中國(guó)消費(fèi)者價(jià)格指數(shù)應(yīng)用研究——基于調(diào)和分整自回歸移動(dòng)平均模型

王 錦，商 豪

(湖北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，湖北 武漢 430068)

近年來用于刻畫時(shí)間序列長(zhǎng)記憶性特征的模型層出不窮，其中，Granger[1]和Hosking[2]提出的ARFIMA模型成為描繪時(shí)間序列長(zhǎng)期記憶性常用的工具。ARFIMA模型克服了傳統(tǒng)時(shí)序模型只能描繪短期記憶性的缺陷，通過引入分?jǐn)?shù)維差分參數(shù)，使其具備擬合時(shí)間序列過程長(zhǎng)記憶性的能力。ARFIMA模型得到廣泛應(yīng)用，但有學(xué)者指出該模型在擬合長(zhǎng)期記憶性較弱的時(shí)間序列過程中是失效的[3-4]?；诖藛栴}，Meerschaert[5]等人發(fā)現(xiàn)調(diào)和分整過程展現(xiàn)出的半長(zhǎng)期記憶性(semi-long range dependence)能夠很好地刻畫長(zhǎng)期記憶性較弱的時(shí)間序列過程。這種半長(zhǎng)期記憶性具體表現(xiàn)為序列過程的自相關(guān)函數(shù)在前期緩慢下降，呈現(xiàn)雙曲線形式，后期則以指數(shù)率迅速衰減。由此Meerschaert[6]在研究大氣湍流速度數(shù)據(jù)的過程中首次在ARFIMA模型的基礎(chǔ)上加入調(diào)和參數(shù)，提出了調(diào)和分整自回歸移動(dòng)平均模型(ARTFIMA)，用以擬合具有半長(zhǎng)期記憶性的平穩(wěn)時(shí)間序列過程。

本文通過分析中國(guó)居民消費(fèi)者價(jià)格指數(shù)的記憶特征，針對(duì)過程中存在的長(zhǎng)期記憶性特征建立ARTFIMA模型，并與ARFIMA模型進(jìn)行對(duì)比，最后通過譜密度擬合函數(shù)和預(yù)測(cè)效果驗(yàn)證ARTFIMA模型在中國(guó)居民消費(fèi)者價(jià)格指數(shù)的擬合和預(yù)測(cè)方面比ARFIMA模型更具優(yōu)越性。

1 模型說明

1.1 分整自回歸移動(dòng)平均模型

分整自回歸移動(dòng)平均模型ARFIMA(p,d,q)可以定義為整數(shù)階差分ARIMA(p,D,q)模型的推廣形式，其差分參數(shù)拓展到分?jǐn)?shù)維[7]。ARFIMA(p,d,q)表達(dá)形式如下：

式中：d∈R且d<0.5，p,q∈Z；Φ(B)=1-φ1B-φ2B2,…,φpBp，Θ(B)=1+θ1B+θ2B2+…+θqBq分別為p階自回歸多項(xiàng)式與q階移動(dòng)平均多項(xiàng)式，Φ(B)=0，Θ(B)=0的所有根都在單位圓外，且沒有重根；B為滯后算子；(1-B)d為分?jǐn)?shù)維差分算子，即

則稱yt=xt-μt為分整自回歸移動(dòng)平均模型。當(dāng)d<0.5，零均值的ARFIMA(p,d,q)過程是協(xié)方差平穩(wěn)的；如果0

1.2 調(diào)和分整自回歸移動(dòng)平均模型

調(diào)和分整自回歸移動(dòng)平均模型ARTFIMA(p,d,λ,q)在上述ARFIMA(p,d,q)模型的基礎(chǔ)上加入了調(diào)和參數(shù)λ。具體表達(dá)式如下：

式中：d∈R，λ>0，p,q∈Z；Φ(B)=1-φ1B-φ2B2,…,φpBp，Θ(B)=1+θ1B+θ2B2+…+θqBq分別為p階自回歸滯后算子與q階移動(dòng)平均滯后算子，Φ(B)=0，Θ(B)=0的所有特征根都在單位圓內(nèi)，且沒有公因子；B為后移算子；(1-e-λB)d是加入調(diào)和參數(shù)的分?jǐn)?shù)維差分算子，即

(1-e-λB)df(t)=

2 數(shù)據(jù)說明及預(yù)處理

本文的實(shí)證分析對(duì)象為中國(guó)居民消費(fèi)者價(jià)格指數(shù)(CPI)，數(shù)據(jù)來源于中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒。選取從2000年2月到2019年3月共230個(gè)月度數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)無缺失和異常情況。初步的描述性統(tǒng)計(jì)分析結(jié)果顯示樣本數(shù)據(jù)呈現(xiàn)輕微右偏和尖峰分布。運(yùn)用Jarque-Bera統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)得出CPI序列不滿足正態(tài)分布。

表1 CPI序列的基本統(tǒng)計(jì)特征

從CPI序列的時(shí)間序列圖(圖1)可以看出，CPI序列沒有明顯的趨勢(shì)性，但不具備平穩(wěn)性特征。利用ADF方法檢驗(yàn)CPI序列的單位根情況，結(jié)果顯示序列非平穩(wěn)。故對(duì)CPI進(jìn)行一階差分后得到一組新的時(shí)間序列，記為CPID1。一階差分后的CPI序列的時(shí)序圖如圖2所示。CPI和CPID1的ADF檢驗(yàn)結(jié)果見表2，從檢驗(yàn)結(jié)果可以看出CPID1為平穩(wěn)的時(shí)間序列過程，具備經(jīng)典時(shí)間序列模型平穩(wěn)性建模的前提條件。

圖1 CPI原始數(shù)據(jù)時(shí)間序列圖

圖2 一階差分后CPID1時(shí)間序列圖

表2CPI和CPID1樣本序列的單位根檢驗(yàn)結(jié)果

D-F統(tǒng)計(jì)量值P值結(jié)果CPI-2.5520.107接受原假設(shè),存在單位根CPID1-9.117<0.01拒絕原假設(shè),不存在單位根

3 實(shí)證分析

3.1 CPI序列的長(zhǎng)記憶性檢驗(yàn)

Hurst提出的重標(biāo)極差分析法(R/S方法)是分析時(shí)間序列是否具有長(zhǎng)期記憶性的有力工具，此方法通過計(jì)算Hurst指數(shù)判斷時(shí)間序列數(shù)據(jù)存在的記憶特征。當(dāng)Hurst指數(shù)介于數(shù)值0.5與1之間時(shí)，說明該序列存在持續(xù)性狀態(tài)，即具有長(zhǎng)期記憶性，且當(dāng)Hurst指數(shù)越接近1，相關(guān)性越強(qiáng)，持續(xù)性狀態(tài)越明顯；Hurst指數(shù)越接近0.5，說明存在越大的噪聲，持續(xù)性狀態(tài)越微弱。Hurst指數(shù)H的計(jì)算原理如下[9]：

1)定義待研究的時(shí)間序列數(shù)據(jù)為{xt,t>0}，將其劃分為長(zhǎng)度為n的A個(gè)連續(xù)子序列區(qū)間，每一個(gè)子序列區(qū)間記為Ia,a=1,…,A；

2)對(duì)各個(gè)子序列區(qū)間計(jì)算其均值

3)對(duì)每個(gè)子序列區(qū)間計(jì)算累積均值離差

4)計(jì)算每個(gè)子序列區(qū)間的標(biāo)準(zhǔn)差

5)計(jì)算A個(gè)子序列區(qū)間的平均重標(biāo)度極差

其中Ra=max(yk,a)-min(yk,a),k=1,…,n是單個(gè)子序列區(qū)間的極差；

6)利用Hurst提出的模型，建立關(guān)系式

(R/S)n=(c×n)H

兩邊取對(duì)數(shù)可得

log(R/S)n=H×logn+logc

通過最小二乘回歸求解H值。

利用上述R/S方法計(jì)算CPI序列的H指數(shù)，結(jié)果見表3。

表3 R/S長(zhǎng)記憶性檢驗(yàn)結(jié)果

根據(jù)R/S長(zhǎng)記憶檢驗(yàn)方法計(jì)算步驟，通過線性回歸計(jì)算得出H=0.621，結(jié)合擬合優(yōu)度R2統(tǒng)計(jì)量可知線性擬合效果較好。從H指數(shù)的數(shù)值來看，中國(guó)消費(fèi)者價(jià)格指數(shù)序列存在長(zhǎng)記憶性，但長(zhǎng)記憶性較弱。

3.2 建立ARTFIMA模型

根據(jù)長(zhǎng)記憶性檢驗(yàn)結(jié)果，建立可以擬合時(shí)間序列長(zhǎng)記憶性的ARTFIMA模型。首先針對(duì)一階差分后的CPID1樣本序列建立ARIMA模型，用以消除原始序列中存在的短期相關(guān)性。結(jié)合最小AIC和BIC準(zhǔn)則(表4)選取p=2,q=2作為相對(duì)最優(yōu)階數(shù)。運(yùn)用R軟件和極大似然估計(jì)法[8]對(duì)CPI序列建立ARTFIMA(2,d,λ,2)模型并進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，參數(shù)估計(jì)結(jié)果見表4。ARTFIMA(2,d,λ,2)模型的參數(shù)估計(jì)結(jié)果見表5。

表4 ARIMA模型信息準(zhǔn)則表(CPID1)

表5 ARTFIMA模型參數(shù)估計(jì)結(jié)果

模型表達(dá)式為：

3.3 建立ARFIMA模型

結(jié)合前人的研究[10]和上述長(zhǎng)記憶性檢驗(yàn)的結(jié)果，建立長(zhǎng)記憶ARFIMA(2,d,2)模型。利用極大似然估計(jì)法得出參數(shù)估計(jì)結(jié)果(表6)。

表6 ARFIMA模型參數(shù)估計(jì)結(jié)果

模型表達(dá)式如下：

3.4 模型對(duì)比

3.4.1 譜密度擬合函數(shù)對(duì)比運(yùn)用R軟件畫出上述建立的ARFIMA模型(圖3)與ARTFIMA模型(圖4)的譜密度函數(shù)擬合圖，該圖采用對(duì)數(shù)刻度反映頻率與譜密度之間的冪律關(guān)系，其中黑色實(shí)心曲線為模型的光譜擬合情況。從譜密度函數(shù)擬合圖的對(duì)比中可以看出，ARTFIMA模型在調(diào)和參數(shù)的作用下，對(duì)中低頻處的數(shù)據(jù)進(jìn)行了更好的擬合。

圖3 ARFIMA模型譜密度函數(shù)擬合圖

圖4 ARTFIMA模型譜密度函數(shù)擬合圖

3.4.2 預(yù)測(cè)效果對(duì)比運(yùn)用上述建立的ARFIMA和ARTFIMA模型對(duì)中國(guó)居民消費(fèi)者價(jià)格指數(shù)進(jìn)行3期預(yù)測(cè)，結(jié)果如表7所示。

表7 預(yù)測(cè)效果對(duì)比

從預(yù)測(cè)結(jié)果可以看出，ARTFIMA模型預(yù)測(cè)誤差為28.57%，而ARFIMA模型的預(yù)測(cè)誤差達(dá)到37.34%，說明ARTFIMA模型在中國(guó)居民消費(fèi)者價(jià)格指數(shù)序列的預(yù)測(cè)方面比ARFIMA模型更具優(yōu)越性。

3.5 模型有效性檢驗(yàn)

對(duì)上述兩個(gè)模型產(chǎn)生的殘差進(jìn)行白噪聲檢驗(yàn)，用于驗(yàn)證建立模型的有效性。具體方法為：分別對(duì)殘差序列和殘差平方序列進(jìn)行Ljung-Box純隨機(jī)性檢驗(yàn)，僅當(dāng)殘差和殘差平方序列同時(shí)通過Ljung-Box檢驗(yàn)，才認(rèn)為此殘差是白噪聲序列。從檢驗(yàn)結(jié)果可以看出，各殘差序列均是白噪聲序列，說明模型擬合是合理的。

表8 殘差白噪聲檢驗(yàn)

4 結(jié)束語

通過上述實(shí)證分析發(fā)現(xiàn)，中國(guó)居民消費(fèi)者價(jià)格指數(shù)雖具有長(zhǎng)期記憶性特征，但序列的相關(guān)性較弱，說明中國(guó)的消費(fèi)者市場(chǎng)沒有表現(xiàn)出隨機(jī)游走的特性，并不是一個(gè)完全獨(dú)立的過程，具有非線性、依賴性和潛在的可預(yù)測(cè)性。針對(duì)該序列表現(xiàn)出的長(zhǎng)期記憶性建立ARTFIMA模型，取得了較好的擬合和預(yù)測(cè)效果，為針對(duì)時(shí)間序列過程記憶性的建模方法提供了新的視角和可能。