寬行加工中行寬與主曲率的關(guān)系研究

賈英杰，陳志同

（北京航空航天大學(xué)機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院，北京 100191）

1 引言

在曲面加工中，寬行加工是有效提高加工效率的一種方法，通過優(yōu)化刀具的姿態(tài)實(shí)現(xiàn)加工行寬的最大化[1]。中點(diǎn)法[2]可以實(shí)現(xiàn)刀具與曲面間的雙點(diǎn)切觸，獲得較大行寬，是目前寬行加工中常用的刀位優(yōu)化算法。但由于中點(diǎn)法在刀位優(yōu)化過程中需要調(diào)整兩個(gè)以上的設(shè)計(jì)變量，若逐一優(yōu)化每個(gè)刀位，不僅需要耗費(fèi)大量計(jì)算時(shí)間，而且生成的刀軌容易出現(xiàn)波動(dòng)。

一行刀軌的行寬取決于每行刀軌的最窄行寬點(diǎn)，而對于行寬較大處，實(shí)際上沒有必要以行寬最大化為目標(biāo)對刀具姿態(tài)做充分優(yōu)化。如果只優(yōu)化計(jì)算最窄行寬處的刀位，其他刀位通過插值得到，這樣既節(jié)約了計(jì)算時(shí)間，又可以有效解決刀軌不光順問題。其中關(guān)鍵的一步，便是最窄行寬點(diǎn)的預(yù)測，這也是研究目的和意義所在。目前還沒有對關(guān)于曲面上最窄行寬點(diǎn)的位置的相關(guān)研究，可以參考的現(xiàn)有文獻(xiàn)中求解加工行寬的方法有很多?；谖⒎謳缀蔚耐队皺E圓法[3-4]計(jì)算簡單，但僅僅在單一平面內(nèi)衡量刀具和工件曲面的接觸情況，誤差較大。北航基于最短距離線原理，發(fā)展出了離散刀具法[5-7]和離散工件曲面法[8]。通過建立任意刀位下的誤差分布曲線，進(jìn)而確定加工行寬。這種基于數(shù)值求解的方法可以精確計(jì)算出加工行寬，基于離散刀具法研究行寬與曲率的關(guān)系。

首先對誤差分布和曲率的關(guān)系進(jìn)行理論研究，然后使用實(shí)驗(yàn)方法對中點(diǎn)法下行寬和主曲率的關(guān)系進(jìn)行研究，最后給出了依據(jù)主曲率預(yù)判最窄行寬位置的方法。

2 誤差分布與曲率關(guān)系研究

基于最短距離線對的誤差分布曲線求解示意圖，如圖1所示。

圖1 誤差分布求解示意圖Fig.1 Error Distribution Solution

設(shè)誤差分布曲線為函數(shù)y=f（x），其中一個(gè)切觸點(diǎn)為x=x0，則f（x0）=0，f′（x0）=0。依次在x=x0，x1，…，xn-1處進(jìn)行泰勒展開如下：

忽略無窮小項(xiàng)，并x=xi+1將帶入上式，令yi=f（xi），駐yi=yi+1-yi，得到：

則x=xn處的最短距離線的長度yn為：

其中，駐xi表示的離散密度趨于無窮小且已知，因此yn可以寫成關(guān)于f′（xi）和f″（xi）的函數(shù)，即：

二階導(dǎo)數(shù)可以通過一階導(dǎo)數(shù)的差分得到：

又有曲率的計(jì)算公式如下：

聯(lián)立式、為方程組，求解f′（xi）、f″（xi）和ρi的關(guān)系。設(shè)其中ρi（i＝0，1，…，n）設(shè)為已知量，f′（x0）=0為已知，f′（xi），（i＝0，1，…，n）和f″（xi），（i＝0，1，…，n）為未知量。該方程組中未知量的個(gè)數(shù)和方程的個(gè)數(shù)相等均為2n+1，方程組可解。因此f′（xi）和f″（xi）可以寫成關(guān)于ρi的函數(shù)：

將式帶入式，得到y(tǒng)n關(guān)于ρi的函數(shù)：

由式可以得出，誤差分布曲線的形狀由其曲率分布決定，而式中的曲率ρ由刀具曲面與設(shè)計(jì)曲面的曲率共同決定的[10]。將上述結(jié)論擴(kuò)展到空間中，可以得出誤差分布是由刀具曲率和設(shè)計(jì)曲面的局部曲率分布決定的。

行寬是基于誤差分布曲線進(jìn)行計(jì)算的，此外還需要設(shè)定殘留高度。因此可以認(rèn)為行寬是以設(shè)計(jì)曲面的局部曲率分布、刀具半徑和殘留高度為變量的函數(shù)，實(shí)際加工過程中殘留高度和刀具半徑是確定的，因此設(shè)計(jì)曲面的局部曲率分布決定了行寬。因此研究行寬與曲率的關(guān)系就可以找到預(yù)測最窄行寬點(diǎn)的方法。曲面曲率一般為連續(xù)的，當(dāng)設(shè)計(jì)曲面局部曲率變化不大時(shí)，單點(diǎn)曲率可以近似描述局部曲率分布情況，主要包括最大主曲率和最小主曲率?；诘段稽c(diǎn)處的單點(diǎn)曲率特征，通過試算統(tǒng)計(jì)、數(shù)據(jù)分析的方法，研究行寬與主曲率的關(guān)系，進(jìn)而對最窄行寬點(diǎn)的位置做出預(yù)測。

3 試算步驟

基于實(shí)驗(yàn)法，令同一刀具加工具有不同曲率特征的曲面，求解行寬并記錄，試算過程如下：（1）建立刀具模型。刀具底刃為圓環(huán)面，刀具半徑R為10mm，圓環(huán)面截圓半徑r為1mm。（2）建立待加工曲面模型。建立若干最大主曲率和最小主曲率各不相同的待加工曲面。（3）刀具定位和刀位優(yōu)化。采用中點(diǎn)法，通過優(yōu)化前傾角和側(cè)偏角兩個(gè)變量使刀具和曲面間達(dá)到雙點(diǎn)切觸的狀態(tài)，此時(shí)認(rèn)為行寬達(dá)到最大。（4）計(jì)算行寬。殘留高度δ設(shè)為0.01mm，并研究不同殘留高度下行寬和曲率的關(guān)系。采用離散刀具法求解誤差分布曲線，進(jìn)而計(jì)算行寬。（5）數(shù)據(jù)記錄與分析。繪制行寬-曲率的關(guān)系圖，分析得出行寬與曲率的關(guān)系。為了剔除具體刀具尺寸對實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響，這里行寬指的是實(shí)際行寬占刀具直徑的百分比，而曲率則是刀具半徑單位化后設(shè)計(jì)曲面相對曲率。

4 行寬與主曲率的關(guān)系

4.1 行寬與最大主曲率的關(guān)系

將最小主曲率k2設(shè)為任一定值（此處設(shè)為0），最大主曲率k1從0逐漸增大到1，得出行寬w隨k1的變化規(guī)律，計(jì)算結(jié)果，如圖 2（a）所示。

圖2行寬與最大主曲率的關(guān)系Fig.2 Relationship between Strip-width and Maximum Principal Curvature

圖2 中，最大主曲率k1從0逐漸增大到1時(shí)，行寬w是一個(gè)先減小后增大的過程。當(dāng)k1=0時(shí)，刀具加工平面，刀具平放，行寬等于刀具直徑；隨著k1的增大，刀具傾角增大，與設(shè)計(jì)曲面貼合程度降低，行寬減?。划?dāng)k1繼續(xù)增大接近1時(shí)，曲率半徑接近于刀具半徑，由于刀具傾角很大，刀具的投影橢圓近似為一個(gè)圓形，與設(shè)計(jì)曲面貼合程度較高，行寬反而增大直至與設(shè)計(jì)面完全貼合。

4.2 行寬與最小主曲率的關(guān)系

將最大主曲率k1設(shè)為任一定值（此處設(shè)為0.5），最小主曲率k2從-1逐漸增大到k1，得出行寬w隨最小主曲率的變化規(guī)律，如圖3所示。圖3中，最小主曲率從-1逐漸增大到k1時(shí)，行寬是一個(gè)逐漸增大的過程。刀具的臨界前傾角由最大主曲率決定，在最大主曲率恒定時(shí)，刀具的前傾角不隨最小主曲率而改變。在最小主曲率從-1增大到最大主曲率的過程中，曲面在最小主曲率方向上從“凸”逐漸變“平”再逐漸變“凹”，刀具后沿與設(shè)計(jì)曲面的距離h逐漸減小，貼合程度逐漸增高，行寬逐漸增大。當(dāng)最小主曲率等于最大主曲率時(shí)，刀具底刃與設(shè)計(jì)曲面完全貼合，行寬等于刀具直徑。

圖3 行寬與最小主曲率的關(guān)系Fig.3 Relationship between Strip-width and Minimum Principal Curvature

5 基于主曲率的最窄行寬點(diǎn)預(yù)測

5.1 最窄行寬點(diǎn)預(yù)測

主曲率的取值范圍為三角區(qū)域，如圖4所示。該區(qū)域中又分為3塊區(qū)域分別對應(yīng)凹橢圓點(diǎn)、凸橢圓點(diǎn)和雙曲點(diǎn)。采樣若干曲率特征點(diǎn)，針對每個(gè)曲率特征點(diǎn)設(shè)計(jì)具有不同最大主曲率和最小主曲率的設(shè)計(jì)曲面。計(jì)算每一個(gè)曲率特征點(diǎn)對應(yīng)的行寬，最終得到行寬w和最大主曲率k1、最小主曲率k2的等值線云圖，如圖5所示。

圖4 主曲率的取值范圍Fig.4 Range of the Value of Principal Curvature

圖5 行寬在主曲率坐標(biāo)系中的等值線云圖Fig.5 Contour Map of Strip-width in Principal Curvatures Coordinate System

通過圖5中繪制的k1，k2∈［-0.3，0.3］范圍內(nèi)行寬的等值線圖可以得到如下規(guī)律：在k1-k2坐標(biāo)系內(nèi)，在k1，k2接近于0的區(qū)域內(nèi)，w沿近似斜45°方向遞減，且在不同殘留高度啄下這一規(guī)律依然成立。據(jù)此得到如下結(jié)論：在主曲率較為平坦的區(qū)域內(nèi)（k1，k2∈［-0.3，0.3］），令 駐k=k1-k2，駐k 越大，行寬 w 越小，因此 駐k 最大的刀位點(diǎn)即為最窄行寬點(diǎn)。

5.2 實(shí)例驗(yàn)證

采用一模具曲面作為計(jì)算對象，該曲面的主曲率k1，k2∈［0，1.7］，在圖5所示的［-0.3，0.3］區(qū)間內(nèi)。在曲面上采樣若干刀位點(diǎn)，并獲取k1，k2，按照第3節(jié)的試算步驟計(jì)算行寬。計(jì)算結(jié)束后得到各刀位點(diǎn)的行寬w與主曲率差值駐k，將其繪制成散點(diǎn)圖，如圖6所示。

圖6 模具型面計(jì)算實(shí)例Fig.6 An Example of Mold Surface Calculation

從圖中可以看出，對于采樣的若干刀位點(diǎn)，主曲率差值駐k越大，行寬w越小。正如在5.1節(jié)中得出的結(jié)論，在k1，k2坐標(biāo)系中，如圖5（b）所示．行寬w的等高線為斜45°且向右下方遞減，每個(gè)駐k的值代表著一條等高線。當(dāng)駐k＝0時(shí)，在k1＝k2這條等高線上，由于兩個(gè)方向的主曲率相等，刀具可以完全貼合曲面，行寬最大。隨著駐k逐漸增大，最大最小主曲率差值越大，等高線逐漸向右下方偏移，行寬逐漸減小。因此圖6的散點(diǎn)圖驗(yàn)證了當(dāng)設(shè)計(jì)曲面相對平坦時(shí)，w與駐k呈負(fù)相關(guān)，刀位點(diǎn)處曲面的駐k越大，行寬w越窄的結(jié)論，這為日后曲面上最窄行寬點(diǎn)的預(yù)測提供了依據(jù)。

6 結(jié)論

（1）通過理論分析得出刀具曲面與設(shè)計(jì)曲面間的誤差分布是由刀位點(diǎn)附近處的局部曲率分布決定的。（2）分析了行寬與主曲率的關(guān)系：當(dāng)最小主曲率一定時(shí)，隨著最大主曲率的增大，行寬先減小后增大；當(dāng)最大主曲率一定時(shí)，隨著最小主曲率的增大，行寬增大。（3）在主曲率坐標(biāo)系內(nèi)繪制了行寬的等值線云圖，通過該圖得出了在主曲率較小的區(qū)域內(nèi)行寬沿近似斜45°方向遞減的規(guī)律。根據(jù)這一規(guī)律得到最窄行寬點(diǎn)的預(yù)測方法：當(dāng)設(shè)計(jì)曲面相對平坦時(shí)，行寬與最大主曲率與最小主曲率的差值呈負(fù)相關(guān)，因此主曲率差值最大的刀位點(diǎn)即為最窄行寬點(diǎn)。并通過實(shí)例驗(yàn)證了上述結(jié)論。鑒于研究主體為單點(diǎn)主曲率與行寬的關(guān)系，因此所提方法適用于局部曲率變化不大的曲面的行寬預(yù)測。這里的方法對于解決曲率變化豐富的曲面的行寬的預(yù)測問題存在一定限制，該問題將作為后續(xù)研究問題。