一類亞循環(huán)2-群自同構(gòu)群的階及機器實現(xiàn)

楊艷

(湖北文理學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，湖北 襄陽 441053)

0 引言

關(guān)于亞循環(huán)群的研究，在分類和性質(zhì)方面，從奇階亞循環(huán)p-群到亞循環(huán)2-群，再到一般的亞循環(huán)群以及無限亞循環(huán)群，前人都做了很多研究.亞循環(huán)p-群的完全分類是Bruce W.King[1]給出的，接著Hyo-Seob Sim[2]做出了推進性工作，給出了奇階亞循環(huán)群的標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式及其性質(zhì)，這里的標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式指的是亞循環(huán)群中滿足特定條件的生成元給出的生成表達(dá)式，2000年，C.E.Hempel[3]對亞循環(huán)群的分類做出了全面的總結(jié).

關(guān)于亞循環(huán)群的自同構(gòu)群，學(xué)者們通過對群的標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式、群的內(nèi)在結(jié)構(gòu)以及群的階的研究，給出了一些好的結(jié)果.分裂的亞循環(huán)群方面，分裂奇階亞循環(huán)p-群的自同構(gòu)群、分裂亞循環(huán)2-群的自同構(gòu)群、分裂亞循環(huán)群的自同構(gòu)群均已給出[4-7].在非分裂的亞循環(huán)群方面，目前只得到了奇階p-群的自同構(gòu)群、一些有特殊性質(zhì)的亞循環(huán)群的自同構(gòu)群及無限亞循環(huán)群的自同構(gòu)群等[8-10]，而偶階的亞循環(huán)群雖然有一些結(jié)構(gòu)上的研究，但其自同構(gòu)群仍然未能構(gòu)造出來.

作者在研究亞循環(huán)群的分裂性時[11]，發(fā)現(xiàn)很多情況下，分裂亞循環(huán)群是以非分裂的形式給出來的，即其亞循環(huán)表示可能是非分裂形式的，從而限制了求解其自同構(gòu)群.此外，在文獻(xiàn)[11]中，我們通過機械計算的方法，根據(jù)亞循環(huán)群及其子群的階給出了一個亞循環(huán)群分裂的條件.因此本研究沿用以上方法求解亞循環(huán)2-群的自同構(gòu)群，從亞循環(huán)2-群的亞循環(huán)表示出發(fā)(非標(biāo)準(zhǔn)表示)，通過生成元的構(gòu)造關(guān)系，機械地對其自同構(gòu)群的階進行計算.其特點有二，一是對所給亞循環(huán)表示不做限定，即不需要標(biāo)準(zhǔn)的表示，從而使結(jié)果有更廣泛的適用性；二是機械式的構(gòu)造方法能用計算機編程實現(xiàn)，降低了應(yīng)用方面的門檻，也為后續(xù)計算其自同構(gòu)群的結(jié)構(gòu)提供了思路和機械驗證的可能性.

1 研究對象與方法

1.1 研究對象

定義1.1若G是一個群，且存在一個正規(guī)的循環(huán)子群K使得G/K是一個循環(huán)群，則稱群G是一個亞循環(huán)群.

定理1.2有限亞循環(huán)2-群有如下兩種表示[1]：

1)G=〈a,b|a2l=b2h,b2m=1,ba=b1+2k〉，其中l(wèi)≥h,m-h≤k,k>1；

2)G=〈a,b|a2l=b2h,b2m=1,ba=b-1+2k〉，其中k+l≥m,k>1，m-1≤h≤m,m>2.

論文的主要研究對象是定理1.2中的第一類亞循環(huán)2-群.對于所給的亞循環(huán)2-群的生成表示(不一定是標(biāo)準(zhǔn)表示)，計算亞循環(huán)p-群的自同構(gòu)群的階時，根據(jù)所給表示的不同分為四類進行，計算方法是基本的.我們將給出|Aut(G)|,|Aut(G:K)|,|Aut(G:S)|及|Aut(G:S)∩Aut(G:K)|.

1.2 研究方法論文中的研究方法為兩種，即理論研究和機器研究.

理論研究主要依據(jù)兩個關(guān)系(aibj)2h=(arbs)2l，(aibj)1+2k=(aibj)arbs,得出i,r,s,j的取值范圍及其之間的關(guān)系.從而得到有限亞循環(huán)2-群的自同構(gòu)群的階的計算公式.

機器研究是根據(jù)理論研究的相關(guān)數(shù)據(jù)，將計算過程程序化，其主要研究工具是C語言.

2 主要結(jié)論

2.1 亞循環(huán)2-群的自同構(gòu)群的階

引理2.1設(shè)G?G1=〈a,b|a2l=b2h,b2m=1,ba=b1+2k〉，其中l(wèi)≥h,m-h≤k,m>k>1，φ是G上的映射，其中φ(atbn)=(arbs)t(aibj)n,?atbn∈G,r,s,i,j∈Z，則φ為G的自同態(tài)當(dāng)且僅當(dāng)以下條件成立，

1)2max(l-k,l-h)|i;

2)2max(h-k,0)|j(r-1)；

引理2.1的證明(必要性)φ為G的自同態(tài)，則由G′=〈b2k〉可知φ(b2k)=(aibj)2k∈〈b2k〉，即(aibj)2k=ai2kbj(1+2k)i+…+(1+2k)i2k∈〈b2k〉，于是2max(l,l-h+k)|i2k，條件1)成立.

由φ(ba)=φ(b1+2k)=(aibj)1+2k=φ(b)φ(a)=(aibj)arbs可知，

于是

則條件2)和3)成立.

(充分性)若φ滿足3個條件，則φ(b)φ(a)=φ(b)1+2k，即φ(b)φ(a)=φ(a)φ(b)1+2k，于是φ是同態(tài).

引理2.2設(shè)G?G1=〈a,b|a2l=b2h,b2m=1,ba=b1+2k〉，其中l(wèi)≥h,m-h≤k,m>k>1，φ是G上的同態(tài)，其中φ(atbn)=(arbs)t(aibj)n，?atbn∈G,r,s,i,j∈Z，則φ為G的自同構(gòu)當(dāng)且僅當(dāng)以下條件成立，

1)(i12max(h-k,0)+j,2)=1，(r-1,s)=2，(j-1,s)=2;

2)2m-h|r+s2l-h(1+r2k-1)-(i12max(h-k,0)+j)-i12max(l-1,l-h+k-1).

引理2.2的證明(必要性)φ為G的自同構(gòu)，則有|φ(b)|=2m和|φ(a)|=2m-h+l=expG，同時由

(aibj)2m-1=ai2m-1bj(2m-1+i2m+k-2)=a2m-1(i+j2l-h)=a2m+l-h-1(i12max(0,h-k)+j)≠1.

則可得條件1).

同時由φ為G的自同構(gòu)亦可知

即

r2h+s(2l+r2k+l-1)-i12max(2h-k,h)-j(2h+i2k+h-1)≡

2h(r+s2l-h(1+r2k-1)-i12max(h-k,0)-j(1+i12max(l-1,l-h+k-1))(mod2m)≡2h(r+s2l-h(1+r2k-1)-(i12max(h-k,0)+j)-i12max(l-1,l-h+k-1)(mod2m)≡0(mod2m)

得到條件2).

(充分性)由條件1)可得

(aibj)2m-1=ai2m-1bj(2m-1+i2m+k-2)=a2m-1(i+j2l-h)=a2m+l-h-1(i12max(0,h-k)+j)≠1.

即|φ(b)|=2m.

由φ(a2l)=φ(b2h)知(arbs)2l=(aibj)2h，即若存在t∈Z且t≤m，使得(arbs)2l-1=(aibj)2t，則ar2l-1-i2t∈〈b〉，同時t≤h且2m|2t+1-2h，于是h-1≤t≤h，且只有當(dāng)h=m時，才有t=h.

我們將分情況進行討論.若(j,2)=1，則由引理2.1的條件2)知2max(h-k,0)|r-1，設(shè)r=r12h-k+1，可得

r2l-1-i2t≡r12max(h-k,0)+l-1+2l-1-i12max(l-k,l-h)+t(mod2l)≡r12max(l+h-k-1,l-1)+2l-1-i12max(l+h-k-1+t-h+1,l-1+t-h+1)(mod2l)≡2max(l+h-k-1,l-1)(r1-i12t-h+1)+2l-1(mod2l)≡2l-1(2max(h-k,0)(r1-i12t-h+1)+1)(mod2l),

則當(dāng)t=h-1時，由條件2)知(2max(h-k,0)(r1-i1)+1,2)=1.當(dāng)t=h=m>k時，亦有(2max(h-k,0)(r1-i1)+1,2)=1，于是(arbs)2l-1?〈aibj〉，即|φ(G)|=l+m,φ為自同構(gòu).

若(j,2)=2，則由條件1)可知(i,2)=1及(s,2)=1，且此時定有l(wèi)=h.若(i,2)=1，由引理2.1的條件1)可知l=h=k

r2l-1-i2t≡i2t(mod2l)≡i2l-1(mod2l),

即(arbs)2l-1?〈aibj〉，即|φ(G)|=l+m,φ為自同構(gòu).

定理2.3設(shè)G?G1=〈a,b|a2l=b2h,b2m=1,ba=b1+2k〉，其中l(wèi)≥h,m-h≤k,m>k>1，則

1)在l>h>k時，

① 若h

|Aut(G)|=2l+2k+h,|Aut(G:K)|=2l+k+h,

|Aut(G:S)|=2l+2k,|Aut(G:S)∩Aut(G:K)|=2l+k.

② 若h=m，可得：|Aut(G)|=2l+2k+m-1,|Aut(G:K)|=2l+k+m-1,

|Aut(G:S)|=2l+2k-1，|Aut(G:S)∩Aut(G:K)|=2l+k-1.

2)在l=h>k時，

① 若h

|Aut(G)|=2l+2k+h-1,|Aut(G:K)|=2l+k+h-1,

|Aut(G:S)|=2l+2k，|Aut(G:S)∩Aut(G:K)|=2l+k.

② 若h=m，可得：

|Aut(G)|=2l+2k+m-1,|Aut(G:K)|=2l+k+m-1,

|Aut(G:S)|=2l+2k-1，|Aut(G:S)∩Aut(G:K)|=2l+k-1.

3)在l>h，h≤k時，

① 若k

|Aut(G)|=2l+2h+k-1,|Aut(G:K)|=2l+k+h,

|Aut(G:S)|=2l+k+h-1，|Aut(G:S)∩Aut(G:K)|=2l+k.

② 若k=m>h(即：G是交換群)，可得：

|Aut(G)|=2l+2h+m-2,|Aut(G:K)|=2l+m+h-1,

|Aut(G:S)|=2l+m+h-2，|Aut(G:S)∩Aut(G:K)|=2l+m-1.

③ 若h=k=m，可得：

|Aut(G)|=2l+3m-2,|Aut(G:K)|=2l+2m-2,

|Aut(G:S)|=2l+2m-2，|Aut(G:S)∩Aut(G:K)|=2l+m-2.

4)在l=h≤k時，

① 若k

|Aut(G)|=23l+k-1,|Aut(G:K)|=22l+k-1,

|Aut(G:S)|=22l+k-1，|Aut(G:S)∩Aut(G:K)|=2l+k;

② 若k=m>h，可得：

|Aut(G)|=23h+m-2,|Aut(G:K)|=22h+m-2,

|Aut(G:S)|=22h+m-2，|Aut(G:S)∩Aut(G:K)|=2h+m-1.

定理2.3的證明1)由引理2.2可設(shè)i=2l-ki1及r=r12h-k+1，并根據(jù)相關(guān)條件得到.

0≤i1<2k，i=2l-ki1，0

r1=i1(mod2m-h)；0≤s<2h，0

s·2l-h=j-1(mod2m-h).

得證.

2)若l=h>k且l+k>m，與1)類似，我們有

0≤i1<2k，i=2l-ki1；0

r1=i1(mod2m-h)；0≤s<2h，0

(r1-i1)2h-k+s=j-1(mod2m-h).

而對l=h=m-k>k，我們可得到下述關(guān)系，

0≤i1<2k，i=2l-ki1；0

r1-i1=2k-1(mod2k)；0≤s<2h，0

j-1-s=0(mod2k).

得證.

3)若l>h且h≠k，則由〈α(b)2k〉=〈b2k〉知2l-h|i，于是可令i=2l-hi1，同樣地考慮以上關(guān)系可得，

0≤i1<2k，i=2l-hi1；0

(i1+j,2)=1；0≤s<2h，0

j-1=s2l-h(mod2m-k).

得證.

4)若l=h≤k，與3)類似有

0≤i1<2k，0

r=i+j-s(mod2m-h)；(i+j,2)=1；

j-1=s(mod2m-k).

接著，我們考慮情況l+k=h+k=m.首先由

(aibj)2k=ai2kbj(1+(1+2k)i+…+(1+2k)i(2k-1))=b(i+j)2k+j(1+2k-1)

知(i+j,2)=1和2|ij.依然考慮以上兩種關(guān)系，我們有

0≤i1<2k，0

(i+j,2)=1；(r+s,2)=1；

s+1=j(mod2m-k)；i+j=r+s(mod2m-h).

得證.

2.2 機器計算我們將以上定理的證明過程，以程序的方式給出來.對任意給定的第一類亞循環(huán)2-群的表示，即給定以上定理中的l,h，m，k，程序首先會判斷所給表示是否是好的，即是否滿足定理2.3所給的條件，然后會根據(jù)l,h，m，k的各種情況，給出相應(yīng)的自同構(gòu)群的階.程序的流程圖如圖1、2所示.

圖1 主函數(shù)流程圖

圖2 run函數(shù)流程圖

3 討論

首先，我們對上節(jié)兩種計算自同構(gòu)群的階的方法進行比對，即對定理2.3的結(jié)果和通過C語言的計算結(jié)果，通過具體實例進行比對.需要注意的是定理2.3的討論中分的情況較多，我們將進行分別舉例.

由定理2.3，我們有如下例子.

1)在l>h>k時.

① 若h

例3.1若l=4,h=3,m=5，k=2;則G=〈a,b|a24=b22,b25=1,ba=b1+22〉.我們有：

|Aut(G)|=2l+2k+h=211=2 048, |Aut(G:K)|=2l+k+h=29=512,

|Aut(G:S)|=2l+2k=28=256, |Aut(G:S)∩Aut(G:K)|=2l+k=26=64.

② 若h=m.

例3.2當(dāng)l=4,h=3,m=3，k=2;則G=〈a,b|a24=b22,b23=1,ba=b1+22〉.我們有：

|Aut(G)|=2l+2k+m-1=210=1 024, |Aut(G:K)|=2l+k+m-1=28=256,

|Aut(G:S)|=2l+2k-1=27=128， |Aut(G:S)∩Aut(G:K)|=2l+k-1=25=32.

2)在l=h>k時.

① 若h

例3.3當(dāng)l=3,h=3,m=5，k=2;則G=〈a,b|a23=b23,b25=1,ba=b1+22〉.我們有：

|Aut(G)|=2l+2k+h-1=29=512, |Aut(G:K)|=2l+k+h-1=27=128,

|Aut(G:S)|=2l+2k=27=128， |Aut(G:S)∩Aut(G:K)|=2l+k=25=32.

② 若h=m.

例3.4當(dāng)l=3,h=3,m=3，k=2;則G=〈a,b|a23=b23,b23=1,ba=b1+22〉.我們有：

|Aut(G)|=2l+2k+m-1=29=512, |Aut(G:K)|=2l+k+m-1=27=128,

|Aut(G:S)|=2l+2k-1=26=64， |Aut(G:S)∩Aut(G:K)|=2l+k-1=24=16.

3)在l>h,h≤k時.

① 若k

例3.5當(dāng)l=2,h=1,m=3，k=2,;則G=〈a,b|a22=b21,b23=1,ba=b1+22〉.我們有：

|Aut(G)|=2l+2h+k-1=25=32, |Aut(G:K)|=2l+k+h=25=32,

|Aut(G:S)|=2l+k+h-1=24=16， |Aut(G:S)∩Aut(G:K)|=2l+k=24=16.

② 若k=m>h(即G是交換群).

例3.6當(dāng)l=2,h=1,m=2,k=2;則G=〈a,b|a22=b21,b22=1,ba=b1+22〉.我們有：

|Aut(G)|=2l+2h+m-2=24=16, |Aut(G:K)|=2l+m+h-1=24=16,

|Aut(G:S)|=2l+m+h-2=23=8， |Aut(G:S)∩Aut(G:K)|=2l+m-1=23=8.

③ 若h=k=m.

例3.7當(dāng)l=3,h=2,m=2,k=2;則G=〈a,b|a23=b22,b22=1,ba=b1+22〉.我們有：

|Aut(G)|=2l+3m-2=27=128, |Aut(G:K)|=2l+2m-2=25=32,

|Aut(G:S)|=2l+2m-2=25=32， |Aut(G:S)∩Aut(G:K)|=2l+m-2=23=8.

4)在l=h≤k時.

① 若k

例3.8當(dāng)l=2,h=2,m=3，k=2;則G=〈a,b|a22=b22,b23=1,ba=b1+22〉.我們有：

|Aut(G)|=23l+k-1=27=128, |Aut(G:K)|=22l+k-1=25=32,

|Aut(G:S)|=22l+k-1=25=32， |Aut(G:S)∩Aut(G:K)|=2l+k=24=16.

② 若k=m>h.

例3.9當(dāng)l=1,h=1,m=2,k=2;則G=〈a,b|a21=b21,b22=1,ba=b1+22〉.我們有：

|Aut(G)|=23h+m-1=24=16, |Aut(G:K)|=22h+m-1=23=8,

|Aut(G:S)|=22h+m-1=23=8， |Aut(G:S)∩Aut(G:K)|=2h+m-1=22=4.

計算機運行結(jié)果如圖3所示.

圖3 例3.1～例3.9程序運行結(jié)果

對例題所算結(jié)果與程序運行數(shù)據(jù)進行比對，我們發(fā)現(xiàn)結(jié)果是完全一致的.但程序運行結(jié)果更直觀，可使其他非群論工作者更清楚明了讀懂?dāng)?shù)據(jù)并應(yīng)用于實踐中.由此可知本研究意義，一是將理論研究簡化為實踐研究.群論乃至整個抽象代數(shù)學(xué)科的研究以理論研究和整體研究為主，學(xué)者們通常是以抽象和宏觀的角度來分析相應(yīng)的代數(shù)對象.譬如，對于亞循環(huán)群，學(xué)者們看待的角度是循環(huán)群被循環(huán)群的擴張，并把研究的重點放在擴張的方式上，期望依靠分析擴張的方式來得到其自同構(gòu)群.而群論被廣泛應(yīng)用于無機化學(xué)、量子力學(xué)、密碼學(xué)等領(lǐng)域，非群論專業(yè)研究者，在用到一些相關(guān)結(jié)論時，會面臨大量的定理和定義，并深受其困擾.我們研究的意義在于把這些抽象的概念簡單化，使群論真正成為一個工具.而亞循環(huán)群作為最基本的群擴張，應(yīng)是我們進行這項研究的首要研究對象.在我們的研究中，亞循環(huán)群被簡單定義為兩個滿足一定關(guān)系的生成元生成的群，這一思想在其自同構(gòu)群的研究中得到了充分的體現(xiàn)，并使機械驗證成為可能.

二是在于以亞循環(huán)群的一般表示為研究對象，顛覆了以往的以標(biāo)準(zhǔn)表示為基礎(chǔ)的亞循環(huán)群及其自同構(gòu)群的研究，其研究結(jié)果具備更廣泛的應(yīng)用性.而亞循環(huán)2-群的自同構(gòu)群是亞循環(huán)群的自同構(gòu)群的研究的難點，相關(guān)研究主要集中在分裂的情況[4-5]，涉及非分裂的情況很少.本項目將分裂的和非分裂的亞循環(huán)2-群進行統(tǒng)一研究，特別地給出了非分裂亞循環(huán)2-群的自同構(gòu)群的階，并給出一套完備的求其自同構(gòu)群階的方案，為后續(xù)的研究提供了思路和研究方向.

代數(shù)學(xué)的發(fā)展得益于計算機的興起，但大量數(shù)學(xué)軟件的開發(fā)和運用提高了進行相關(guān)學(xué)習(xí)的門檻.本研究以C語言編寫為主，具備受眾更廣、可編譯性更強、推廣便捷的特點.