在立體幾何教學(xué)中利用“幾何圖霸”培養(yǎng)學(xué)困生直覺思維的實驗教學(xué)探究

陳勇玲 黃木鳳

【摘 要】本文以高二學(xué)生為教學(xué)對象，在立體幾何教學(xué)過程中利用“幾何圖霸”輔助工具幫助學(xué)生建構(gòu)立體圖形概念，培養(yǎng)學(xué)生的空間感與直覺思維;實驗結(jié)果表明利用“幾何圖霸”輔助教學(xué)，能較好地提高學(xué)生的成績，改善學(xué)生對立體幾何模塊學(xué)習(xí)的態(tài)度。

【關(guān)鍵詞】立體幾何教學(xué) 幾何圖霸 直覺思維

【中圖分類號】G? 【文獻標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2020）34-0146-03

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) 2011 年版》強調(diào)要重視直觀，處理好直觀與抽象的關(guān)系。學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實驗、猜想，鼓勵學(xué)生進行創(chuàng)造性思維。徐立治先生認(rèn)為，直覺指的是對事物本質(zhì)的直接領(lǐng)悟或洞察。數(shù)學(xué)直覺就是對數(shù)學(xué)對象（結(jié)構(gòu)及其聯(lián)系）的某種直接領(lǐng)悟或洞察。在實踐研究中，趙思林、朱德全以高中生為研究對象，研究得出直覺思維可以幫助學(xué)生分析數(shù)學(xué)現(xiàn)象，猜想數(shù)學(xué)命題中的解題思路，縮短思維時間培訓(xùn)，獲得數(shù)學(xué)靈感等結(jié)論。

新課標(biāo)中的立體幾何教學(xué)，在延續(xù)了傳統(tǒng)的幾何法的同時，引入了向量法。胡干彪通過測試的研究方法，對利用幾何法和向量法教立體幾何的效果作了對比，并對學(xué)生進行相關(guān)的問卷調(diào)查，以及對教材的特點、學(xué)生的認(rèn)知特點和思想方法進行分析，發(fā)現(xiàn)用向量法講解立體幾何可降低難度，易于為學(xué)生接受?；谶@樣的實驗結(jié)果，筆者針對普通高中學(xué)生空間想象和空間思維能力相對薄弱的學(xué)困生，運用“幾何圖霸”軟件輔助立體幾何教學(xué)，發(fā)現(xiàn)它對學(xué)生空間想象能力、空間思維能力、直覺思維的培養(yǎng)及在解立體幾何題中具有比較好的促進作用。

“幾何圖霸”是三維動態(tài)的圖形軟件，是一款新的且較好的立體幾何數(shù)學(xué)實驗與課件制作工具，它易懂且易學(xué)，可以在課堂上快速制作出常見的立體幾何圖形，具有比例放大縮小、上下左右移動、旋轉(zhuǎn)功能。在課堂上教師利用它可向?qū)W生展示相關(guān)立體圖形，讓學(xué)生直觀具體地觀察、分析立體圖形，引導(dǎo)學(xué)生多動手、多思考，激發(fā)學(xué)生的探知欲望和研究的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺思維。

一、實驗教學(xué)概述

本研究的思路是根據(jù)數(shù)學(xué)直觀思維和“幾何圖霸”輔助立體幾何教學(xué)相關(guān)理論，以立體幾何中的向量法及三視圖為教學(xué)內(nèi)容，設(shè)計實驗研究，利用“幾何圖霸”設(shè)計教學(xué)案例。在本校普通高中的平行班中選取對照班和實驗班展開教學(xué)實驗，在實驗后采用測驗調(diào)查和問卷調(diào)查法，分析“幾何圖霸”在立體幾何教學(xué)中對學(xué)困生的空間感、數(shù)學(xué)直覺思維培養(yǎng)的作用。通過教學(xué)實驗，提高學(xué)困生在解立體幾何題目中的數(shù)學(xué)直觀思維的應(yīng)用能力。

二、實施實驗教學(xué)的具體措施

學(xué)生在立體幾何模塊的學(xué)習(xí)中存在較大困難，一方面，學(xué)生的空間感不強，面對一個立體圖形，難以想象其中的線面位置關(guān)系;另一方面，傳統(tǒng)的教學(xué)方式，呈現(xiàn)在學(xué)生面前的是靜止的立體圖形，學(xué)生看不到立體圖的其他角度的形狀，無法想象被擋線面的位置關(guān)系。針對這些問題，在教學(xué)中借助“幾何圖霸”輔助教學(xué)，利用“幾何圖霸”的轉(zhuǎn)動功能將立體圖形轉(zhuǎn)動，讓學(xué)生看到一個真實完整的立體圖形，培養(yǎng)學(xué)生的空間感和直覺思維。

（一）利用“幾何圖霸”輔助教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的幾何空間意識

在實驗班的教學(xué)過程中，盡可能多地使用“幾何圖霸”輔助教學(xué)。首先，在學(xué)生剛接觸立體幾何這個模塊時，利用“幾何圖霸”快速向?qū)W生展示各種常見的立體幾何圖形，如正方體、長方體、三棱柱、三棱錐、三棱臺、圓錐等，并且旋轉(zhuǎn)不同的角度讓學(xué)生觀察，增強學(xué)生的空間感，建立一定的立體幾何圖形基礎(chǔ)。其次，在平時習(xí)題講解中，遇到不好觀察立體圖形的角度，課前制作好課件，并在課上展示以輔助教學(xué)。在教學(xué)中融入大量的課例，逐步培養(yǎng)學(xué)生的空間感與直覺思維，培養(yǎng)學(xué)生的幾何空間意識，使學(xué)生在今后的解題過程中能下意識地想起相關(guān)的立體圖形，并借助直覺思維初步做出判斷，然后利用相關(guān)定理、公式進行邏輯推理及證明。

（二）利用“幾何圖霸”直觀地展示幾何圖形，培養(yǎng)學(xué)生的空間感和直覺思維

在以往的教學(xué)中，對立體幾何的教學(xué)，通常都會用實體模具供學(xué)生觀察，然后抽象出課本的靜止圖形，但是缺少一個由實物過渡到只有點、線、面組合的立體圖形的過程。這是一個關(guān)鍵的過程，利用“幾何圖霸”可以很好地幫助學(xué)生從實物階段過渡到點、線、面的立體圖形階段。例如，在講授一個圓臺上放一個球的三視圖時，可以先展示實體狀態(tài)，如圖 1，然后過渡為透明狀態(tài)，如圖 2，可以直觀地清楚地看到幾何體的輪廓，最后抽象為只有點、線、面的立體圖形，如圖 3，而且展示的三個階段的圖形都可以任意旋轉(zhuǎn)角度。這個過程讓學(xué)生更直觀地觀察立體圖形，通過這三個狀態(tài)的過渡，培養(yǎng)學(xué)生的空間感和直覺思維。

（三）利用“幾何圖霸”指導(dǎo)學(xué)生觀察、建坐標(biāo)系、分離平面圖形

在立體幾何大題解題過程中，建立空間直角坐標(biāo)系是第一步，也是困難的一步。建立坐標(biāo)系需要學(xué)生在圖形中找到三條直線兩兩垂直的條件，如果空間想象能力匱乏，那么會把原本垂直的位置關(guān)系看成斜相交關(guān)系。因此，在例題講解中使用“幾何圖霸”制作相應(yīng)的立體幾何圖形，向?qū)W生展示立體圖形不同方位的狀態(tài)，初步讓學(xué)生找到垂直條件，再利用邏輯推理證明這個結(jié)果，確定坐標(biāo)系原點，憑借直觀感覺建立空間直角坐標(biāo)系。建立坐標(biāo)系以后，學(xué)生還會難以確定某些非坐標(biāo)軸上的點的坐標(biāo)。針對這個問題，如果只是讓學(xué)生觀察靜止的圖形，那么還是不夠的。教師要利用軟件操作課件，轉(zhuǎn)動立體圖形，引導(dǎo)學(xué)生觀察立體幾何圖形不同方位的狀態(tài)，觀察點在平面內(nèi)的相對位置，然后分離出平面圖形，再通過線段與角度的關(guān)系計算出點的坐標(biāo)。例如，2019 年高考浙江卷第 19 題：

如圖 4，已知三棱柱 ABC-A1B1C1，平面 A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC=90°，∠BAC=30°，A1A=A1C=AC，E 和 F 分別是 AC 和 A1B1 的中點。（1）證明：EF⊥BC;（2）求直線 EF 與平面 A1BC 所成角的余弦值。

一看到這個立體圖形，有些同學(xué)認(rèn)為線段 A1C、EF 是相交直線，這時，教師可以旋轉(zhuǎn)圖形到圖 5 的位置，學(xué)生可以清楚地看出線段 A1C 與 EF 是異面直線，初步幫助學(xué)生看透這個立體圖形。對于第（2）問來說，可利用向量法求線面角。首先，需要建坐標(biāo)系，但這是一個斜三棱柱，題目中沒有明顯的三條直線兩兩垂直的條件。教師可通過轉(zhuǎn)動幾何體，并結(jié)合題目中所給的條件，引導(dǎo)學(xué)生找到豎直方向的垂直條件。易知，A1E⊥AC 于點 E。初步做出猜想，以 E 為原點建立坐標(biāo)系。但題中沒有現(xiàn)成的 x 軸，可以過點 E 做 AC 的垂線為 x 軸，這樣即可建坐標(biāo)系，如圖 6。其次，建坐標(biāo)系后，因為 B 點不在坐標(biāo)軸上，所以學(xué)生要確定點 B 的坐標(biāo)存在較大的困難。教師可以把幾何體的底面旋轉(zhuǎn)到合適角度讓學(xué)生觀察，如圖 7，指導(dǎo)學(xué)生把底面分離出來，得到一個平面圖形。在直角三角形 BPE 中，結(jié)合角度和邊長的大小，計算出點 B 的坐標(biāo)。

總的來說，“幾何圖霸”是一個三維動態(tài)的數(shù)學(xué)工具，里面有各種現(xiàn)成的立體幾何圖形，教師稍加研究就可以制作教學(xué)中常見的幾何體圖形。這些豐富的資源可以放到教室的電腦上供學(xué)生自主動手操作，讓學(xué)生共同探討、交流，培養(yǎng)直觀思維;使學(xué)生通過操作，認(rèn)識問題、發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，攻克立體幾何問題。

三、實驗教學(xué)結(jié)果與分析

（一）實驗前后成績比較分析

2019 年 5 月之前，學(xué)校高二年級還沒有教授立體幾何的內(nèi)容。在教授立方體幾何內(nèi)容之前，采用兩次學(xué)業(yè)水平模擬考試中兩道立體幾何題目來測試學(xué)生掌握立體幾何的情況。我們以兩次模擬考試中的兩道立體幾何題的平均分作比較，發(fā)現(xiàn)實驗班的平均分與對照班的平均分基本持平。結(jié)果如表 1 所示：

經(jīng)過兩個月的教學(xué)實驗后，再對兩個班進行考試，兩次考試中立體幾何內(nèi)容，即試卷中有關(guān)立體幾何的一道小題和一道大題都相同，測試的結(jié)果如表 2 所示：

實驗前，實驗班的平均分與對照班的平均分基本持平;實驗后，實驗班的平均分比對照班分別提高了 1 至 2 分。對實驗前后的數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn)，利用“幾何圖霸”輔助立體幾何教學(xué)對學(xué)困生有幫助，學(xué)困生的立體幾何的成績明顯提高。從實際答題情況來看，實驗班能建立空間直角坐標(biāo)系的人數(shù)比對照班多。值得關(guān)注的一點是，雖然有部分同學(xué)缺少必要的邏輯證明能力，但是能憑直覺正確地找到坐標(biāo)原點和三條直線兩兩垂直的關(guān)系，從而建立坐標(biāo)系。由此可見，利用“幾何圖霸”輔助立體幾何教學(xué)可以提高學(xué)生空間感和直覺思維。

（二）實驗前后教學(xué)效果調(diào)查分析

實驗后對實驗班進行了問卷調(diào)查與訪談?wù){(diào)查。從調(diào)查的數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，學(xué)生非常喜歡老師利用“幾何圖霸”輔助課堂教學(xué)。課中大部分同學(xué)會積極向老師提問、與老師互動，對立體幾何模塊的學(xué)習(xí)也更有興趣。通過對實驗班部分同學(xué)的訪談?wù){(diào)查發(fā)現(xiàn)，他們覺得平時教學(xué)中用“幾何圖霸”三維動態(tài)展示立體幾何圖形，不僅有助于他們的空間想象能力的培養(yǎng)，而且使他們在做題時能更容易地建立空間直角坐標(biāo)系，對直覺思維的培養(yǎng)很有幫助。

本研究是針對學(xué)校普通高中學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何知識存在較大困難的情況下，使用三維動態(tài)畫板“幾何圖霸”輔助教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的空間感與直覺思維，以提高學(xué)生的考試成績與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。教學(xué)實驗結(jié)果顯示，效果初顯，可見這種教學(xué)方式對學(xué)困生的立體幾何學(xué)習(xí)是有積極作用的。

【參考文獻】

[1]徐利治，王 前.數(shù)學(xué)與思維[M].大連：大連理工大學(xué)出版社，2008.

[2]趙思林，朱德全.論事論數(shù)學(xué)直覺思維的培養(yǎng)策略[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2010（1）.

[3]胡干彪.對空間向量教學(xué)的調(diào)查、研究與思考[D].蘭州：西北師范大學(xué)，2003.

【作者簡介】陳勇玲，女，籍貫廣西貴港，中學(xué)一級，現(xiàn)就職于南寧市第二十四中學(xué)，研究方向為信息技術(shù)與高中數(shù)學(xué)教學(xué)融合。

（責(zé)編 盧建龍）