高中數(shù)學(xué)中的兩個“能量守恒”現(xiàn)象

孟辛亥

（甘肅省華亭市第一中學(xué) 甘肅華亭 744100）

大家都知道，化學(xué)中有一個重要的定律——“能量守恒定律”。其實(shí)，數(shù)學(xué)中同樣有兩個“守恒現(xiàn)象”值得總結(jié)掌握和熟練應(yīng)用。

一、數(shù)列中的“守恒”

在數(shù)列問題中，運(yùn)用“裂項相消法”和“錯位相減法”[1]求和時會遇到此類現(xiàn)象。下文舉例說明。

（2）設(shè)bn=，Tn是數(shù)列{bn}的前n項和，求使得Tn＜m/20對所有n∈N*都成立的最小正整數(shù)m。

然后易得m≥10。

總結(jié)：由于分母是一個等差數(shù)列的相鄰兩項之積，故在裂項相消的過程中會發(fā)現(xiàn)剩余的兩項是一正一負(fù)，即一首一尾。這正好體現(xiàn)了一種守恒。掌握這一現(xiàn)象后，學(xué)生自然會在計算過程格外注意剩下的項，不會發(fā)生少項或多項的錯誤。

（同學(xué)們在做完之后會發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律呢？提示：分母是相間項之積，故相消后剩余的項是兩正兩負(fù)，即兩正首兩負(fù)尾。）

此外，在用“錯位相消法”求和時，列式相減環(huán)節(jié)也會有一個守恒現(xiàn)象，即第一次是-0，最后一次（第n+1次）是0-q，也是首尾一正一負(fù)。

二、三角函數(shù)中的“守恒”

二倍角公式和半角公式極好地體現(xiàn)了“角系數(shù)和次數(shù)”[2]一升一降的守恒。

二倍角公式，如cos2α=2cos2α-1=1-2sin2α可以稱為次升系降。而由半角公式也可得sin2α=，我們不妨稱降次公式更為恰當(dāng)，即次降系升。半角畢竟特殊的，而應(yīng)用的時候，角是相對靈活的。

如此就能很好地防止類似錯誤，如：

防止此類錯誤的一個辦法就是通俗地理解角系數(shù)降實(shí)為縮小1/2，角系數(shù)升實(shí)為擴(kuò)大2倍，則上兩式學(xué)生不難得出正確結(jié)果：

例2 已知函數(shù)f(x)=sin2x+sinxcosx+2cos2x,x∈R。

（1）求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；

（2）函數(shù)f(x)的圖象可以由函數(shù)y=sin2x(x∈R)的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到？

分析：此題關(guān)鍵是對f(x)的化簡，運(yùn)用什么公式呢？

不合理的化簡：

如此，雖然老師可以運(yùn)用積化和差公式最終得出結(jié)論，但一來費(fèi)時費(fèi)力，二來新教材降低了難度，不要求運(yùn)用積化和差公式。對學(xué)生而言，他們就只能鉆進(jìn)死胡同。

合理的化簡：運(yùn)用降次公式，可保初次化簡后得到同角（2α）一次的有利效果。有

以下求解容易多了，這里不再說明。

在這里，學(xué)生處理時常常感到公式記住了，但難以正確、靈活地應(yīng)用。如果能在這里掌握這一現(xiàn)象并學(xué)會處理三角問題時“先角后名”的方法，學(xué)生就會輕松自如得多。

應(yīng)用練習(xí):已知α為銳角，且tanα=1/2，求的值。