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    基于圍線積分引理的信號(hào)變換域分析方法*

    2020-03-30 01:35:24陳紹榮陳柏良薛在陽(yáng)
    通信技術(shù) 2020年2期
    關(guān)鍵詞:拉普拉斯雙邊卷積

    陳紹榮,何 健,陳柏良,薛在陽(yáng)

    (1.陸軍工程大學(xué)通信士官學(xué)校,重慶 400035;2.軍委裝備發(fā)展部軍事代表局駐成都地區(qū)軍事代表室,四川 成都 610041;3.深圳市惟新科技股份有限公司,廣東 深圳 518000;4.奧特斯科技(重慶)有限公司,重慶 401133)

    0 引 言

    早期的《信號(hào)與系統(tǒng)》著作[1-2]涉及復(fù)平面上的圍線積分引理,由于對(duì)圍線積分引理?xiàng)l件的敘述不嚴(yán)謹(jǐn),因此使用時(shí)缺乏可操作性,在查閱有關(guān)《復(fù)變函數(shù)》著作[3]及近期的《信號(hào)與系統(tǒng)》著作[4]的基礎(chǔ)上,證明了圍線積分引理,基于圍線積分引理,研究了s域卷積運(yùn)算問(wèn)題,給出了利用區(qū)左極點(diǎn)或區(qū)右極點(diǎn)計(jì)算s域卷積的留數(shù)方法;依據(jù)連續(xù)時(shí)間非周期信號(hào)的ILT導(dǎo)出了非周期序列的IZT,基于圍線積分引理,給出了利用區(qū)外極點(diǎn)計(jì)算有終序列的IZT及計(jì)算z域卷積的留數(shù)方法,提出了利用兩個(gè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)各自的雙邊LT來(lái)計(jì)算時(shí)域卷積信號(hào)及積信號(hào)相應(yīng)樣值序列的雙邊ZT的方法。

    1 圍線積分引理

    設(shè)CR是s平面上半徑為|s|=R的圓周,CABC是CR上的任意一段圓弧,如圖1所示。

    圖1 s平面上圍線積分引理示意圖

    若函數(shù)F(s)在圓弧CABC上連續(xù),并且滿足條件:

    則有:

    證明:

    在圓弧 CABC上,令 s=Rejθ,則 ds=jRejθdθ,因?yàn)椋詫?duì)任意ε>0,存在充分大的正數(shù)R0,當(dāng)|s|=R>R0時(shí),則有:

    考慮到式(3),則有:

    由式(4)可知,式(2)成立。

    結(jié)論1:

    若函數(shù)F(s)在CR上連續(xù),并且則有:

    2 基于圍線積分引理的信號(hào)變換域分析方法

    2.1 基于圍線積分引理及留數(shù)定理計(jì)算s域的卷積積分

    式中,G(w)=Fa1(w)Fa2(s-w),w=λ+jΩw,s=σ+jΩ,考 慮 到 α1<λ<β1,α2<σ-λ<β2, 則 α1+α2<σ<β1+β2。λ0位 于 G(w)的 收 斂 域 λ1<λ<λ2之 內(nèi), 其 中,λ1=min(α1,σ-β2),λ2=min(β2,σ-α2)。

    設(shè)CR是w平面上半徑|w|=R的圓周,CABC(CADC)是CR上的逆時(shí)針(順時(shí)針)方向的一段弧,如圖2所示。

    圖2 w平面上圍線積分引理示意圖

    由圍線積分引理可知,若函數(shù)G(w)在CR上連續(xù),并且滿足條件:

    考慮到式(10),則式(8)可對(duì)G(w)的區(qū)左極點(diǎn)wi(i=1,2,…,p1)(Re[wi]≤λ1的極點(diǎn)),利用留數(shù)定理進(jìn)行計(jì)算,即:

    考慮到式(11),則式(8)也可對(duì)G(w)的區(qū)右極點(diǎn)wj(j=1,2,…,p2)(Re[wj]≥λ2的極點(diǎn)),利用留數(shù)定理進(jìn)行計(jì)算,即:

    式(13)中的負(fù)號(hào)是由于圍線繞行方向?yàn)樨?fù)向(即順時(shí)針?lè)较颍┑木壒省?/p>

    若G(w)的區(qū)右極點(diǎn)數(shù)目較少時(shí),適宜用式(13)進(jìn)行計(jì)算,否則,適宜用式(12)進(jìn)行計(jì)算。

    2.2 基于圍線積分引理及留數(shù)定理計(jì)算IZT

    考慮到:

    式中,Ωs=2π/T。

    對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào)fa(t)抽樣,其樣值信號(hào)f^(t)可寫(xiě)成:

    設(shè):

    考慮到式(16),對(duì)式(15)兩邊取雙邊LT,可得:

    其實(shí),式(17)還可寫(xiě)成:

    式中,f(n)=fa(nT),z=esT,并且:

    稱(chēng)F(z)為序列f(n)的z變換(ZT),也稱(chēng)F(z)為序列f(n)的象函數(shù)。

    考慮到連續(xù)時(shí)間信號(hào)fa(t)的雙邊LT的象函數(shù)Fa(s)的收斂域?yàn)棣粒鸡遥鸡?,因?yàn)閦=esT,所以象函數(shù)F(z)的收斂域?yàn)?Ra=eαT<|z|<eβT=Rb。并將 F(z)的 |z|≤Ra的極點(diǎn)稱(chēng)為區(qū)內(nèi)極點(diǎn),將F(z)的|z|≥Rb的極點(diǎn)稱(chēng)為區(qū)外極點(diǎn)。

    考慮到式(17),由式(18)可以得到:

    考慮到式(20)及拉普拉斯逆變換(ILT)式,則有:

    式(21)稱(chēng)為象函數(shù)F(z)的逆z變換(IZT),其中,c1為T(mén)(z)=F(z)zn-1的收斂域內(nèi)的正向閉曲線。

    先在z平面上F(z)的收斂區(qū)域Ra<|z|<Rb內(nèi)畫(huà)一條正向圓周曲線c1,再引入一條半徑為無(wú)窮大的圓周曲線c2,最后選取一條將T(z)=F(z)zn-1的所有區(qū)外極點(diǎn)zp包括在內(nèi)的積分路徑,如圖3所示。

    圖3 z平面上極點(diǎn)的圍線積分路徑示意圖

    設(shè)

    式中,ai(i=0,1,2,…,N)和bj(j=0,1,2,…,m)為常數(shù)。

    令q=N-m,T(z)=F(z)zn-1,若n≤q-1,即q-n≥1時(shí),則有:

    由于式(23)滿足圍線積分引理的條件,因此,有:

    由圖3可知,對(duì)區(qū)外極點(diǎn)zp(p=1,2,…,n2)作逆z變換時(shí),沿閉曲線積分的路徑由4段構(gòu)成,它們分別是c1、c2、d1及d2。因?yàn)閐1+d2線段的積分恒等于零,由式(24)可知,沿著c2的積分也恒等于零,于是逆z變換(IZT)可用下式計(jì)算,即:

    式中,ε(n)為單位階躍序列,zp(p=1,2,…,n2)是T(z)=F(z)zn-1的區(qū)外極點(diǎn)(即T(z)在正向閉曲線c1外的極點(diǎn)),n2為區(qū)外極點(diǎn)數(shù)目,負(fù)號(hào)是因所有的區(qū)外極點(diǎn)zp始終在積分路徑c1右側(cè)的緣故;vi(i=1,2,…,n1)是T(z)=F(z)zn-1的區(qū)內(nèi)極點(diǎn),n1為區(qū)內(nèi)極點(diǎn)數(shù)目。

    2.3 基于圍線積分引理及連續(xù)時(shí)間信號(hào)的雙邊LT確定相應(yīng)序列的雙邊ZT

    考慮到拉普拉斯逆變換式,則式(19)可寫(xiě)成:

    則式(26)可寫(xiě)成:

    可見(jiàn),式(28)中的第一部分僅與Fa(s)的區(qū)左極點(diǎn)(Re[s]≤α的極點(diǎn))有關(guān);第二部分僅與Fa(s)的區(qū)右極點(diǎn)(Re[s]≥β的極點(diǎn))有關(guān)。

    其實(shí),計(jì)算式(28)的復(fù)變函數(shù)積分,還是非常困難的,下面假設(shè)Fa(s)是真分式,進(jìn)一步研究式(28)的復(fù)變函數(shù)積分問(wèn)題。

    在s平面上,以s=0為圓心,作一半徑為R的圓周CR,與路徑σ=σ0±j∞(α<σ0<β)交于 A點(diǎn)和 C點(diǎn),CABC(CADC)是CR上逆時(shí)針(順時(shí)針)方向的一段弧,如圖4所示。

    圖4 s平面上圍線積分路徑示意圖

    令:

    顯然,式(30)滿足圍線積分引理?xiàng)l件,于是,有:

    考慮到式(31)及式(32),則式(28)可寫(xiě)成:

    式中,s=λl(l=1,2,…,p)是Fa(s)的第l個(gè)區(qū)左極點(diǎn)(Re[λl]≤ α 的 極 點(diǎn)),s=sr(r=1,2,…,q)是 Fa(s)的第r個(gè)區(qū)右極點(diǎn)(Re[sr]≥β的極點(diǎn))。

    結(jié)論2:

    式(33)揭示了一種直接利用連續(xù)信號(hào)的雙邊拉普拉斯變換來(lái)計(jì)算相應(yīng)樣值序列的雙邊z變換的方法。

    討論:

    (1)設(shè)

    考慮到式(6)及式(7),對(duì)式(34)兩邊取雙邊LT,可得:

    結(jié)論3:

    式(36)揭示了一種直接利用兩個(gè)連續(xù)信號(hào)各自的雙邊拉普拉斯變換來(lái)計(jì)算卷積信號(hào)相應(yīng)樣值序列的雙邊z變換的方法。

    (2)設(shè)

    考慮到式(8),對(duì)式(37)兩邊取雙邊LT,可得:

    結(jié)論4:

    式(39)揭示了一種直接利用兩個(gè)連續(xù)信號(hào)各自的雙邊拉普拉斯變換來(lái)計(jì)算積信號(hào)相應(yīng)樣值序列的雙邊z變換的方法。

    2.4 基于圍線積分引理及留數(shù)定理計(jì)算Z域的卷積積分

    由式(37)可知,對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào)fa(t)抽樣,其樣值序列可寫(xiě)成:

    積序列f(n)=f1(n)f2(n)的z變換除了利用式(39)進(jìn)行計(jì)算外,還可用下述方法進(jìn)行計(jì)算。

    考慮到式(40)、式(20)、式(38)及式(8),則有:

    vi(i=1,2,…,p1)為G(v)在v平面上的區(qū)內(nèi)極點(diǎn),即|vi|≤max(va1,|z|/Rb2)的極點(diǎn)。

    假設(shè)vj(j=1,2,…,p2)為G(v)在v平面上的區(qū)外極點(diǎn),即的極點(diǎn)。為了利用G(v)的區(qū)外極點(diǎn)來(lái)計(jì)算F12(z),先在v平面上G(v)的收斂區(qū)域R1<|v|<R2內(nèi)畫(huà)一條正向圓周曲線c1,再引入一條半徑為無(wú)窮大的圓周曲線c2,最后選取一條將G(v)的所有區(qū)外極點(diǎn)vj均包括在內(nèi)的積分路徑,如圖5所示。

    圖5 v平面上極點(diǎn)的圍線積分路徑示意圖

    若滿足條件圍線積分引理?xiàng)l件:

    則有:

    由圖5可知,G(v)對(duì)區(qū)外極點(diǎn)vj(j=1,2,…,p2)作閉曲線積分時(shí),沿閉曲線積分的路徑由4段構(gòu)成,它們分別是c1、c2、d1及d2。因?yàn)閐1+d2線段的積分恒等于零,由式(48)可知,沿著c2的積分也恒等于零,于是,有:

    式中,G(v)=F1(v)F2(z/v)v-1,vj(j=1,2,…,p2)是 G(v)的區(qū)外極點(diǎn),負(fù)號(hào)是由于圍線繞行方向?yàn)樨?fù)向(即順時(shí)針?lè)较颍┑木壒?,F(xiàn)12(z)的收斂域仍為

    當(dāng)G(v)的區(qū)外極點(diǎn)數(shù)目較少時(shí),適宜用式(49)進(jìn)行計(jì)算,否則,適宜用式(41)進(jìn)行計(jì)算。

    例:設(shè)象函數(shù)

    解:(1)考慮到式(50)及式(51),則有:

    由式(57)及式(58)可知,G(w)有2個(gè)區(qū)左極點(diǎn)w=-1,w=s-4;有4個(gè)區(qū)右極點(diǎn)w=2,w=3,w=s+2,w=s+3,由式(12)可得:

    (2)方法1:

    方法2:

    由式(63)可得:

    顯然,式(64)滿足圍線引理?xiàng)l件。

    由式(68)及式(69)可知,G(v)有2個(gè)區(qū)內(nèi)極點(diǎn)v=e-T,v=e-4Tz;有4個(gè)區(qū)外極點(diǎn)v=e2T,v=e3T,v=e2Tz,v=e3Tz,由式(41)可得:

    (3)考慮到

    3 結(jié) 語(yǔ)

    本文基于圍線積分引理,給出了利用區(qū)左極點(diǎn)或右極點(diǎn)計(jì)算s域卷積的留數(shù)方法;依據(jù)連續(xù)時(shí)間非周期信號(hào)的拉普拉斯逆變換導(dǎo)出了非周期序列的逆z變換,基于圍線積分引理,給出了利用區(qū)外極點(diǎn)計(jì)算有終序列的逆z變換及計(jì)算z域卷積的留數(shù)方法;提出了一種直接利用連續(xù)時(shí)間信號(hào)的雙邊拉普拉斯變換來(lái)計(jì)算相應(yīng)樣值序列的雙邊z變換的方法,并分別給出了利用兩個(gè)連續(xù)信號(hào)各自的雙邊拉普拉斯變換來(lái)計(jì)算時(shí)域卷積信號(hào)及乘積信號(hào)相應(yīng)樣值序列的雙邊z變換的方法。

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