一類(lèi)時(shí)標(biāo)模糊微分方程的可解性

梅倩倩，洪世煌，丁方莉

(杭州電子科技大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310018)

0 引 言

近年來(lái)，許多學(xué)者對(duì)時(shí)標(biāo)微分方程進(jìn)行了大量研究，有多值函數(shù)在時(shí)間標(biāo)架上的可微性和時(shí)標(biāo)上的集值方程與模糊方程[1-2]。其中，C.Vasavi等[2]利用Banach壓縮原理，給出了時(shí)標(biāo)模糊動(dòng)力方程解唯一的充分條件。Hong S.H.等[3]研究了一類(lèi)新的非線性脈沖集值動(dòng)力方程，即時(shí)標(biāo)上脈沖集值動(dòng)力方程，并獲得了該方程解的存在和穩(wěn)定性的一些新判據(jù)。受以上研究的啟發(fā)，本文首先定義模糊函數(shù)的廣義導(dǎo)數(shù)，然后采用文獻(xiàn)[1]中定義的集值函數(shù)的指數(shù)二分法，給出了模糊函數(shù)的相應(yīng)概念，并探討了時(shí)標(biāo)上的脈沖模糊微分方程的可解性。

1 預(yù)備知識(shí)

時(shí)間標(biāo)架T是實(shí)軸R上的一個(gè)非空閉子集，定義前躍算子σ∶T→T為：σ(t)=inf{a∈T∶a>t}，后躍算子ρ∶T→T為ρ(t)=sup{τ∈T∶τt，則稱t是右散的；如果σ(t)=t，則稱t是右稠的(rd)；如果ρ(t)

定義1設(shè)Tf為T(mén)的所有模糊子集組成的集合，如果u∈Tf滿足以下條件，即u∶T→[0,1]且

(1)u是正規(guī)的，即存在s0∈T使得u(s0)=1；

(3)u在T上是上半連續(xù)的；

則稱u為一個(gè)模糊數(shù)。

注意T?Tf。關(guān)于模糊集的更多概念見(jiàn)文獻(xiàn)[4]。

定義2設(shè)集合X,Y∈Tf。如果存在Z∈Tf，使得X=Y+Z，則稱Hukuhara差X-HY存在，且X-HY=Z。廣義差“-g”定義為

CB(E)表示度量空間(E,d)的有界閉子集全體，在CB(E)上定義Hausdorff距離[5]為

定義3[2]設(shè)函數(shù)F∶T→Tf，t∈T，如果存在G∈Tf，使對(duì)?ε>0，存在t的鄰域UT=(t-δ,t+δ)∩T,(δ>0)，當(dāng)t+h∈UT,有

其中，μ(t)=σ(t)-t，則稱F在t處廣義可導(dǎo)。并稱G是F在t處的廣義導(dǎo)數(shù)，記作G(t)=ΔgF(t)。若F在區(qū)間I?T的每一點(diǎn)處廣義可導(dǎo)，則稱F在I上廣義可導(dǎo)。

2 脈沖模糊微分方程的解

PC1=PC1[T+,Tf]={U∈BC|U在每一個(gè)區(qū)間(tk-1,tk)上廣義可導(dǎo)}

考慮脈沖模糊微分方程

(1)

用eA(t,s)Us表示以下線性齊次模糊方程

(2)

的唯一解U(t,s,Us)，其中初值s∈T+是固定的。?u,v∈T，如果T=R，則eA(u,v)=eA(u-v)；如果T=Z，且eA(u,v)=(I+A)u-v。其中I是滿足正規(guī)性的模糊函數(shù)，Z是整數(shù)集。

(3)

則稱方程(2)在時(shí)標(biāo)T上滿足指數(shù)二分法。

需要以下假設(shè)

其中τ,t∈T+。一般來(lái)說(shuō)，對(duì)于a,b∈R及U∈Tf，(a-b)U≠aU-gbU。

如果函數(shù)F(t)是Δ可微的，且滿足FΔ(t)=f(t)，那么f定義在T上的(柯西)積分如下

(4)

(5)

(6)

P1=(I-P)。

通過(guò)定義4和文獻(xiàn)[1]中的引理11可得：

(7)

(8)

(9)

(10)

假設(shè)，對(duì)任意的正常數(shù)m，tm≤t≤tm+1，憑借條件(ii)，可得

(11)

將式(11)中的2個(gè)不等式帶入式(9)和式(10)，可得

(12)

(13)

(14)

其中，tk≠t∈(t0,∞)T+。對(duì)于t∈[0,t)T+，通過(guò)文獻(xiàn)[1]中的引理12可得：

(15)

(16)

(17)

最后，在指數(shù)二分法的假設(shè)下，線性齊次模糊動(dòng)力方程ΔgU(t)=A(t)U(t)的零解在T+上是有界的唯一解[6],設(shè)U1,U2都是線性脈沖模糊動(dòng)力方程(4)的解。由式(4)的第1個(gè)方程可以推出：

ΔgU1(t)-gA(t)U1(t)=ΔgU2(t)-gA(t)U2(t)=F(t)t≠tk

(18)

3 結(jié)束語(yǔ)

本文在時(shí)標(biāo)上給出了模糊微分方程解的唯一性。在證明解的唯一性時(shí)，采用指數(shù)二分法，并借鑒一類(lèi)在時(shí)標(biāo)上的脈沖集值微分方程解的存在性的研究方法。但是，本文只研究線性齊次模糊微分方程，相關(guān)非線性模糊微分方程解的定性問(wèn)題有待進(jìn)一步研究。