北斗MEO/IGSO衛(wèi)星信號(hào)成像的多星點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)分析及應(yīng)用

余瑞浩, 嚴(yán)頌華,2*

(1.武漢大學(xué)電子信息學(xué)院，武漢 430072；2.武漢大學(xué)宇航科學(xué)與技術(shù)研究院，武漢 430072)

利用導(dǎo)航衛(wèi)星作為信號(hào)源進(jìn)行雙基地合成孔徑成像是近年來(lái)遙感領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)[1-5]。這種技術(shù)具有以下優(yōu)點(diǎn)：①衛(wèi)星信號(hào)作為發(fā)射源，只需要在地面放置接收機(jī)即可，節(jié)約設(shè)備成本；②衛(wèi)星提供全天候的服務(wù)，可以對(duì)成像區(qū)域進(jìn)行長(zhǎng)時(shí)間的檢測(cè)；③衛(wèi)星分布廣泛，可以對(duì)不同衛(wèi)星的成像圖進(jìn)行圖像融合來(lái)獲得更高的分辨率。

利用導(dǎo)航衛(wèi)星成像面臨的重要問(wèn)題之一是成像分辨率，這是因?yàn)閷?dǎo)航衛(wèi)星畢竟不是專門(mén)為雷達(dá)成像而設(shè)計(jì)的，其距離向和方位向分辨率受限于衛(wèi)星信號(hào)的帶寬、積分時(shí)間以及成像拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)等因素。對(duì)于成像分辨率，中外研究者做了積極地探索。Zeng等[6]推導(dǎo)了雙基地點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的公式，并給出了合成孔徑雷達(dá)成像的空間分辨率計(jì)算公式； Vu等[7]推導(dǎo)了側(cè)視雙基地合成孔徑雷達(dá)的地面分辨率和交叉距離分辨率的方程。

點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)(point spread function，PSF)是衡量成像分辨率的重要指標(biāo)，目前針對(duì)北斗MEO/IGSO導(dǎo)航衛(wèi)星信號(hào)成像的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)分析的研究鮮見(jiàn)報(bào)道，更缺乏對(duì)多星點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)(multi-satellite point spread function，MPSF)的分析。而實(shí)際上，對(duì)雙基地點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)和多星點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的詳細(xì)分析，可以得到使用導(dǎo)航衛(wèi)星成像的距離向分辨率、方位向分辨率和分辨率單元面積等重要的分辨率參數(shù)，對(duì)于成像的軌道規(guī)劃、多星的成像融合和成像中偽像的識(shí)別都有意義。同時(shí)，多星點(diǎn)擴(kuò)散可以應(yīng)用于成像結(jié)果中偽像的分離，對(duì)于改善成像質(zhì)量，促進(jìn)基于北斗信號(hào)的遙感應(yīng)用具有重要意義，而目前中國(guó)在這一方向上的研究還不成熟。

首先介紹了全球?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng)(global navigation satellite system,GNSS)成像的雙基地點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)給出其具體的計(jì)算流程，通過(guò)對(duì)多個(gè)單星雙基地點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)進(jìn)行非相干累加推導(dǎo)出多星點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)，并通過(guò)現(xiàn)場(chǎng)實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證單星點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)和多星點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)實(shí)現(xiàn)的正確性，然后將多星點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)應(yīng)用于目標(biāo)分離算法，最后給出結(jié)論和展望。

1 點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)

GNSS雙基地合成孔徑雷達(dá)成像最重要的指標(biāo)就是空間分辨率，包括距離向分辨率和方位向分辨率。點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)可以用來(lái)表述衛(wèi)星成像結(jié)果的空間分辨率。

1.1 GNSS雙基地點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的概念

圖1所示為北斗MEO/IGSO導(dǎo)航衛(wèi)星信號(hào)成像的拓?fù)鋱D。

圖示xoy平面上被劃分為網(wǎng)格的矩形為目標(biāo)成像區(qū)域，信號(hào)由北斗衛(wèi)星發(fā)射，經(jīng)由目標(biāo)反射后使用地面靜止接收機(jī)接收其反射信號(hào)，合成孔徑由一段時(shí)間內(nèi)的衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)所形成。實(shí)驗(yàn)中使用雙通道接收機(jī)，如圖1所示，直達(dá)天線指向天空，用以采集直達(dá)信號(hào)數(shù)據(jù)；反射天線采用定制的左旋天線，指向?qū)嶒?yàn)成像區(qū)域，用于接收較弱的反射GNSS信號(hào)。

在GNSS成像中，點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)主要表現(xiàn)在兩個(gè)方向，即距離維函數(shù)和方向維函數(shù)，分別用p(·)和m(·)表示，前者是測(cè)距信號(hào)距離向壓縮后的結(jié)果，近似為三角函數(shù)，而后者是接收信號(hào)幅度響應(yīng)歸一化后的傅里葉逆變換，即方位向壓縮的結(jié)果，當(dāng)成像積分時(shí)間足夠長(zhǎng)時(shí)可以近似等于sinc (·)函數(shù)。點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)可以用式(1)來(lái)表示[6]：

(1)

式(1)中：TB為成像區(qū)域內(nèi)目標(biāo)點(diǎn)TA附近的任意一點(diǎn)；β為雙基地角；ωE為等效移動(dòng)角速度；c為光速；λ為導(dǎo)航信號(hào)波長(zhǎng)。

1.2 雙基地點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的仿真

為了和后文成像驗(yàn)證的一致性，仿真采用的衛(wèi)星位置、速度、接收機(jī)位置和成像區(qū)域與成像實(shí)驗(yàn)一致。使用北斗7號(hào)星(記為C07)作為信號(hào)源，北斗7號(hào)星屬于MEO/IGSO衛(wèi)星，時(shí)間選取的是2018年4月17日9：05開(kāi)始的數(shù)據(jù)。則雙基地點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的仿真步驟如下：

1.2.1 位置擬合獲取

采用NASA發(fā)布的sp3精密星歷(ftp://cddis.gsfc.nasa.gov/pub/gps/products/ mgex/)來(lái)計(jì)算不同時(shí)刻衛(wèi)星位置和速度。由于精密星歷每5 min更新一次數(shù)據(jù)，因此采用曲線擬合和內(nèi)插的方法來(lái)獲得每1 ms的數(shù)據(jù)。圖2(a)所示為C07的x坐標(biāo)擬合的結(jié)果，藍(lán)色的點(diǎn)即288個(gè)實(shí)際坐標(biāo)，紅色曲線即為擬合曲線。類似的，圖2(b)、圖2(c)分別為衛(wèi)星y坐標(biāo)和z坐標(biāo)的擬合結(jié)果。這樣可以得到在這段時(shí)間不同時(shí)刻的衛(wèi)星坐標(biāo)及相應(yīng)的速度矢量。

圖2 擬合后衛(wèi)星坐標(biāo)圖

1.2.2 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

由于美國(guó)國(guó)家航空航天局(NASA)發(fā)布的星歷坐標(biāo)框架是地固坐標(biāo)系(ECEF)，該坐標(biāo)系是以地球球心為參考原點(diǎn)，而實(shí)驗(yàn)成像實(shí)驗(yàn)的原點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)置于武漢大學(xué)信息學(xué)部星湖園教職工宿舍樓頂(30°31′59.72″N，114°21′11.35″E，高49 m)，即站心坐標(biāo)系(ENU)，因此需進(jìn)行從ECEF坐標(biāo)系到ENU坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換。

1.2.3 點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)計(jì)算

設(shè)成像區(qū)域?yàn)槌上裨c(diǎn)前方500 m×500 m(東西向-249～250 m，南北向1～500 m)，假設(shè)目標(biāo)位于坐標(biāo)(0,250,0)處，積分時(shí)間為300 s。根據(jù)式(1)可仿真得到目標(biāo)點(diǎn)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)投影到地平面的圖像，如圖3所示。

圖3 C07仿真的雙基地PSF圖

由圖3可知，點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)投影至xoy平面后類似于一個(gè)橢圓，稱為分辨率橢圓。其各個(gè)分辨率如下(分辨率推導(dǎo)過(guò)程見(jiàn)文獻(xiàn)[8-9])：沿分辨率橢圓長(zhǎng)軸方向的-3 dB帶寬對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)軸分辨率δmax約為41.86 m；沿分辨率橢圓短軸方向的-3 dB帶寬對(duì)應(yīng)的短軸分辨率δmin約為8.74 m，距離向分辨率δr約為19.27 m，方位向分辨率δa為11.47 m，投影到地面的距離分辨率δrg約為25.49 m，投影到地面的方位向分辨率δag約為11.51 m，分辨率橢圓的面積Sground為350.76 m2。

1.3 多星點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)

北斗導(dǎo)航衛(wèi)星系統(tǒng)含有多顆IGSO/MEO衛(wèi)星?？梢酝ㄟ^(guò)對(duì)多個(gè)雙基地點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)進(jìn)行非相干疊加，推導(dǎo)出多星點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的公式。

按照1.2節(jié)的步驟，選擇C08和C12作為信號(hào)源，根據(jù)式(1)計(jì)算得到仿真PSF圖(圖4)。

圖4 雙基地PSF仿真圖

由圖4可知，在使用固定的接收機(jī)的情況下，衛(wèi)星位置和速度不同會(huì)形成不同的分辨率橢圓。其原因在于：不同的雙基地拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)會(huì)有不同的雙基地角，從而有不同的p(·)函數(shù)；衛(wèi)星位置、運(yùn)行速度和軌跡上不一致，會(huì)產(chǎn)生不同的m(·)函數(shù)。

同時(shí)可知，這兩個(gè)衛(wèi)星的分辨率橢圓在方向上也不同，若記分辨率橢圓長(zhǎng)軸方向與x軸正半軸的夾角為ε，對(duì)于C08的仿真結(jié)果，ε為15.1°，而對(duì)于C12，ε為154.4°。若選擇在方向上有一定區(qū)別的分辨率橢圓，通過(guò)對(duì)其相應(yīng)的雙基地點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)進(jìn)行非相干累加，可以達(dá)到改善距離向分辨率和分辨率單元面積的效果?；谏鲜隼碚?，MPSF可計(jì)算如下：

(2)

式(2)中：N表示拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的個(gè)數(shù)，N≥2；xi(·)為第i顆衛(wèi)星作為信號(hào)源的雙基地點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)。

將1.3節(jié)得到的C08的雙基地點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)和C12的雙基地點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)進(jìn)行非相干累加，可以得到多星點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)投影到地平面的圖像(圖5)。

圖5 多星點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)仿真圖

如圖5所示，多星點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的分辨率橢圓即為兩個(gè)雙基地點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)分辨率橢圓交叉重疊的部分(圖5中圈出的紅色亮點(diǎn)處)。其長(zhǎng)軸分辨率δmax、短軸分辨率δmin和分辨率單元面積Sground等參數(shù)也是針對(duì)交叉重疊的部分進(jìn)行計(jì)算的。對(duì)比N=2的多星點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)(C08+C12)和雙基地點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)(C08和C12)在分辨率上的表現(xiàn)如表1所示。

表1 分辨率結(jié)果

由表1可知，經(jīng)過(guò)非相干累加后的多星擴(kuò)散函數(shù)相較于單星雙基地點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)而言，具有以下特點(diǎn)：①在短軸分辨率保持較好；②具有更好的長(zhǎng)軸分辨率，如C08+C12是C08的24.52%，是C12的58.80%；③分辨率單元面積大大減小，如C08+C12是C08的46.47%，是C12的31.61%。

結(jié)果表明，適當(dāng)選擇衛(wèi)星的位置和軌道，可以獲得分辨率較好的圖像，同時(shí)選擇合適的圖像進(jìn)行非相干累加，成像結(jié)果在分辨率上有顯著的提高。

2 點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的驗(yàn)證

為了驗(yàn)證前述點(diǎn)擴(kuò)散的正確性，使用后向投影(back-projection, BP)算法[10]對(duì)具體實(shí)驗(yàn)場(chǎng)景進(jìn)行導(dǎo)航衛(wèi)星成像，并對(duì)成像場(chǎng)景中獨(dú)立的點(diǎn)目標(biāo)進(jìn)行點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)仿真，對(duì)比實(shí)驗(yàn)成像結(jié)果和仿真的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)在大小和方向上的一致性。

2.1 北斗MEO/IGSO成像

BP 算法是一種常用的基于時(shí)域處理的成像算法，使用北斗MEO/IGSO作為信號(hào)源成像的基本流程如圖6所示。

按照?qǐng)D6的步驟，對(duì)采集到的中頻數(shù)據(jù)和下載的星歷進(jìn)行相應(yīng)處理，即可得到BP成像結(jié)果。

圖6 北斗MEO/IGSO成像流程

實(shí)驗(yàn)成像區(qū)域的衛(wèi)星圖像如圖7(a)所示，為接收裝置正前方500 m×500 m區(qū)域；接收天線裝置如圖7(b)所示。直達(dá)天線通過(guò)支架支撐，用以接收衛(wèi)星的直達(dá)信號(hào)，反射天線固定于欄桿邊緣，指向正北方向，用于接收衛(wèi)星照射地面的反射信號(hào)。

圖7 實(shí)驗(yàn)場(chǎng)景

成像實(shí)驗(yàn)時(shí)間為北京時(shí)間17:05，接收機(jī)一共采集了450 s的數(shù)據(jù)。將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行BP成像得到C08成像圖和C12成像圖分別如圖8(a)、圖8(b)所示。將C08和C12成像圖進(jìn)行非相干累加得到的多星成像圖如圖8(c)所示。

2.2 點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)與成像結(jié)果比對(duì)

在圖7(a)成像場(chǎng)景中觀察到成像區(qū)域有一個(gè)比較明顯的獨(dú)立目標(biāo)位于坐標(biāo)(45,405,0)處，即圈出的區(qū)域?yàn)槲錆h大學(xué)振華樓。取C08成像圖、C12成像圖及C08和C12共同作用的多星成像圖(x軸方向?yàn)?249～250 m，y軸方向?yàn)?50～500 m)和仿真的PSF/MPSF圖對(duì)比如圖8所示。由圖8可以得出以下結(jié)論。

(1)C08和C12在振華樓的實(shí)際成像結(jié)果與圖仿真得到的PSF圖在方向上有較好的一致性(前者方向角ε分別為15.2°和15.1°，后者方向角ε分別為153.5°和153.5°)。

(2)C08在振華樓的實(shí)際成像結(jié)果中分辨率單元面積大于仿真得到的PSF圖的分辨率單元面積，同時(shí)實(shí)際成像結(jié)果也包含了仿真的PSF圖區(qū)域，這是由于振華樓面積較大，相當(dāng)于多個(gè)點(diǎn)目標(biāo)的集合，其成像結(jié)果表現(xiàn)為多個(gè)PSF的累加。同理，C12從另一個(gè)方向入射，其實(shí)際成像結(jié)果呈現(xiàn)多個(gè)平行的橢圓，但單獨(dú)一個(gè)分辨率橢圓在面積上基本上與仿真的PSF圖基本一致。

圖8 實(shí)際成像結(jié)果與點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)對(duì)比

(3)對(duì)比圖8(c)、圖8(f)可知，多星實(shí)際成像結(jié)果的分辨率單元在形狀和面積上與仿真MPSF圖基本一致。結(jié)果表明仿真的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)和實(shí)際成像結(jié)果基本一致，驗(yàn)證了本文算法的正確性。

2.3 多星成像帶來(lái)的偽像問(wèn)題

為了提高成像分辨率，就需要使用多星成像，但是也帶來(lái)了偽像問(wèn)題。使用點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)來(lái)闡述這一問(wèn)題。

現(xiàn)對(duì)兩個(gè)相近目標(biāo)點(diǎn)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)進(jìn)行仿真，仿真區(qū)域?yàn)?400 m×400 m。這兩個(gè)目標(biāo)的位置分別為(185,185,0)和(200,200,0)，仿真結(jié)果如圖9(a)、圖9(b)所示，然后采用1.3節(jié)的方法將生成的兩組結(jié)果進(jìn)行非相干累加得到如圖9(c)所示。

圖9 多目標(biāo)雙基地點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)和多星點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)仿真圖

由圖9(c)可知，設(shè)定的正確目標(biāo)點(diǎn)只有兩個(gè)，但是由于目標(biāo)點(diǎn)相距較近，兩組PSF圖相互交叉重疊，產(chǎn)生了4個(gè)亮點(diǎn)，其中兩個(gè)為真實(shí)目標(biāo)，其他兩個(gè)亮點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(146,182,0)和(224,188,0)，均為偽像。若目標(biāo)更多時(shí)，臨近目標(biāo)之間交叉重疊的部分更多，產(chǎn)生的虛假目標(biāo)點(diǎn)也就越多。

3 基于多星點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的目標(biāo)分離算法

由2.3節(jié)可知，使用多星成像在提高分辨率的同時(shí)也帶來(lái)了偽像問(wèn)題。針對(duì)這一問(wèn)題，可以將多星點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)應(yīng)用于多目標(biāo)分離算法，從而改善多星成像中的偽像問(wèn)題。

3.1 目標(biāo)分離算法流程

目標(biāo)分離算法的過(guò)程是對(duì)目標(biāo)點(diǎn)進(jìn)行幅度和位置的估計(jì)，然后依次進(jìn)行目標(biāo)剔除。使用的估計(jì)方法是最小二乘法估計(jì)[11]，待估計(jì)量包括N顆衛(wèi)星的雙基地點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)取模后的幅度A1,A2,…,AN，目標(biāo)的橫坐標(biāo)e和縱坐標(biāo)n。對(duì)于第k個(gè)目標(biāo)點(diǎn)的估計(jì)值可記為向量Ek=(A1k,A2k,…,ANk,ek,nk)。目標(biāo)分離是一個(gè)逐步迭代的過(guò)程，具體步驟如下。

(1)輸入多星成像圖Icur，首先找到該圖中取模后幅度最大的點(diǎn)，其幅度記為Amax，其坐標(biāo)位置記為(e0,n0)，則估計(jì)算法的初始值E0可以設(shè)為

(3)

(4)

式(4)中：xi(·)表示第i顆衛(wèi)星作為信號(hào)源的雙基地點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)。

(4)重復(fù)以上過(guò)程直到成像圖中所有目標(biāo)都被提取出來(lái)，結(jié)束迭代過(guò)程。

根據(jù)目標(biāo)分離的處理步驟，可得到目標(biāo)分離算法的流程圖(圖10)。

圖10 目標(biāo)分離算法流程圖

3.2 目標(biāo)分離算法仿真

針對(duì)2.3節(jié)中所示多目標(biāo)MPSF圖中存在偽像的情況，可以通過(guò)目標(biāo)分離算法進(jìn)行處理。經(jīng)過(guò)第一輪迭代，估算出第一個(gè)目標(biāo)位置在 (198.9,199.6,0)處，減去其多基地點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)，即分離出第一個(gè)目標(biāo)之后結(jié)果如圖11所示。

圖11 分離第一個(gè)目標(biāo)后的結(jié)果

由圖11中可知，盡管估計(jì)出的第一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)的位置和實(shí)際位置之間存在誤差，但是誤差距離較小，同時(shí)當(dāng)分離出一個(gè)目標(biāo)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)后，可以清晰地看到成像區(qū)域中只剩下一個(gè)目標(biāo)，且其坐標(biāo)為(185,185,0)，為真實(shí)目標(biāo)。

仿真結(jié)果表明，基于多星點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的目標(biāo)分離算法能夠以較高的精度提取雙基地情況下的散射中心，并且能夠較好地改善多星成像中存在的偽像問(wèn)題。

4 結(jié)論

雖然通過(guò)闡述北斗MEO/IGSO雙基地點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)和多星點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的計(jì)算過(guò)程，現(xiàn)場(chǎng)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了算法流程的正確性；基于多星點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)，引入目標(biāo)分離的算法，改善了多星成像中存在偽像的問(wèn)題，并實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了目標(biāo)分離算法的可行性。但是該方法目前還處于仿真階段，存在幅度估計(jì)不準(zhǔn)確等問(wèn)題。今后工作將對(duì)目標(biāo)分離的方法進(jìn)行改善，使其適用于實(shí)際多星成像結(jié)果，進(jìn)一步提高成像結(jié)果的精確度。