可變多胞體結(jié)構(gòu)的魯棒模型預(yù)測(cè)控制

楊世忠，邢麗娟

青島理工大學(xué) 信息與控制工程學(xué)院,山東 青島266520

1 引言

魯棒模型預(yù)測(cè)控制（Robust Model Predictive Control，RMPC）由于能顯式地表示系統(tǒng)的模型不確定性和輸入輸出約束，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的穩(wěn)定控制，被廣泛應(yīng)用于各種系統(tǒng)控制中[1-4]。在RMPC中，如何更好地減小由于系統(tǒng)的參數(shù)的不確定對(duì)系統(tǒng)控制造成的影響，減小系統(tǒng)的在線計(jì)算量，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的快速穩(wěn)定控制，是科研人員一直關(guān)注的重點(diǎn)。

魯棒模型預(yù)測(cè)控制將系統(tǒng)模型的不確定性用多胞體描述，離線時(shí)優(yōu)化出一系列嵌套橢圓集序列，在線時(shí)根據(jù)狀態(tài)變量在橢圓集序列中的位置得到系統(tǒng)的控制律，這種基于離線嵌套橢圓集RMPC已經(jīng)取得了許多研究成果[5-6]。文獻(xiàn)[7]針對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的多組一維子空間，運(yùn)用常規(guī)離線魯棒預(yù)測(cè)控制生成多組橢圓不變集序列，在線時(shí)尋求當(dāng)前狀態(tài)所處最大橢圓不變集，通過簡(jiǎn)單的融合計(jì)算得到對(duì)應(yīng)的控制律。文獻(xiàn)[8]離線構(gòu)造一系列橢圓集來描述多步可行區(qū)域，每個(gè)橢圓集的平衡點(diǎn)根據(jù)上一個(gè)橢圓來選取，再根據(jù)在線計(jì)算合適的輸入使系統(tǒng)穩(wěn)定，采用逐步倒退計(jì)算的方法確保迭代的可行性和穩(wěn)定性，減少了計(jì)算負(fù)擔(dān)。文獻(xiàn)[9]針對(duì)一類具有多胞不確定性的線性參數(shù)變化系統(tǒng)，通過求解線性矩陣不等式，構(gòu)造了一個(gè)收縮的橢圓集序列，優(yōu)化了離線不變橢圓集的數(shù)量，實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)控制的快速穩(wěn)定控制。由于系統(tǒng)的輸入輸出約束一般采用不等式的形式給出，采用離線嵌套橢圓集的RMPC 的初始可行域較小，算法保守，因此，采用一系列嵌套多面體集的離線算法開始廣泛應(yīng)用于RMPC 中[10-12]。文獻(xiàn)[13]離線時(shí)構(gòu)建多面體不變集，在線時(shí)每一個(gè)采樣時(shí)刻確定包含當(dāng)前狀態(tài)的最小多面體不變集，通過計(jì)算與相鄰兩個(gè)多面體不變集的位置關(guān)系得到狀態(tài)反饋控制律。文獻(xiàn)[13]離線時(shí)選取一系列收斂于原點(diǎn)的離散狀態(tài)來計(jì)算相應(yīng)的狀態(tài)反饋控制律，并構(gòu)造各多面體不變量集。在線時(shí)，通過確定當(dāng)前測(cè)量狀態(tài)可以嵌入的最小多面體不變量集來確定系統(tǒng)的控制律。文獻(xiàn)[14]提出了一種基于魯棒一步集的Tube不變集魯棒模型預(yù)測(cè)控制方法，采用多面體不變集離線設(shè)計(jì)方法得到基于多面體不變集序列的擴(kuò)展終端約束集，通過引入魯棒一步集并借助Tube 不變集控制策略，設(shè)計(jì)了基于魯棒一步集的魯棒模型預(yù)測(cè)控制方法。文獻(xiàn)[15]考慮了離散時(shí)間的不確定分段仿射系統(tǒng)，提出了一種基于檢測(cè)狀態(tài)空間區(qū)域的可達(dá)性的多面體RMPC 算法，保證系統(tǒng)狀態(tài)從最大集驅(qū)動(dòng)到目標(biāo)區(qū)域，減少了在線計(jì)算量。文獻(xiàn)[16]中的RMPC 算法針對(duì)線性變參數(shù)系統(tǒng)，離線時(shí)構(gòu)造了與嵌套多面體不變集相關(guān)聯(lián)的控制律序列，在線時(shí)經(jīng)過線性插值的方法確定系統(tǒng)的實(shí)時(shí)控制律。應(yīng)當(dāng)看到，以上多面體不變集是在系統(tǒng)多胞體結(jié)構(gòu)不變的基礎(chǔ)上由輸入輸出約束來確定的，由此產(chǎn)生的多面體也具有一定的保守性，而采用未知但有界誤差估計(jì)，用數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的策略可以更好地估計(jì)不確定性多面體。文獻(xiàn)[17]采用未知但有界誤差估計(jì)的方法，提出了一種不確定多胞體的遞推估計(jì)RMPC，在每個(gè)采樣周期對(duì)多胞體結(jié)構(gòu)進(jìn)行更新，改善了系統(tǒng)的控制效果，但由于該算法采用在線優(yōu)化的方式，造成系統(tǒng)在線運(yùn)算負(fù)擔(dān)較重。

在以上文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，為適應(yīng)狀態(tài)變量的變化對(duì)多胞體結(jié)構(gòu)的影響，減少在線運(yùn)算量，提高控制的精確性，采用如下設(shè)計(jì)方法：將控制算法分為離線算法和在線算法兩個(gè)部分，離線算法根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)變量的變化，得到相應(yīng)的可變參數(shù)多胞體結(jié)構(gòu)，并將其轉(zhuǎn)化為便于優(yōu)化運(yùn)算的狀態(tài)空間多胞體形式，構(gòu)建一系列離線嵌套多面體不變集。在線算法根據(jù)狀態(tài)變量在嵌套多面體不變集中的位置，結(jié)合可變多胞體結(jié)構(gòu)，采用線性插值的優(yōu)化方式得到系統(tǒng)的實(shí)際控制律，以實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的快速穩(wěn)定控制。

2 問題描述

給定一個(gè)線性變參數(shù)系統(tǒng)：

其中，x(k )∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài)變量；u(k )∈Rm為系統(tǒng)控制輸入；y(k )∈Rny為系統(tǒng)輸出。

由于系統(tǒng)（1）的參數(shù)可變，所以狀態(tài)方程系數(shù)矩陣A,B 具有不確定性，可用凸多胞體約束來表示：

這樣，狀態(tài)方程系數(shù)矩陣A,B 可表示為：

同時(shí)考慮系統(tǒng)（1）的輸入、輸出約束：

對(duì)上述線性變參數(shù)系統(tǒng)，采用最小最大優(yōu)化方式：

選擇李亞普諾夫函數(shù)：

使系統(tǒng)（1）滿足不等式：

由公式（8）推導(dǎo)出J∞()k 的上界γ，則有：

設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)反饋律為F，則有：

令F=YQ-1，則公式（6）的優(yōu)化可采用以下線性矩陣不等式的形式：

其中，公式（11）是優(yōu)化目標(biāo)，公式（12）是系統(tǒng)狀態(tài)變量的橢圓集約束，公式（13）是李亞普諾夫穩(wěn)定的條件，公式（14）和（15）是輸入、輸出約束。

在常規(guī)的算法中，多胞體結(jié)構(gòu)是固定的。設(shè)計(jì)的目的是在離線算法中考慮系統(tǒng)狀態(tài)變量的變化而導(dǎo)致的多胞體結(jié)構(gòu)的變化，并根據(jù)變化的多胞體結(jié)構(gòu)構(gòu)建嵌套多面體不變集。在線時(shí)根據(jù)狀態(tài)變量在嵌套多面體不變集的位置，同時(shí)考慮多胞體結(jié)構(gòu)的變化，通過線性插值的方法得到系統(tǒng)的實(shí)時(shí)控制律。

3 多胞體的未知但有界誤差估計(jì)

由于系統(tǒng)的狀態(tài)變量在不斷的改變，系統(tǒng)的多胞體結(jié)構(gòu)也會(huì)相應(yīng)發(fā)生變化，為了能根據(jù)狀態(tài)變量的變化而得到相應(yīng)變化的多胞體結(jié)構(gòu)，采用未知但有界誤差的方式來對(duì)多胞體進(jìn)行估計(jì)。由于直接由未知但有界誤差的方式得到的可變參數(shù)多胞體不方便進(jìn)一步優(yōu)化運(yùn)算，所以需要將可變參數(shù)多胞體轉(zhuǎn)化為適合于線性矩陣不等式優(yōu)化的狀態(tài)方程系數(shù)矩陣多胞體的形式。因此，設(shè)計(jì)思路是首先通過未知但有界誤差估計(jì)的形式得到線性可變參數(shù)多胞體，然后，再經(jīng)過變換得到狀態(tài)方程系數(shù)矩陣多胞體，以便采用線性矩陣不等式進(jìn)行優(yōu)化。

由于多胞體結(jié)構(gòu)是由系統(tǒng)（1）狀態(tài)方程系統(tǒng)矩陣中的可變參數(shù)決定，為了體現(xiàn)可變參數(shù)和系統(tǒng)可測(cè)量的變量的關(guān)系，系統(tǒng)（1）需要轉(zhuǎn)換成未知但有界誤差描述模型：

其中，z(k )∈Rs為系統(tǒng)可測(cè)量變量，φ(k )∈Rr為系數(shù)矩陣，θ ∈Rr×s為系統(tǒng)的不確定參數(shù)，e()k 為有界誤差，滿足：

由公式（16）、（17）可得：

將公式（16）表示為空間集合的形式：

設(shè)系統(tǒng)（1）的可變參數(shù)的初始多胞體為Ωθ1，依次第i 個(gè)可變參數(shù)多胞體為Ωθi。這樣在計(jì)算離線的第i個(gè)可變參數(shù)多胞體結(jié)構(gòu)可采用以下公式：

由公式（21）可以看到，當(dāng)系統(tǒng)的狀態(tài)發(fā)生變化時(shí)可變參數(shù)多胞體的結(jié)構(gòu)會(huì)發(fā)生變化，因此在實(shí)際的控制過程中考慮多胞體結(jié)構(gòu)變化對(duì)系統(tǒng)的影響，有利于實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的穩(wěn)定控制，減少由于多胞體固定不變帶來的保守性。由于魯棒模型預(yù)測(cè)控制算法優(yōu)化時(shí)采用的是狀態(tài)方程系數(shù)矩陣，因此，需要將得到的可變參數(shù)多胞體結(jié)構(gòu)化成狀態(tài)方程系數(shù)矩陣多胞體的形式。

對(duì)應(yīng)系統(tǒng)（1）的狀態(tài)方程系數(shù)矩陣A,B 因包含未知參數(shù)導(dǎo)致其具有不確定性，根據(jù)公式（16）可知θ 是A、B 中的不確定參數(shù)變量。若，結(jié)合公式（2）可以得到系統(tǒng)的可變參數(shù)和狀態(tài)方程系數(shù)矩陣的關(guān)系：

其中，Aθ=0、Bθ=0是A、B 中令θ=0 得到的矩陣，jA、jB 是A、B 減去Aθ=0、Bθ=0后以對(duì)應(yīng)每個(gè)不確定參數(shù)變量的系數(shù)矩陣。

4 RMPC離線算法

為減少在線運(yùn)算量，采用離線算法得到一系列基于可變多胞體結(jié)構(gòu)的多面體不變集和相應(yīng)的控制律。在離線算法中，首先通過給定一系列狀態(tài)變量，結(jié)合多胞體結(jié)構(gòu)的改變，優(yōu)化得到一系列控制律；然后依據(jù)優(yōu)化出的控制律，根據(jù)系統(tǒng)的輸入輸出約束得到相應(yīng)的一系列多面體集。

算法1 對(duì)于系統(tǒng)（1）和輸入輸出約束（4）、（5），設(shè)定有界誤差界限emin、emax，根據(jù)系統(tǒng)（1）參數(shù)可變范圍得到可變參數(shù)初始多胞體為Ωθ1。給定L 個(gè)逐漸向平衡點(diǎn)靠攏的狀態(tài)變量xi，令i=1。

（1）若i=1，將xi代入式（11）～（15）優(yōu)化得到系統(tǒng)的控制律Fi；若i ＞1，轉(zhuǎn)到（2）。

（2）根據(jù)已得到的控制律Fi-1和當(dāng)前的給定狀態(tài)變量xi得到系統(tǒng)的輸入輸出等相關(guān)變量，將系統(tǒng)（1）轉(zhuǎn)化為未知有界誤差描述模型（16）。

（3）由公式（19）、（20）得到當(dāng)前的可變參數(shù)變量空間集合Hup、Hdown。

（4）由公式（21）得到第i 個(gè)可變參數(shù)多胞體Ωθi。

（5）由公式（22）計(jì)算系統(tǒng)狀態(tài)方程系數(shù)矩陣的多胞體，代入公式（13）和（15），再優(yōu)化式（11）～（15）得到控制律Fi。

（6）令i=i+1，若i ≤L，返回（1）；否則，算法結(jié)束。

算法1首次計(jì)算控制律時(shí)，采用的是系統(tǒng)的可變參數(shù)初始多胞體，在此基礎(chǔ)上通過不斷優(yōu)化得到L 個(gè)不同結(jié)構(gòu)的可變參數(shù)多胞體，經(jīng)過變換得到不同結(jié)構(gòu)的狀態(tài)方程系數(shù)矩陣多胞體，并求解出相應(yīng)的控制律。然后，通過算法2得到離線嵌套多面體不變集。

算法2 對(duì)于系統(tǒng)（1）和輸入輸出約束（4）、（5），通過設(shè)定的狀態(tài)變量xi，由算法1 得到L 個(gè)狀態(tài)方程系數(shù)矩陣多胞體和控制律Fi。

（1）令i=1,m=1。根據(jù)輸入輸出約束，設(shè)對(duì)于每個(gè)xi和控制律Fi對(duì)應(yīng)的多面體不變集為Si={x|Mix ≤di}，其中：

（2）取( Mi,di)的m 行，采用系統(tǒng)狀態(tài)方程系數(shù)矩陣多胞體進(jìn)行優(yōu)化求解：

若Wi,m＞0，說明原來的不變集需要添加約束Mi,m( Aj+BjFi)x ≤di,m，則：

（3）令m=m+1，如果m 不大于( Mi,di)的行數(shù)，返回步驟（2）。

（4）令i=i+1，如果i ≤N，返回步驟（1）；否則算法結(jié)束。

離線算法2中，對(duì)于嵌套多面體不變集的優(yōu)化求解過程中，對(duì)于給定的不同狀態(tài)變量，都采用相應(yīng)多胞體結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化，這樣更符合系統(tǒng)控制的實(shí)際情況。

采用離線算法中得到系統(tǒng)的可變多胞體結(jié)構(gòu)、相應(yīng)的控制律和嵌套多面體不變集，使得在線運(yùn)算時(shí)只需要根據(jù)狀態(tài)變量在嵌套多面體不變集中的位置，通過插值優(yōu)化就可得到系統(tǒng)的實(shí)際控制律，減少了系統(tǒng)的在線運(yùn)算量。

5 RMPC在線算法

在線算法根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)變量的當(dāng)前值x(k)在嵌套多面體不變集中的位置，尋找狀態(tài)變量處在哪兩個(gè)多面體不變集之間，并通過由離線算法得到的控制律進(jìn)行線性插值優(yōu)化得到實(shí)時(shí)控制律[18]。在計(jì)算的過程中，需要考慮多胞體結(jié)構(gòu)的變化。

算法3 對(duì)于系統(tǒng)（1）和輸入輸出約束（4）、（5），由離線算法得到L 個(gè)離線多面體不變集及相應(yīng)的控制律和狀態(tài)方程系數(shù)矩陣多胞體結(jié)構(gòu)。

（1）根據(jù)當(dāng)前狀態(tài)變量x(k)，尋找其所處的最小多面體不變集Si。

（2）若i ＜L，進(jìn)行以下優(yōu)化問題的求解：

（3）若i=L，則u(k)=FLx(k )。

（4）將u(k )代入系統(tǒng)（1），實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定控制。

在算法3中，λFi+(1 -λ )Fi+1是采用線性插值計(jì)算得到的實(shí)時(shí)控制律，F(xiàn)i和Fi+1是狀態(tài)變量所處的最小多面體集和下一個(gè)更小的多面體集對(duì)應(yīng)的控制律。得到實(shí)時(shí)控制律后，由公式（10）確定系統(tǒng)的輸入量，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的穩(wěn)定控制。

定理1 對(duì)于線性變參數(shù)系統(tǒng)（1），滿足輸入輸出約束（4）、（5），若系統(tǒng)初始狀態(tài)變量x1∈S，S 為多面體集，則算法3可以保證閉環(huán)系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定。

證明由于算法3是在可變多胞體結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，首先說明由可變參數(shù)多胞體轉(zhuǎn)換的狀態(tài)方程系數(shù)矩陣多胞體的嵌套關(guān)系。設(shè)在離線算法相鄰的兩個(gè)θ的多胞體為Ωθi和Ωθ（i+1），由公式（21）可知Ωθ(i+1)?Ωθi，根據(jù)凸多胞體理論有：

根據(jù)公式（22），設(shè)與之對(duì)應(yīng)的狀態(tài)方程系數(shù)矩陣多胞體為Ωi和Ωi+1。根據(jù)公式（22）和（25）可得：

即Ωi+1?Ωi。這說明在狀態(tài)方程系數(shù)矩陣多胞體集合也是嵌套的。

下面說明系統(tǒng)的穩(wěn)定性，對(duì)于x1∈S，不失一般性，設(shè)k 時(shí)刻有x(k )∈Si，且，選擇李亞普諾夫函數(shù)如公式（7），則，根據(jù)公式（8）可知Vi( x( k +1) )＜Vi( x(k ))；由于Si+1?Si，Ωi+1?Ωi，則Vi+1( x( k +1) )＜Vi( x( k +1) )。綜上可得Vi+1( x( k +1) )＜Vi( x(k ))，即V( k+1) ＜V(k )，由此可知，算法3 可以保證閉環(huán)系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定。

6 仿真

以經(jīng)典角度定位系統(tǒng)為例，系統(tǒng)由電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)的在平面原點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)天線組成。控制問題是使用輸入電壓的電機(jī)令天線旋轉(zhuǎn)，使其始終指向平面上運(yùn)動(dòng)物體的方向。以天線的角度位置和天線的角速度為狀態(tài)變量，天線的運(yùn)動(dòng)可以用下列離散時(shí)間方程來描述：

輸入約束條件：

參數(shù)變化范圍：

系統(tǒng)的初始值為x(0)=[0.05;0]。

現(xiàn)在的RMPC為減少在線計(jì)算量，都采用離線算法和在線算法的方式，離線算法得到嵌套多面體不變集和對(duì)應(yīng)的控制律，完成大部分運(yùn)算量，這樣在線算法的計(jì)算量就會(huì)大大減少。仿真對(duì)比也采用這種方式進(jìn)行比較，對(duì)系統(tǒng)（26）采用可變多胞體結(jié)構(gòu)的多面體不變集RMPC 和常規(guī)的多面體不變集RMPC[14]之間進(jìn)行仿真比較。

根據(jù)公式（16），將系統(tǒng)（26）轉(zhuǎn)換成未知有界誤差描述模型：

由公式（28）可得系統(tǒng)（29）的可變參數(shù)初始多胞體Ωθ1為：

狀態(tài)方程系數(shù)矩陣初始多胞體Ω1為：

常規(guī)的RMPC 中多胞體為Ω1，在整個(gè)控制過程中保持不變。

對(duì)于系統(tǒng)（26），由公式（22）可知，關(guān)于可變參數(shù)多胞體和狀態(tài)方程系數(shù)矩陣多胞體的轉(zhuǎn)化系數(shù)矩陣為：

離線算法選擇5個(gè)狀態(tài)變量，如下所示：

根據(jù)算法1，設(shè)置e(k)的極值為0.003，得到關(guān)于系統(tǒng)可變參數(shù)的5個(gè)多胞體，如圖1所示。

圖1 可變參數(shù)多胞體結(jié)構(gòu)

由圖1可以看到，當(dāng)系統(tǒng)的狀態(tài)變量逐漸趨于平衡點(diǎn)時(shí)，可變參數(shù)的多胞體結(jié)構(gòu)也在不斷減小，是一個(gè)嵌套的多胞體集。對(duì)于常規(guī)的多面體不變集RMPC，可變參數(shù)多胞體結(jié)構(gòu)如圖1 中的多胞體1，在控制過程中不發(fā)生變化。

由算法1可以得到相應(yīng)的控制律F：

采用同樣的給定狀態(tài)變量值，給出常規(guī)多面體不變集RMPC離線算法得到的控制律F′：

比較兩種控制律，可以看到，當(dāng)狀態(tài)變量趨于穩(wěn)定點(diǎn)時(shí)，控制律作用是逐漸增大的。另外，由于在第一個(gè)控制律求解時(shí)，兩種算法的狀態(tài)方程系數(shù)矩陣初始多胞體是相同的，所以兩種算法的第一個(gè)控制律是相等的。由于可變多胞體結(jié)構(gòu)更符合實(shí)際的控制過程，所以得到的其他4個(gè)控制律都大于多胞體不變時(shí)得到的控制律。通過算法2 離線得到可變多胞體結(jié)構(gòu)的嵌套多面體不變集，如圖2所示。

圖2 可變多胞體結(jié)構(gòu)的嵌套多面體不變集

在線仿真時(shí)，將算法3 實(shí)現(xiàn)的控制過程和文獻(xiàn)[14]中常規(guī)控制過程進(jìn)行比較。兩種算法得出的控制仿真圖如圖3、圖4所示。

圖3 可變多胞體結(jié)構(gòu)的RMPC算法

比較圖3、圖4 可以看到，采用可變多胞體結(jié)構(gòu)的RMPC算法，狀態(tài)變量變化快，在第12個(gè)采樣周期就可以達(dá)到穩(wěn)態(tài)點(diǎn)；而采用常規(guī)RMPC 算法時(shí)，狀態(tài)變量需要30個(gè)采樣周期才趨于穩(wěn)定點(diǎn)。采用可變多胞體結(jié)構(gòu)的RMPC算法，控制量較大，對(duì)系統(tǒng)的作用強(qiáng)，在第8個(gè)采樣周期控制量達(dá)到穩(wěn)態(tài)點(diǎn)；而采用常規(guī)RMPC 算法，控制量較小，對(duì)系統(tǒng)的作用較弱，需要24個(gè)采樣周期控制量才趨于穩(wěn)定點(diǎn)。

圖4 常規(guī)RMPC算法

仿真結(jié)果表明，采用可變多胞體結(jié)構(gòu)的RMPC算法時(shí)，由于多胞體結(jié)構(gòu)可以隨著狀態(tài)變量的變化而進(jìn)行調(diào)整，在狀態(tài)變量趨于穩(wěn)定點(diǎn)時(shí)，控制律的作用也不斷增大，這樣，系統(tǒng)控制量作用增強(qiáng)，加快了系統(tǒng)趨于穩(wěn)定的速度，因此，系統(tǒng)響應(yīng)的快，穩(wěn)定性好。

7 結(jié)論

對(duì)于線性變參數(shù)系統(tǒng)，提出可變多胞體結(jié)構(gòu)的多面體不變集魯棒模型預(yù)測(cè)控制優(yōu)化算法。采用多胞體的未知有界誤差估計(jì)的方法，將線性變參數(shù)系統(tǒng)狀態(tài)方程轉(zhuǎn)換成未知有界誤差描述模型。離線時(shí)，通過未知有界誤差描述模型和一系列給定的狀態(tài)變量，得到關(guān)于可變參數(shù)的多胞體結(jié)構(gòu)，并構(gòu)建嵌套多面體不變集序列。在線時(shí)，根據(jù)測(cè)量到的狀態(tài)變量在系列多面體不變集的位置，考慮可變多胞體結(jié)構(gòu)，通過線性插值的優(yōu)化方式得到實(shí)際控制律。算法考慮了多胞體結(jié)構(gòu)的變化對(duì)系統(tǒng)控制的影響，增強(qiáng)了系統(tǒng)的控制作用，實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)的快速穩(wěn)定控制。通過仿真比較驗(yàn)證了算法的有效性，為線性變參數(shù)系統(tǒng)的魯棒預(yù)測(cè)控制提供了一種可行的控制方法。