非圓齒輪系統(tǒng)在火炮系統(tǒng)上的應用

牛瑞利，王國虎

（鄭州工業(yè)應用技術(shù)學院機電工程學院，鄭州 451100）

0 引言

輪系是由一系列相互嚙合的齒輪來滿足工作要求，是一種常見且經(jīng)典的傳動裝置，輪系具有大傳動比的傳動、遠距離的兩軸傳動和換向傳動、分支傳動以及運動的合成和分解等特點。學者們雖然針對齒輪開展了諸多研究（見文獻［1-6］），然而都是針對圓形齒輪開展的；由于非標齒輪通常是按企業(yè)的要求而量身設計、定制的，針對某火炮轉(zhuǎn)動裝置的需求，由于功能的限制，傳統(tǒng)的圓形齒輪已經(jīng)無法滿足使用要求，因此，基于其工作特點，設計了一套非圓齒輪的傳動系統(tǒng)裝置。以非圓齒輪系統(tǒng)為研究對象，首先使用Solidworks 軟件進行結(jié)構(gòu)設計，然后建立數(shù)學模型進行理論推導和分析；最后利用Adams 仿真分析，得到其運動規(guī)律和動力學性能曲線，為以后的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計提供參考依據(jù)。

1 非圓齒輪工作原理

非圓齒輪系統(tǒng)主要有太陽輪、行星輪和固定輪組成。其結(jié)構(gòu)原理圖如圖1 所示。

圖1 非圓齒輪系統(tǒng)組成

由圖1 可知，在電機的轉(zhuǎn)速作用下，太陽輪隨之轉(zhuǎn)動；為了轉(zhuǎn)動裝置的效率，設計了6 個行星輪與太陽輪和固定輪嚙合。在太陽輪、行星輪以及固定輪的聯(lián)合作用下，行星輪實現(xiàn)變軸線的嚙合運動。

2 數(shù)學模型的建立

建立非圓齒輪系統(tǒng)的數(shù)學模型時可以分為扭轉(zhuǎn)振動模型和平移-扭轉(zhuǎn)耦合振動模型［7］。由于扭轉(zhuǎn)振動模型為考慮齒輪系統(tǒng)的傳動軸和軸承的影響，不能準確預測齒輪系統(tǒng)的結(jié)果。為了方便對模型進行描述，以太陽輪的中心為原點建立笛卡爾坐標系，系統(tǒng)的坐標系隨著行星架的轉(zhuǎn)動而轉(zhuǎn)動。非圓齒輪輪系各構(gòu)件如圖2 所示。

圖2 非圓齒輪輪系各構(gòu)件組成

為方便對非圓齒輪輪系進行描述，選取ui（i=c，r，s，1，2，…，N）、θi（i=c，r，s，1，2，…，N）以及ri（i=c，r，s，1，2，…，N）分別表示固定輪、太陽輪以及行星輪的位移、角位移和基圓半徑。系統(tǒng)的廣義坐標可以表示為：

非圓齒輪系統(tǒng)是由6 個行星輪組成的，鑒于方法一樣，在此對一個行星輪和太陽輪以及固定輪組成的系統(tǒng)進行分析。利用拉格朗日方程對非圓齒輪系統(tǒng)進行動力學方程推導，可以得到以下方程組。

式中：mr為太陽輪的質(zhì)量，ωc為太陽輪的角速度，F(xiàn)m為齒輪間的嚙合力，為第n 個行星輪中心和行星架中心連線與xc正方向的夾角，；Jr為太陽輪的轉(zhuǎn)動慣量，cru和crz為第n 個行星輪與太陽輪、內(nèi)齒圈的嚙合阻尼，kru和krz為第n 個行星輪與太陽輪、內(nèi)齒圈的嚙合剛度。

由于齒輪之間存在間隙，非圓齒輪系統(tǒng)之間存在相對位移，即彈性變形量。在行星架隨動坐標系下，考慮嚙合誤差的構(gòu)件間相對位移可表示為：

si（i=1，2）為第n 個行星輪與太陽輪、內(nèi)齒圈在各自嚙合線方向的相對位移，si（i=3，4，5，6）為行星輪與行星架在xc、yc、zc和uc方向的相對位移，si（i=7，8）為行星輪與行星架在xn和yn方向的相對位移。

3 動力學模型的建立

3.1 模型的建立

建立動力學模型的方法可分為兩類：一種是使用Adams 自身建模功能對其建立模型，主要用來對簡單模型或者標準件（如齒輪、軸承）進行建模；另一類方法是利用三維建模軟件（如SolidWorks/UG等）進行建立模型，然后保存為中間格式將其導入Adams，再使用修復功能將失真較大的零件進行修整，最后得到動力學模型。本文為了能夠準確得到非圓齒輪的結(jié)構(gòu)，采用第2 類方法對非圓齒輪系統(tǒng)建模，最終完成對非圓齒輪系統(tǒng)的動力學建模。

3.2 約束與驅(qū)動的添加

在完成動力學建模后，需要對模型進行添加約束和驅(qū)動，為了方便對模型進行仿真，對模型進行以下的簡化和假設［8-9］：1）將電機的轉(zhuǎn)速換成輸入傳動系統(tǒng)時的轉(zhuǎn)速，減速器的減速過程忽略；2）忽略模型的尺寸公差和安裝誤差，且所有齒輪作為剛體考慮［10］。

按照實際情況對模型進行添加材料和約束，即在齒輪與齒輪之間添加接觸約束，其中固定輪添加固定約束，其余齒輪均與大地之間添加旋轉(zhuǎn)副；然后將換算好的轉(zhuǎn)速添加至太陽輪上。

在Adams 中，根據(jù)Impact 函數(shù)來計算兩個構(gòu)件之間的接觸力時，接觸力由兩部分組成：一個是由兩個構(gòu)件之間的相互切入而產(chǎn)生的彈性力；另一個是由相對速度產(chǎn)生的阻尼力［11-14］。表達式如下：

式中：K 為Hertz 接觸剛度，δ 為滲透量，dmax為允許的最大穿透深度，cmax為當達到最大穿透深度時的最大阻尼值為接觸點的法向相對速度。

4 仿真與結(jié)果

非圓齒輪系統(tǒng)的傳動性能對某火炮的轉(zhuǎn)動裝置有著重要的影響，由齒輪嚙合相關知識可知齒輪之間存在間隙，因此，需要考察非圓齒輪系統(tǒng)在空載時行星輪的速度和角速度曲線變化。

由圖3 和表1 可知，非圓齒輪之間的間隙對行星輪速度影響最大的是X 軸方向，其范圍是±450 mm/s左右，主要原因由于X 軸是非圓齒輪嚙合傳動動力前進的方向，影響最小的是齒輪旋轉(zhuǎn)的軸線Z向，最大值為157.9 mm/s，說明齒輪系統(tǒng)存在振動。

圖3 行星輪的速度曲線

圖4 行星輪的角度速度曲線

表1 行星輪的速度

由于非圓齒輪系統(tǒng)存在振動，齒輪在嚙合的過程中，行星輪在徑向和周向方向的速度均不為零。圖4 和表2 的數(shù)據(jù)可知在齒輪傳動動力時，Z 向的角速度波動最小，主要原因是因為行星輪在太陽輪和固定輪的相關配合，行星輪在嚙合力的作用下繞著太陽輪運動。

表2 行星輪的角度速度

齒輪傳動主要依靠的是齒輪之間的嚙合力，行星輪與太陽輪之間的嚙合力如圖5 和表3 所示。

圖5 行星輪與太陽輪的嚙合力

圖6 行星輪與固定輪的嚙合力

表3 行星輪與太陽輪的嚙合力

由圖5 和表3 可知，行星輪與太陽輪的最大嚙合力為245.9 N，整體是在±100 N 左右波動；其中在周向方向的接觸力要略大于徑向的作用力。行星輪最終在周向和徑向的聯(lián)合作用力下，實現(xiàn)圓周運動。

表4 行星輪與固定輪的嚙合力

由圖6 和表4 可知，行星輪與固定輪之間的最大嚙合力為364.5 N，其發(fā)生在0.64 s，此時在徑向上的接觸力為199.4 N。相比行星輪與太陽輪之間的接觸小要略大，造成這一現(xiàn)象的主要原因是由于行星輪所受重力造成的，為了減小其嚙合力，可以在齒輪之間增加潤滑油，進而減小摩擦力。

綜上所述，在滿足火炮轉(zhuǎn)動裝置非圓齒輪系統(tǒng)的性能的前提下，適當在齒輪之間增加潤滑裝置可以有效降低齒輪之間的摩擦力，同時也可以提高非圓齒輪系統(tǒng)的性能。

5 結(jié)論

基于某火炮轉(zhuǎn)動裝置的性能需求，設計了非圓齒輪傳動系統(tǒng)；根據(jù)非圓齒輪系統(tǒng)的原理進行了數(shù)學建模分析和動力學推導，得到了其運動方程；運用Adams 動力學軟件對其進行了動力學性能仿真驗證，得到了其動力學曲線。

基于仿真結(jié)果可知，行星輪與太陽輪之間的接觸力要比行星輪與固定輪之間的接觸力要小，適當在齒輪之間增加潤滑裝置可以提高非圓齒輪系統(tǒng)的性能。

通過對非圓齒輪系統(tǒng)動力學性能的研究，不僅得到了非圓齒輪系統(tǒng)的運動規(guī)律和動力學曲線，而且對以后的非圓齒輪結(jié)構(gòu)改進設計提供參考依據(jù)。