彈塑性損傷蠕變模型的有限元數(shù)值實(shí)施

崔 賢，張 濤，黃文雄

(河海大學(xué) 力學(xué)與材料學(xué)院，江蘇 南京 210098)

隨著地下洞室開挖、油氣儲存、核廢料處理等項(xiàng)目的增多，軟巖流變特性對工程的安全性和穩(wěn)定性影響已經(jīng)成為國內(nèi)外地下工程領(lǐng)域的熱點(diǎn)問題，建立能夠描述軟巖流變特性的本構(gòu)模型變得至關(guān)重要，對于地下工程的變形和破壞的合理預(yù)測具有重要的工程意義[1-2]。

國內(nèi)外學(xué)者對軟巖的非線性蠕變進(jìn)行了大量研究，Cristescu等[3]主要研究了巖石的蠕變試驗(yàn)、損傷機(jī)理、本構(gòu)關(guān)系以及斷裂問題；Adachi等[4]提出了一個可以同時(shí)描述軟巖硬化和軟化的本構(gòu)模型。Jia等[5]根據(jù)泥巖的三軸試驗(yàn)結(jié)果，建立了在飽和狀態(tài)和非飽和狀態(tài)下都能適用的彈塑性損傷本構(gòu)模型。在與時(shí)間相關(guān)性方面，Borja等[6]建立了三維應(yīng)力狀態(tài)下濕黏性土與時(shí)間相關(guān)的本構(gòu)模型。Shao等[7]提出了一個短期可以描述彈塑性行為，長期可以描述巖石蠕變的本構(gòu)模型。Hunsche等[8]建立了一個彈黏塑性非線性的鹽巖力學(xué)模型，該模型可以模擬鹽巖的損傷、斷裂和膨脹。

肖欣宏等[9]利用Burgers模型和非線性黏彈塑性模型對水環(huán)境下紅層軟巖蠕變進(jìn)行了研究。賈善坡等[10]在修正Mohr-Coulomb準(zhǔn)則中引入了損傷變量建立了反映泥巖軟硬化的本構(gòu)模型。楊春和等[11]通過對鹽巖蠕變試驗(yàn)研究，提出了一個鹽巖非線性蠕變本構(gòu)方程。姜永東等[12]根據(jù)不同應(yīng)力水平產(chǎn)生的蠕變差異，建立了砂巖的蠕變本構(gòu)模型。

ABAQUS材料庫中的巖土類模型都是比較經(jīng)典的本構(gòu)模型，不能很好地描述軟巖流變特性，為了彌補(bǔ)這一不足，利用ABAQUS提供的用戶材料二次開發(fā)接口，對Shao等[7]模型的進(jìn)行了有限元數(shù)值實(shí)施。該模型數(shù)學(xué)公式簡單，參數(shù)不多且容易通過基本試驗(yàn)確定，能夠描述軟巖的三軸試驗(yàn)和體應(yīng)變特點(diǎn)，并且能進(jìn)一步考慮軟巖的流變特性。采用Fortran語言編寫了UMAT子程序，將模擬的結(jié)果和試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行對比，進(jìn)一步驗(yàn)證模型和程序的可靠性。

1 本構(gòu)模型

本文采用的本構(gòu)模型[6]包含兩部分，即彈塑性模型和考慮塑性損傷的蠕變模型，基礎(chǔ)模型描述軟巖的短期力學(xué)響應(yīng)，擴(kuò)展模型能反映軟巖在較長時(shí)段內(nèi)的蠕變變形。

1.1 彈塑性模型

基礎(chǔ)模型假定材料在應(yīng)力空間中的屈服面與破壞面相似。采用的強(qiáng)度條件在p-q坐標(biāo)系(應(yīng)力平面)的軌跡為拋物線，如圖1所示。該模型屈服函數(shù)為：

q2+Apr(p-C0)=0

(1)

圖1 破壞面和屈服面形態(tài)

材料在偏應(yīng)力作用下的屈服條件采用與強(qiáng)度條件相似的數(shù)學(xué)表達(dá)：

f(p,q,γp)=q2+αp(γp)Apr(p-C0)=0

(2)

式中：αp是硬化變量，依賴于塑性應(yīng)變。

(3)

(4)

該模型采用了非關(guān)聯(lián)流動法則，塑性函數(shù)采用與原始劍橋模型相似的形式：

(5)

式中：η是另外一個材料參數(shù)，該參數(shù)確定塑性勢面水平切線點(diǎn)連線的斜率；p1是塑性勢面與p軸左邊交點(diǎn)的坐標(biāo)(見圖2)，與計(jì)算塑性應(yīng)變增量的應(yīng)力點(diǎn)(當(dāng)前應(yīng)力狀態(tài))有關(guān)。

圖2 塑性勢面形態(tài)

1.2 擴(kuò)展的彈-黏塑性模型

上述模型經(jīng)過擴(kuò)展后，可考慮流變效應(yīng)，用以預(yù)測軟巖的長期變形。具體的做法是仿照Pitruszczak等[13]，引進(jìn)一個時(shí)變損傷變量 ，用于描述剛度和強(qiáng)度隨塑性變形發(fā)展而下降的規(guī)律：

E=(1-αζ)E0,A=(1-α1ζ)A0

(6)

式中：E0是初始楊氏模量，α描述剛度損傷，α1描述強(qiáng)度損傷。

建議的損傷變量演化規(guī)律為：

(7)

(8)

2 有限元數(shù)值實(shí)施

利用ABAQUS材料二次開發(fā)接口，可將上述模型編成UMAT子程序用于有限元數(shù)值分析。數(shù)值實(shí)施需要在一個典型的時(shí)間增量步[tn,tn+1] 上，在已知應(yīng)力狀態(tài)σn和應(yīng)變增量Δε求出的條件下，根據(jù)本構(gòu)關(guān)系求出應(yīng)力增量更新應(yīng)力，并且給出下一步計(jì)算的材料雅可比矩陣。具體如下。

2.1 隱式應(yīng)力積分回映算法

彈塑性模型的應(yīng)力積分一般在彈性預(yù)測基礎(chǔ)上，判斷加卸載。對于塑性加載步，本文采用隱式應(yīng)力積分回映算法，將超出屈服面的應(yīng)力調(diào)整返回到屈服面[8-9](見圖3)。

圖3 隱式應(yīng)力積分回映算法示意圖

(9)

式中： Δσe為彈性應(yīng)力增量，De為彈性矩陣。

(10)

按隱式積分格式，計(jì)算塑性應(yīng)變和內(nèi)變量增量：

(11)

式中：

(12)

采用牛頓法對非線性方程組(11)求解，在算法的塑性修正階段中，總應(yīng)變是一個定值，線性化只有一個變量，即塑性應(yīng)變因子增量Δλ。

牛頓法中應(yīng)用如下標(biāo)記：方程g(Δλ)=0線性化，令Δλ(0)=0：

(13)

式中：δλ(k)是在第k次迭代時(shí)Δλ的增量。

為了適應(yīng)牛頓迭代法，以公式(13)的形式寫出公式(11)中的塑性更新變量和屈服條件，省略公式角標(biāo)n+1:

(14)

線性化后：

(15)

式中：

(16)

(17)

式中：

(18)

由公式(17)可知應(yīng)力和硬化變量增量：

(19)

將結(jié)果(19)代入(15)3求解δλ(k)

(20)

式中：?f=[fσfαp]

參數(shù)更新后：

(21)

多次使用牛頓迭代法，直到結(jié)果收斂到更新屈服表面誤差范圍內(nèi)。

2.2 一致性切線剛度矩陣推導(dǎo)

應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為：

(22)

增量形式

(23)

根據(jù)流動法則，塑性應(yīng)變增量

(24)

其中：

(25)

把式(24)代入式(23)得到

(26)

式中：dλ由加載的一致性條件確定

(27)

其中：dαp=(dαp/dλ)dλ依賴塑性應(yīng)變，dA=(dA/dζ)dζ依賴損傷變量。

對df展開后得到：

(28)

其中：

(29)

把dλ代入式(26)

(30)

式中：

(31)

(32)

2.3 算法更新流程

第1步，設(shè)置初始值。損傷變量ζ是時(shí)間的顯函數(shù)，假定損傷變量ζ=0，利用式(8)，在當(dāng)前值ζ(t)已知的情況下，對給定的時(shí)間增量，利用積分中值定理

θ∈(0,1)

(33)

σ(0)=(1-αΔζ0)σn+DnΔε-Dnεp(0)

(34)

其中：Dn=(1-αζn)De。

第2步，第k次增量步后，檢查屈服函數(shù)收斂性。

(35)

若f(k)

第3步，計(jì)算塑性參數(shù)的增量。

(36)

第4步，得到應(yīng)力和硬化變量的增量。

(37)

第5步，更新變量。

(38)

令k=k+1，轉(zhuǎn)到第3步 。

3 UMAT二次開發(fā)

有限元商業(yè)軟件ABAQUS提供了UMAT子程序接口[15]，供用戶創(chuàng)建自定義材料模型。在增量步開始時(shí)，主程序在積分點(diǎn)上調(diào)用UMAT，根據(jù)傳入的應(yīng)變增量和狀態(tài)變量，計(jì)算出雅可比矩陣(見圖4)。

圖4 UMAT子程序分析流程圖

4 有限元程序驗(yàn)證

利用該本構(gòu)模型在ABAQUS軟件中開發(fā)了UMAT子程序，對不同圍壓下三軸壓縮試驗(yàn)和單軸蠕變試驗(yàn)進(jìn)行有限元數(shù)值模擬，將模擬結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果相比較，用以測試UMAT程序的可行性和準(zhǔn)確性。

4.1 不同圍壓常規(guī)三軸壓縮試驗(yàn)?zāi)M

常規(guī)三軸壓縮試驗(yàn)設(shè)置了2個圍壓等級，分別為2 MPa和10 MPa。試驗(yàn)的試樣為標(biāo)準(zhǔn)試樣(直徑50 mm，高100 mm)(模型見圖5)，試驗(yàn)加載采用軸向應(yīng)變控制方式，對試樣施加豎向位移2 mm。材料參數(shù)見表1。

表1 算例1的模型參數(shù)

圖6和圖7分別為圍壓2 MPa和10 MPa時(shí)的試樣應(yīng)力-應(yīng)變曲線和體積應(yīng)變曲線。從圖6和圖7可以看出，該模型的彈塑性模擬和試驗(yàn)結(jié)果有較好的一致性，但是10 MPa圍壓下的模擬結(jié)果比試驗(yàn)結(jié)果稍小，原因是在更高的圍壓條件作用下，材料的之間的孔隙受到壓縮變小，使彈性模量變大，導(dǎo)致模擬的結(jié)果偏小。材料的體積應(yīng)變曲線前期的結(jié)果與試驗(yàn)比較符合，后期材料進(jìn)入破壞階段，出現(xiàn)了小偏離。

圖5 三軸壓縮試驗(yàn)分析模型

圖6 圍壓為2 MPa時(shí)應(yīng)力-應(yīng)變和體積應(yīng)變曲線

圖7 圍壓為10 MPa時(shí)應(yīng)力-應(yīng)變和體積應(yīng)變曲線

4.2 蠕變試驗(yàn)?zāi)M

試樣模型不變，進(jìn)行了單軸蠕變模擬，首先在試樣垂直方向施加均布荷載力，其值從0 MPa逐漸增加到48.5 MPa,然后保持不變。蠕變模型新增加了三個新參數(shù)，取值如表2所示。

圖8為單軸壓縮蠕變試驗(yàn)?zāi)M曲線，從圖8中可以看出，模擬結(jié)果和蠕變的試驗(yàn)結(jié)果都較為相似，該模型可以表征該類泥巖的蠕變變形性能。

表2 算例2的模型參數(shù)

圖8 單軸壓縮蠕變試驗(yàn)?zāi)M曲線

5 開挖算例

為了進(jìn)一步驗(yàn)證模型的蠕變特性，建立一個地下無支護(hù)洞室對稱二維模型，尺寸如圖9所示，巖體參數(shù)選取依據(jù)為上述試驗(yàn)結(jié)果，巖體容重2.0×104N/m3，側(cè)壓力系數(shù)k=0.5，總時(shí)間T為100 d，固定左右邊界的水平位移和底部邊界的豎向位移，對其進(jìn)行計(jì)算分析。

圖9 地下洞室模型示意圖(單位：m)

圖10為開挖后的Mise云圖；圖11為巖體表面的水平位移和豎向位移圖；圖12為不同側(cè)壓力系數(shù)下洞頂位移隨時(shí)間變化圖。由圖10可知開挖后的應(yīng)力變化，右側(cè)頂部和底部的應(yīng)力比較大，應(yīng)該作為重點(diǎn)加固區(qū)域。從圖11可見，靠近中心線的巖體表面處的豎向位移最大，當(dāng)離中心線距離增大時(shí)豎向位移逐漸減小，而水平位移的方向指向中心線，反映了變形方向指向開挖面。為了研究不同側(cè)壓力水平對開挖位移的影響，由圖12可知，豎向位移隨k的增大而減小，不同的側(cè)向應(yīng)力只對開挖完成時(shí)的變形有影響，而后期蠕變的增長趨勢保持一致。

圖10 開挖后Mises應(yīng)力云圖

圖11 巖體表面的水平位移和豎向位移圖

圖12 不同側(cè)壓力系數(shù)下洞頂豎向位移隨時(shí)間變化

6 結(jié) 論

(1) 利用ABAQUS提供的UMAT子程序接口，實(shí)現(xiàn)了泥巖彈塑性損傷模型的二次開發(fā)。該模型簡單易懂，物理意義明確，能夠較好地反映泥巖的彈塑性變形和蠕變變形特性。

(2) 算例結(jié)果顯示，所采用的隱式積分回映算法具有很高的精確度和收斂性，能夠利用本模型反映軟巖的應(yīng)力應(yīng)變特性。

(3) 工程實(shí)例模擬結(jié)果符合實(shí)際，可以為大型復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的地下工程數(shù)值分析提供合理的建議，擴(kuò)大了ABAQUS在巖土工程中的應(yīng)用范圍，同時(shí)也為開發(fā)其他巖土類的本構(gòu)模型提供了參考。