tài)過程沒有影響。

3 結(jié)論

(1) 建立了非線性泵控液壓系統(tǒng)模型，并對系統(tǒng)進(jìn)行了頻域、時(shí)域分析，同時(shí)討論比例系數(shù)KP和微分系數(shù)KD的改變對系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響。提出一種合理選擇控制器增益系數(shù)的方法；

(2) 仿真結(jié)果表明，控制器增益系數(shù)的調(diào)整，影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性、準(zhǔn)確性、快速性，三種性能相互影響、相互制約。當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定工作時(shí)，加入微分環(huán)節(jié)，系統(tǒng)的響應(yīng)速度提高，穩(wěn)定性增強(qiáng)，振蕩次數(shù)減少，但自身抗干擾能力下降。該方法可用來分析不同控制環(huán)節(jié)對液壓系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響；

(3) 在對液壓控制系統(tǒng)進(jìn)行現(xiàn)場調(diào)節(jié)時(shí)，一般只可通過控制器的相關(guān)參數(shù)對系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能進(jìn)行調(diào)節(jié)。本文提出根據(jù)控制工程中系統(tǒng)具有滿意的性能指標(biāo)時(shí)相位裕度在 30°～60°之間，幅值裕度大于6 dB這一理論，確定出控制器各環(huán)節(jié)增益系數(shù)的值，同時(shí)使系統(tǒng)性能達(dá)到最佳狀態(tài)。該方法一定程度上可以對系統(tǒng)進(jìn)行快速調(diào)節(jié)，且為實(shí)際工程中液壓系統(tǒng)控制器增益系數(shù)的選擇，設(shè)備性能的優(yōu)化提供了一種方法。