帶輸入飽和的耦合波方程的邊界反饋鎮(zhèn)定

武潔瓊， 任 倩

（山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，太原 030006）

本文用(?)′和(?)?分別表示對(duì)x和t求導(dǎo). 考慮通過位移耦合的波振動(dòng)系統(tǒng)：

其中：L 是弦的長度；M 是尖端載荷質(zhì)量；ρ 是弦的單位長度質(zhì)量；T 是弦的張力；u 是控制函數(shù). 方便起見，假設(shè)耦合系數(shù)a b c d 是正常數(shù). 本文旨在設(shè)計(jì)具有飽和約束［1］的反饋控制u 以使得耦合波系統(tǒng)的閉環(huán)系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定，即設(shè)計(jì)反饋控制u(t)滿足

其中：sgn(?)是符號(hào)函數(shù)；u0(?)是要設(shè)計(jì)的控制函數(shù)；umax是飽和限度. 為了消除輸入飽和約束效應(yīng)，引入一個(gè)輔助系統(tǒng). 通過構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)姆e分Lyapunov 函數(shù)，證明受控的閉環(huán)系統(tǒng)是指數(shù)穩(wěn)定的. 最后，借助Galerkin方法證明了閉環(huán)系統(tǒng)的適定性.

控制約束是現(xiàn)代工程學(xué)的一個(gè)普遍要求. 自控制約束產(chǎn)生以來，帶約束的控制問題就受到了許多學(xué)者廣泛的關(guān)注. 讀者可以參考文獻(xiàn)［1-5］進(jìn)一步了解控制約束的相關(guān)內(nèi)容.

關(guān)于波方程的鎮(zhèn)定問題已有許多學(xué)者研究. 文獻(xiàn)［6］設(shè)計(jì)了一種基于觀測(cè)器的邊界控制方法以實(shí)現(xiàn)一般邊界諧波擾動(dòng)下的波的漸近穩(wěn)定. 文獻(xiàn)［7］針對(duì)不穩(wěn)定波設(shè)計(jì)了一種邊界控制器，實(shí)現(xiàn)了閉環(huán)系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定. 文獻(xiàn)［8］中采用了backstepping法設(shè)計(jì)了一個(gè)邊界控制，證明了閉環(huán)系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性. 文獻(xiàn)［9］研究了不穩(wěn)定波的邊界輸出反饋鎮(zhèn)定問題，設(shè)計(jì)了輸出反饋控制器使得閉環(huán)系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定. 文獻(xiàn)［6-9］的控制函數(shù)沒有任何約束條件. 文獻(xiàn)［4］研究單個(gè)波系統(tǒng)的反饋鎮(zhèn)定性，假設(shè)控制函數(shù)滿足上面的約束條件，設(shè)計(jì)了相應(yīng)的邊界輸出反饋控制，實(shí)現(xiàn)了閉環(huán)系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性. 文獻(xiàn)［10］研究邊界帶有擾動(dòng)的波系統(tǒng)的帶飽和約束的邊界反饋鎮(zhèn)定性.

以上所有文章都是關(guān)于單個(gè)波系統(tǒng)的反饋控制. 然而，耦合是工程中普遍存在的現(xiàn)象. 例如文獻(xiàn)［11-12］研究的模型是兩根具有尖端質(zhì)量的彈性弦，它們由彈性彈簧連接. 其中，文獻(xiàn)［11］的耦合波系統(tǒng)不僅是通過波系統(tǒng)的內(nèi)部耦合，而且通過彈性或黏彈性材料實(shí)現(xiàn)邊界耦合；而文獻(xiàn)［12］的耦合波只是在左端點(diǎn)處通過彈性彈簧連接. 文獻(xiàn)［13］考慮了基爾霍夫板方程和波動(dòng)方程組成的耦合系統(tǒng)，得到了耦合系統(tǒng)的穩(wěn)定性.文獻(xiàn)［14］研究彎矩耦合的薄膜的邊界控制問題.

關(guān)于帶有輸入飽和約束的耦合波系統(tǒng)的反饋鎮(zhèn)定，據(jù)我們所知，還沒有研究成果. 我們注意到耦合的情形與單個(gè)系統(tǒng)的情形有許多不同. 比如單個(gè)系統(tǒng)對(duì)弦的長度和張力參數(shù)不需要任何假設(shè)就可以實(shí)現(xiàn)反饋鎮(zhèn)定，而耦合情形則需要限制弦的長度和張力常數(shù)滿足一定的條件. 在這些條件下，我們用同一個(gè)動(dòng)態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定. 我們的研究結(jié)果推廣了文獻(xiàn)［4］關(guān)于單個(gè)波振動(dòng)系統(tǒng)的反饋鎮(zhèn)定性結(jié)果.

1 控制器設(shè)計(jì)

基于一個(gè)積分Lyapunov函數(shù)設(shè)計(jì)一種邊界動(dòng)態(tài)反饋控制器，使得耦合波系統(tǒng)的閉環(huán)系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定.假設(shè)λ 是使得下式成立的Poincare系數(shù)

為了消除飽和的約束效應(yīng)，引入一個(gè)輔助系統(tǒng)：

其中：ζ(t)是輔助系統(tǒng)的狀態(tài)；p是待定的常數(shù)；k0＞0 Δu(t)=u(t)-u0(t) ζ0是一個(gè)小的正參數(shù)；u0(t)是要設(shè)計(jì)的控制函數(shù)（見定理1的證明）

為了證明系統(tǒng)（1）式在動(dòng)態(tài)反饋（3）式和（4）式下的閉環(huán)系統(tǒng)是適定的，先假設(shè)這一結(jié)論成立，證明以下的主要結(jié)論.

定理1 假設(shè)輔助系統(tǒng)（3）式中的p 滿足輔助系統(tǒng)（3）式的初始值是有界的，那么（I）當(dāng)耦合系數(shù)滿足a ＞b,c ＞b 且

時(shí)，系統(tǒng)（1）式在動(dòng)態(tài)反饋（3）式和（4）式下的閉環(huán)系統(tǒng)的信號(hào)w v 和ζ 是指數(shù)穩(wěn)定的.

（II）若a ≤b 則假設(shè)T+(a-b)λ ＞0 若c ≤b 則假設(shè)T+(c-b)λ ＞0 且參數(shù)a,b,c,d 和ρ,T,L 滿足式（5）時(shí)，系統(tǒng)（1）式在動(dòng)態(tài)反饋（3）式和（4）式下的閉環(huán)系統(tǒng)的信號(hào)w v 和ζ 也是指數(shù)穩(wěn)定的.證明 令V1(t)是由系統(tǒng)的能量構(gòu)造的輔助函數(shù)

令輔助函數(shù)V2(t)如下

令η(t)是由交叉項(xiàng)構(gòu)造的輔助函數(shù)

以上三式中的α 和β 是待定的正常數(shù). 構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

如果能夠證明V(t)＞0 且V?(t)≤-λ?V(t)，其中λ?是某個(gè)正常數(shù)，那么就得到了閉環(huán)系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性. 為此，下面先估計(jì)V1(t) . 由Poincare不等式，有

其中：λ 是式（2）中的Poincare系數(shù). 另一方面，由Young不等式易得

方便起見，令式（7）的右邊為V?1(t) . 由式（7）和式（8）知，當(dāng)a ＞b,c ＞b 或T+(a-b)λ ＞0 T+(c-b)λ ＞0 時(shí)，存在正常數(shù)q 使得

由Young不等式和式（9），對(duì)η(t)有以下估計(jì)：

下面對(duì)V(t)求導(dǎo)，并估計(jì)其中各項(xiàng).

注意到式（1）的前兩個(gè)方程，在上式中關(guān)于x 分部積分，再應(yīng)用Poincare不等式（2）式，得到

因此，如果設(shè)計(jì)u0(t)為

其中：k1＞0 和k2＞0 是控制增益常數(shù)，則由式（13）得

對(duì)η(t)求導(dǎo)，有

由式（1）和Poincare不等式（2），有

結(jié)合式（12），（14），（15）和式（6）得

注意到定理1的假設(shè)條件，可以選取α 和β 使得

令

注記：以上討論中假設(shè)了耦合系數(shù)均為正數(shù). 當(dāng)耦合系數(shù)不都是正數(shù)時(shí)，只需要在相關(guān)的估計(jì)中用其絕對(duì)值，也可以得到類似的結(jié)論. 因此“耦合系數(shù)為正”的假設(shè)不是必需的.

2 閉環(huán)系統(tǒng)的適定性

并且滿足邊界條件

其中：u 是式（4）中設(shè)計(jì)的反饋控制，并且在式（4）中用wn和vn替代w 和v .

為了應(yīng)用Galerkin方法，我們將令n →∞，因此首先需要一些一致有界的估計(jì).

引理1 存在正常數(shù)C 使得

用類似于定理1的證明方法，有

由式（22）知存在正數(shù)M1使得

其中：M2＞0 . 類似地，我們有

其中：M3,M4＞0. 結(jié)合式（23）、（26）得到式（21）.

在以上兩式中令n=nl，令l →∞，注意到式（27），得到

為了證明解的唯一性，只需證明當(dāng)v1(x,0)=v?1(x,0)=v2(x,0)=v?2(x,0)=0 時(shí)，式（31）的解是v1(x,t)=v2(x,t)≡0 . 用v?1和v?2分別替換式（31）中第一個(gè)和第二個(gè)方程的?，并且應(yīng)用類似于文獻(xiàn)［4］中3.2.2節(jié)的方法，得到

其中：M5＞0 是一個(gè)常數(shù)；由Gronwall定理，有v1=v2=0，即w=wˉ，v=vˉ.