“湊”而行 “解”則優(yōu)

王蘇文

(浙江省諸暨市浬浦中學(xué) 311824)

在解題過(guò)程中又該怎樣的“湊”呢？需要具備哪些基本素質(zhì)才能快速有效地得到解題途徑？本文通過(guò)四條途徑來(lái)“湊”出優(yōu)解.

一、察而“湊”之

例1已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，其圖象關(guān)于直線(xiàn)x=1對(duì)稱(chēng)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，當(dāng)x<1時(shí)，2f(x)+(x-1)f′(x)<0，那么不等式(x+1)2f(x+2)>f(2)的解集為( ).

A．(-∞,0) B．(-∞,-2)

C．(-2,0) D．(-∞,-2)∪(0,+∞)

分析要解此不等式需從單調(diào)性入手，而題中2f(x)+(x-1)f′(x)<0是解決單調(diào)性的關(guān)鍵，因此需“湊”出一個(gè)函數(shù)來(lái)解題.

解根據(jù)題意，取函數(shù)g(x)=(x-1)2f(x)，則g′(x)=(x-1)[2f(x)+(x-1)f′(x)].

又x<1時(shí)，2f(x)+(x-1)f′(x)<0，

故當(dāng)x<1時(shí)，g′(x)>0，即g(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞增.

又f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=1對(duì)稱(chēng)，則g(2-x)=g(x)，故函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=1對(duì)稱(chēng).

因此，g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減.

根據(jù)(x+1)2f(x+2)>f(2)知，g(x+2)>g(2)，

結(jié)合單調(diào)性可知：只需0

例2計(jì)算cos20°cos40°cos80°的值等于____.

分析題中20°,40°,80°均非特殊角，因此不宜直接求解，但三個(gè)角存在二倍關(guān)系，因此可“湊”一個(gè)角利用二倍角公式合二為一.本題“湊”上一個(gè)sin20°，可創(chuàng)造持續(xù)使用二倍角公式，減少三角函數(shù)量.

解cos20°cos40°cos80°

在三角函數(shù)的求值過(guò)程中，往往需要觀(guān)察角與角之間的關(guān)系，方可快速、有效地找到解題捷徑，實(shí)際上在三角函數(shù)值中經(jīng)常用配湊角的思想方法來(lái)解題.

在數(shù)學(xué)解題中，式子、數(shù)字是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，若能正確掌握數(shù)字或式子的結(jié)構(gòu)特征，會(huì)使問(wèn)題迎刃而解.

二、仿而“湊”之

分析本題如若直接建立基底，對(duì)運(yùn)算和解題均帶來(lái)一定的障礙，對(duì)于平面向量中式子2x+10y=5與三點(diǎn)共線(xiàn)的定理有密不可分的聯(lián)系，因此可仿而“湊”之.

在平面向量的這些類(lèi)似問(wèn)題的處理中顯得格外清晰，柳暗花明.因此，在解題中，如能關(guān)注平時(shí)的一些定理、特殊結(jié)論等，并合理應(yīng)用能使解題游刃有余.

三、果而“湊”之

分析此類(lèi)式子的最大值問(wèn)題，往往采用基本不等式求解，即一方面要將積xy變成x2,y2，另一方面恰好能使x2,y2抵消.因此如何“湊”出平方和的基本不等式，這是本題的關(guān)鍵所在.

分析從題目的形式來(lái)看，求Cn+Cn+1的最小值，如若直接求，運(yùn)算較為繁復(fù)，因此找到有效的突破口是本題的關(guān)鍵，作為小題可嘗試運(yùn)用特殊值法進(jìn)行規(guī)律探索.

四、換而“湊”之

分析若此題展開(kāi)求解sinα,cosα，進(jìn)而求解sin2α,cos2α運(yùn)算量較大.如若直接找到所求角與已知角的關(guān)系，解題也就水到渠成，運(yùn)用換元法可使問(wèn)題豁然開(kāi)朗.

例7已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=2，an+1=3an+2n-1，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是____.

分析數(shù)列通項(xiàng)求解往往通過(guò)構(gòu)造一個(gè)新的等差(或等比)數(shù)列，然后尋找首項(xiàng)和公差(比).因此與題中條件湊出一個(gè)新數(shù)列是問(wèn)題的關(guān)鍵，根據(jù)結(jié)構(gòu)特征可用換元法處理.

解令an+1+A(n+1)+B=3(an+An+B)，由an+1=3an+2n-1得，A=1,B=0，則an+1+(n+1)=3(an+n)，故{an+n}是一個(gè)首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，因此an+n=3n，即數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=3n-n.

在平時(shí)解題中，對(duì)于表面上無(wú)法看清的式子或結(jié)構(gòu)特征，有時(shí)采用換元法可使問(wèn)題簡(jiǎn)潔、明了.

數(shù)學(xué)問(wèn)題往往在形式上呈現(xiàn)多樣性和復(fù)雜性，在思維和解題上表現(xiàn)靈活性，在直接解決問(wèn)題受阻時(shí)，如果恰當(dāng)使用拼湊法，就可以使解題達(dá)到最優(yōu)的效果，總之拼湊法也是數(shù)學(xué)解題中比較常用的一種方法.