“圖解數(shù)學”，“小老師”的好幫手

陳云

【摘 ? 要】基于兒童喜歡涂鴉的天性，教師可引導學生用“圖解數(shù)學”詮釋數(shù)學結(jié)論或原理的方式學習數(shù)學，以激發(fā)學生探索數(shù)學奧秘的愿望?！皥D解數(shù)學”因其通俗易懂、更貼近小學生的理解和接受能力而成為生生交流的重要載體，能讓“小老師”在課堂參與過程中，講解更有底氣，分析更入理，反思更有深度。

【關鍵詞】圖解數(shù)學;教學;小老師

“小老師”是近年來出現(xiàn)的一種新型教學方式。它一方面可以更好地彰顯學生的主體價值，激發(fā)學生自身的學習主動性和學習潛能，另一方面也能更好地發(fā)揮同伴互助的教學功能?！皥D解數(shù)學”是用圖或畫的方式來解釋數(shù)學的結(jié)論或原理，實現(xiàn)小學生數(shù)學思維可視化的一種有效方式。它是學生相互交流、自主建構的重要載體，可以成為“小老師”分析講解、反思修正的常用手段，從而促進自身數(shù)學能力的提升，也有助于啟發(fā)其他同學。

一、圖解數(shù)學讓“小老師”的見解清晰可見

讓學生做“小老師”是落實學生主體地位的一種做法。每個學生都希望有機會當“小老師”，為了獲取這樣的展示機會，學生會主動、積極地對外部信息進行深度認知以及再加工。這一過程看似簡單，其實對數(shù)學信息從初步感知到完全理解，再到外化展示，對于小學生來說是一個極其復雜的過程，需要“小老師”進行辨別、比較、判斷和加工。要較好地完成這一任務，學生除了要具有良好的語言基礎外，還必須掌握必要的技巧?！皥D解數(shù)學”就能恰到好處地幫助學生對數(shù)學信息中的內(nèi)容進行有效梳理，例如：借助圖示提取重要數(shù)學信息、借助圖示表征關鍵的數(shù)量關系等。

在蘇教版二年級上冊“認識平均分”的教學中，教師追問：什么是平均分？對于這樣的問題，學生有“似曾相識”的熟悉，也有“霧里看花”的模糊，如果要求“小老師”來談談自己的想法，不借助一定的外顯形式，確實很難表述，學生說來說去就是一句“分得同樣多”，再不知如何解釋。這樣的回答并不足以讓其他同學有更多收獲，也很難對除法的意義和除法可能存在的兩種情況（平均除、包含除）進行有效區(qū)別。但如果我們把這樣一個寬泛的問題讓學生用圖解的方式使其具體化、形象化：“什么是平均分？把你認為是平均分的故事寫出來或畫出來?！睂W生從自己的生活中去搜索平均分的實際問題，然后努力選擇合適的表征方式把問題記錄下來，在作業(yè)展示環(huán)節(jié)，“小老師”有了抓手，講解起來就會底氣十足：“媽媽買來12顆糖果，如果哥哥、我和妹妹每人分得的同樣多，我們每人可以分到4顆糖果。你看，我們3個人要分得同樣多，這就是平均分，可以說是平均分給哥哥、我和妹妹?！薄皬埨蠋熡?只氣球，每人給2只，張老師的氣球可以分給幾個人？每人2只就是你2只、他2只、我也2只，一直分，分給了4個人，這樣每個人都得到2只，就是同樣多，所以叫平均分（如圖1）?！薄茱@然，有了圖解，“小老師”的表達就顯得“有血有肉”、活靈活現(xiàn)，對低段學生建立“平均分”的表象很有幫助，也能啟發(fā)其他同學想到各種平均分的實際問題。

小學生的思維是由具體形象思維逐漸發(fā)展為抽象思維的一個質(zhì)變的過程，需要一定的教學手段和工具媒介助力。一些直觀的圖示、表格在學生思維轉(zhuǎn)變中能起到重要的作用。如上，憑借直觀的圖解，學生對抽象的“平均分”問題有了真實的、可觸摸的理解。

二、圖解數(shù)學讓“小老師”的分析絲絲入扣

直覺是指在經(jīng)驗和已有知識的基礎上，不經(jīng)過邏輯推理而直接迅速地認知事物的思維活動。在數(shù)學學習過程中，學生很容易用“直覺”判斷一個結(jié)論是否正確，習慣于遵從“直覺思維”模式，不太愿意對數(shù)學問題做理性分析。之所以出現(xiàn)這種情況，是因為“直覺”也會在很多時候讓學生做出正確的判斷，這固化了學生的“直覺規(guī)律”，相應的也導致學生發(fā)生一些常見的錯誤。教師要尋求一種方式讓學生養(yǎng)成一種良好的習慣，即在自己沒有完整思考的情況下，不輕信、不盲從“直覺”的答案?！皥D解數(shù)學”就是一種可用的方式。“圖示”作為一種特有的數(shù)學語言，既可以解釋概念，也可以對解題策略進行分析，一定程度上能幫助學生克服錯誤的直覺反應，讓問題的分析過程和推理過程更有深度。

例如蘇教版五年級上冊“小數(shù)的再認識”的教學，教師要幫助學生真正理解小數(shù)，感知小數(shù)的記數(shù)是“位值記數(shù)法”的拓展，小數(shù)是遵循整數(shù)記數(shù)規(guī)律的一種新的數(shù)。但是，如果只是簡單地進行十進分數(shù)與小數(shù)的互化，“小老師”恐怕自己都未必明白[72100]為何等于0.72，只是憑直覺說出7分米2厘米=[72100]米=0.72米，這不是思考的結(jié)果，而是依照教師之前給出的情景，“套路”出的答案。那[721000]寫成三位小數(shù)，是 0.072還是0.720呢？為了幫助“小老師”進行理性分析，教師可為學生創(chuàng)造“圖解數(shù)學”的經(jīng)歷：用米尺測量出張老師的身高，并用小數(shù)表示出來，也可用其他圖示解釋你的思路（如圖2）。有了“圖解”的經(jīng)歷，“小老師”的分析便能入“理”三分：“我是這樣想的，10米平均分成10份，每份就是1米，1米平均分成10份，每份就是0.1米，7個0.1米就是0.7米;接著往后分，這里有點小，看不出來了，但我們可以想象，0.1米再分就是0.01米，因為它們都是10份、10份地分下去的，這里大約是2個0.01米，全部合起來就是1.72米?！保ㄈ鐖D3）“我覺得1米平均分成10份，1份就是[110]米，也是0.1米，0.1就是1的[110]，7個0.1米就是0.7米;再往后把0.1平均分成10份，其實就是把1米平均分成100份，每份是[1100]米，也就是0.01米，[1100]就是0.01，2個0.01米就是0.02米。我覺得好像還多了一半，這里分不下了，我把它畫在右邊。我們可以想象一下，0.01接著平均分，每份應該是0.001米，我感覺在中間，就算5份吧，那就是0.005米，合起來就是1.725米。這里的0.1，0.01，0.001之間都是10倍、10倍的關系，和[110]，[1100]，[11000]，還有整數(shù)的1000，100，10，1之間的關系都是一樣的?！保ㄈ鐖D4）

“圖解”過程中，“小老師”的思考路徑清晰可見，能借助平均分的操作，把尚未正式學習的小數(shù)單位解釋得不那么抽象了。因為學生很巧妙地把小數(shù)這種計數(shù)方式和整數(shù)進行了有效的溝通，10份、10份地逐次分下去，也就從左往右逐次排列下去，成為0.1，0.01，0.001。再結(jié)合十進分數(shù)的結(jié)構來解釋小數(shù)，把整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)進行了聯(lián)系，實現(xiàn)了零散知識體系化。當圖示中0.01平均分成10份時，學生沒辦法畫了，但能根據(jù)相應的原理進行想象，推理出接下來分的過程和結(jié)果，可見學生的分析已經(jīng)突破“直覺”，較好地彌補了文字描述無法在大腦中呈現(xiàn)清晰圖像的缺陷，很大程度上提升了“小老師”講解的效果。

三、“圖解數(shù)學”讓小老師的反思有據(jù)可依

維果茨基說過，人所特有的心理過程都是由語言、標志和符號這樣的心理工具充當中介的，這種以符號系統(tǒng)為中介的高級心理機能需要由外部集體活動內(nèi)化而成。也就是說，學生最初是有自己的想法的，這些想法可能對、可能錯，也有可能是“半對半錯”，不足以實現(xiàn)從知識的理解到策略的形成。策略的形成需要經(jīng)歷一個過程，在這個過程中需要自我的反思和與同伴的交流。學生參加小組或全班的學習活動，須借助各種符號展開交流，以幫助學生實現(xiàn)自我完善。

例如在“平均數(shù)”問題的教學中，小學階段較為常見的算術平均數(shù)的計算，就是兩個數(shù)的算術平均數(shù)[a+b2]，n個數(shù)的算術平均數(shù)[a1+a2+a3+ann]。受到算術平均數(shù)算法的影響，在“用單價10元的牛奶8千克和單價5元的果汁2千克，混合成牛奶果汁，每千克應該以什么價格出售？”這類加權平均數(shù)的問題中，一位“小老師”振振有詞地表達了自己的觀點：這里是求價格的平均數(shù)，所以只要找到價格10元和5元就可以了，（10+5）÷2=7.5元，應該以7.5元的價格出售。對于這樣的講解，學生中漸有唏噓聲，很顯然，原來僅8千克牛奶就要80元，現(xiàn)在加上果汁才75元，一定有問題?？墒?，問題出在哪里？算術平均數(shù)的算法根深蒂固地纏繞著學生的思維，學生必須借助圖解，把整個思路重新梳理，才能“破繭成蝶”。于是，教師引導學生反思：結(jié)合平均數(shù)學習的過程，畫出10千克果汁牛奶的價格如何平均。有“小老師”從平均數(shù)最初學習時用到的“移多補少”中受到啟發(fā)，給出了如圖5的解釋，這給其他同學一個啟發(fā)：原來這里不是1個10元和1個5元平均，而是8個10元和2個5元在平均。其他的同學也逐漸打開思路，給出了如圖6的解釋，這為平均數(shù)的計算過程（10×8+5×2）÷10做了很好的直觀詮釋。借助思考路徑的圖解過程，“小老師”終于意識到最初的“振振有詞”是欠缺考慮的，并真正接受和理解了加權平均數(shù)與算術平均數(shù)的“異”與“同”。

“小老師”登上舞臺，借助“圖解數(shù)學”，用直觀的圖形顯化思維，在合作交流中用精準的語言闡述思考過程，能發(fā)展學生的數(shù)學思維，提升學生的數(shù)學能力。

參考文獻：

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（南京師范大學蘇州實驗學校 ? 215131）