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      對一道關(guān)于三角函數(shù)高考題的教學(xué)思考與延伸

      2020-03-30 05:35:38何正文
      數(shù)理化解題研究 2020年7期
      關(guān)鍵詞:人教高考題余弦定理

      何正文

      (廣東省肇慶市百花中學(xué) 526000)

      2019年高考三角函數(shù)題型是我們教學(xué)的典型而且普遍的題,而且與課本有很多聯(lián)系,但是因?yàn)楹芏嗬蠋焸淇紩r(shí)沒有重視,沒有充分挖掘其關(guān)系,備考中往往事倍功半.我們要從這次高考試題所蘊(yùn)含的價(jià)值,重視高考試題的教學(xué)啟發(fā)作用,是提高高三復(fù)習(xí)效率的關(guān)鍵途徑,促使高三教師能夠在課本習(xí)題與高考試題之間搭建關(guān)聯(lián).下面談一談教師關(guān)于解三角形教與學(xué)的思考與適度延伸,希望對您有一些幫助.

      例1 (2019年全國1卷理(17))△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,設(shè)(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC.

      (1)求A;

      一、試題解析

      1.試題解答

      解(1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc.

      因?yàn)?°

      sinC=sin(C+60°-60°)

      2.題意分析

      解三角形題在高考題屬中偏易難度,幾乎所有高三數(shù)學(xué)老師要求學(xué)生對此類問題基本能得到高分.而且此類題型的確容易上手.本題的破解需要考生對結(jié)論有一個(gè)預(yù)見性的思維模式.

      3.此題在教材上的對應(yīng)類題

      題2 (人教A版高中數(shù)學(xué)《必修5》教材習(xí)題1.2A組(14))在△ABC中,角A,B,C所對應(yīng)的邊分別為a,b,c,求證:c(acosB-bcosA)=a2-b2.

      解法同例1:利用余弦定理、正弦定理、c=acosB+bcosA可證明結(jié)論.

      反思以上高考題(17)是教材A習(xí)題(14)的深度加工,并且均可以從正弦定理余弦定理等角度進(jìn)入思考、做出解答.高考題(17)相比之下讓考生更加容易入手.

      4.本題在高考中的類題

      (1)求sinBsinC;

      (2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周長.

      反思以上從三個(gè)角度思考有關(guān)邊角關(guān)系的三角形問題,我們比較發(fā)現(xiàn)此時(shí)利用任意三角形性質(zhì)更為快捷得出正確結(jié)論.

      二、引發(fā)的教學(xué)思考與延伸

      1.重視課本例習(xí)題發(fā)散思考,一題多變

      在教學(xué)中,需要我們重視課本的例習(xí)題對知識的分析變形運(yùn)用功能,教學(xué)中利用例題、習(xí)題適度改編,強(qiáng)化重要定理公式或重點(diǎn)結(jié)論,由此可培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維.

      題4 (人教A版必修5第4頁例2) 在△ABC中,a=20cm,b=28cm,A=40°,解三角形.

      改編1: 在△ABC中,a=16,b=26,A=30°,解三角形.

      改編2:在△ABC中,a=30,b=26,A=30°,解三角形.

      改編3:在△ABC中,若b=2asinB,求A的大小.

      改編5:在△ABC中,已知C=2B,求bc的取值范圍.

      改編6:在△ABC中,已知A+C=2B,b=1,求a+c的取值范圍.

      題5 (人教A版必修5P10習(xí)題1-1B組2)在△ABC中,如果有性質(zhì)acosA=bcosB,試問這個(gè)三角形的形狀具有什么特征?

      改編1:在△ABC中,若acosA+bcosB=ccosC,則△ABC的形狀有什么特征?

      改編2:在△ABC中,已知sinC=2sinAcosB,試證明△ABC是等腰三角形.

      2.重視高考試題的教學(xué)功能,一題多解

      學(xué)生在求解此類題目時(shí),由于對正弦定理、余弦定理意義與特征掌握不夠到位,教師可以注重引入相應(yīng)高考試題的一題多解,引導(dǎo)學(xué)生從知識不同角度入手,從某個(gè)相關(guān)公式思考,從有關(guān)圖形思考,或者等價(jià)轉(zhuǎn)化成另外一類熟悉的問題進(jìn)行探討.

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