三指靈巧手結(jié)構(gòu)設(shè)計及接觸力規(guī)劃

蔡 博，高宏力，宋興國，王奉晨

（西南交通大學機械工程學院，四川 成都 610031）

1 引言

隨著機器人領(lǐng)域的不斷擴大與智能制造的快速發(fā)展，機械手作為機器人的末端執(zhí)行器同時也是和環(huán)境直接接觸的唯一對象，它的發(fā)展也從早期的夾持器逐漸向著多手指、多關(guān)節(jié)、具有一定感知功能的現(xiàn)代意義仿人靈巧手的方向轉(zhuǎn)變，尤其是手指的靈巧性設(shè)計方面，如手指結(jié)合尺寸、關(guān)節(jié)數(shù)目、驅(qū)動、傳動方式的選擇和傳感器系統(tǒng)設(shè)計等[1-3]。顯然，多指靈巧手以其多自由度、多手指及具有感知功能的特點是可以滿足機械手發(fā)展要求的。機械手最為顯著的功能顯然是具有人手一樣的抓取，對機械多指手的抓取力規(guī)劃研究成為了在多指手抓握與協(xié)調(diào)控制上的關(guān)鍵。

針對一般靈巧手由于追求靈巧性與外形尺寸過大、結(jié)構(gòu)過于復雜之間的矛盾，在分析其驅(qū)動結(jié)構(gòu)、傳動結(jié)構(gòu)及相關(guān)裝配的基礎(chǔ)上，設(shè)計了一種靈活性高尺寸小的全驅(qū)動三指靈巧手，包括對關(guān)節(jié)電機的選型，建立動力學、靜力學方程，對其進行三維建模，運動ADAMS對其進行動力學仿真以驗證靈巧手結(jié)構(gòu)設(shè)計及電機選型的合理性；在設(shè)計靈巧手的結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上，運用一種簡單有效的接觸力求解方法對其進行接觸力規(guī)劃求解，驗證得到的接觸力在關(guān)節(jié)力矩驅(qū)動下的合理性。

2 三指靈巧手總體結(jié)構(gòu)設(shè)計

2.1 總體方案設(shè)計

根據(jù)常見的機械手抓取姿勢，設(shè)計了一種體積小、靈活性高的三指全驅(qū)動機械靈巧手。靈巧手的所有關(guān)節(jié)均為轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)，選用的驅(qū)動為小巧而強勁的Maxon直流伺服電機以及配套的減速器。整個機械靈巧手的結(jié)構(gòu)特點如下：

（1）整個機構(gòu)簡單、結(jié)構(gòu)緊湊及輕巧，手指主要由關(guān)節(jié)外殼、電機、減速器及電機座組成，只預留4mm的空間，使關(guān)節(jié)結(jié)構(gòu)緊湊輕巧；（2）靈巧手共有八個自由度，具有高度的靈活性，通過三個手指的配合，可以實現(xiàn)日常大多數(shù)的抓取功能，包括抓、握、捏、夾、包絡(luò)等；（3）采用直流伺服電機驅(qū)動與錐齒輪傳動，傳動可靠，控制精度高，尺寸小，集成度高。

2.2 三指靈巧手結(jié)構(gòu)設(shè)計

根據(jù)總體設(shè)計方案，對靈巧手的結(jié)構(gòu)進行了設(shè)計，靈巧手由三個手指、手掌和底座等組成，其中外圍兩個手指通過底座上的直流伺服電機驅(qū)動進行側(cè)擺運動，手指的彎曲則通過關(guān)節(jié)的內(nèi)置驅(qū)動電機完成，中指關(guān)節(jié)長度為55mm，遠指關(guān)節(jié)長度為35mm，整個靈巧手機構(gòu)三維模型，如圖1所示。

靈巧手通過基座電機控制外圍兩手指的旋轉(zhuǎn)側(cè)擺動作，側(cè)擺轉(zhuǎn)過合適的角度與中間手指配合完成常見的抓、握、捏、夾、包絡(luò)等動作，使得靈巧手對不同形狀的物體有著較好的適應性；基關(guān)節(jié)中蝸輪蝸桿的使用不僅實現(xiàn)基關(guān)節(jié)運動的換向，同時也起著驅(qū)動電機的減速效果；遠指關(guān)節(jié)的彎曲則由內(nèi)置于中指關(guān)節(jié)的電機配合錐齒輪驅(qū)動完成，電機減速器由電機座固定于關(guān)節(jié)內(nèi)部，其輸出軸端則由軸套配合頂絲對其進行軸向固定；和中指基座固定連接的手掌一方面可以配合手指對物體進行包絡(luò)動作，起著限位的作用；另一方面則起著保持另外兩個手指基座的平衡與穩(wěn)定。整個機構(gòu)結(jié)構(gòu)緊湊，尺寸小巧，靈活性高。

在三指手的結(jié)構(gòu)功能上，它可以完成大多數(shù)常見的抓取動作，各手指均采用小巧而強勁的Maxon電機驅(qū)動，通過減速箱、蝸輪蝸桿、錐齒輪和連桿將運動和力傳遞到每個指節(jié)，實現(xiàn)三指手的關(guān)節(jié)運動和物體抓取。

圖1 靈巧手三維模型Fig.1 Three-Dimensional Model of Dexterous Hand

圖2 中指關(guān)節(jié)結(jié)構(gòu)Fig.2 The Structure of Middle Finger Joint

3 動力學建模及仿真

3.1 動力學方程的建立

進行動力學分析的方法很多，包括拉格朗日法、牛頓-歐拉法、高斯原理法等，拉格朗日方法不需要關(guān)注各部分間的內(nèi)力，具有顯示結(jié)構(gòu)，物理意義明確，因此采用拉格朗日法進行動力學分析。

拉格朗日動力學方程模型：

式中：拉格朗日函數(shù)L=K-P，K—手指的動能；

P—手指的勢能；

qi—關(guān)節(jié)變量；

Fi—關(guān)節(jié)的驅(qū)動力矩。

根據(jù)三指手的結(jié)構(gòu)特點，將單手指結(jié)構(gòu)簡化等效為平面二連桿機構(gòu)，其結(jié)構(gòu)，如圖3所示。

圖3 靈巧手部分簡易模型Fig.3 Simplified Model of Dexterous Hand Part

由拉格朗日方程分析很容易知道系統(tǒng)的總動能和總勢能分別為：

以上得到的動力學方程做了一些簡化，三指靈巧手中的中指關(guān)節(jié)與遠指關(guān)節(jié)兩個關(guān)節(jié)簡化為質(zhì)量均勻分布的連桿；忽略了關(guān)節(jié)之間的摩擦以及將其視為剛體。因此，關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩只與關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角有關(guān)，通過關(guān)節(jié)的運動規(guī)律得到關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩的大小。

3.2 基于ADAMS的動力學仿真及驗證

為避免導入到ADAMS中的機械手由于有較多的零部件及相互配合關(guān)系使得在ADAMS中對機械手的分析復雜化，對三維模型進行必要的簡化[4]，如圖1所示。

圖4 靈巧手虛擬樣機Fig.4 Virtual Prototype of Dexterous Hand

對導入到ADAMS中的靈巧手模型定義各部分材料屬性，在各個轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)處添加轉(zhuǎn)動副（Joint），在需要固定的位置添加固定副；利用ADAMS提供的step函數(shù)對轉(zhuǎn)動副設(shè)置驅(qū)動（Motion），即為關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動的運動規(guī)律，在每個關(guān)節(jié)中心處添加Marker點，進行仿真，得到的關(guān)節(jié)點的速度曲線、關(guān)節(jié)力矩曲線、關(guān)節(jié)點位移曲線；由于三個手指在彎曲轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)是一樣的，故添加的驅(qū)動函數(shù)相同，各關(guān)節(jié)速度曲線、位移、角加速度等均是一樣的[5]。

在3s的時間內(nèi)，手指關(guān)節(jié)速度、位移曲線光滑變化平穩(wěn)，無劇烈振動及突變現(xiàn)象，說明了設(shè)計的合理性。

圖5 關(guān)節(jié)速度曲線Fig.5 Joint Velocity Curve

圖6 關(guān)節(jié)位移曲線Fig.6 Joint Displacement Curve

圖7 關(guān)節(jié)力矩曲線Fig.7 Joint Torque Curve

在MATLAB中選取一組離散的時間點，得到對應的力矩值，與導入到MATLAB中的ADAMS仿真力矩曲線進行對比，如圖8所示。其理論分析數(shù)據(jù)和仿真數(shù)據(jù)的偏差很小，在合理范圍內(nèi)，證明了理論計算和仿真分析的合理性，同時為其電機選型及控制系統(tǒng)設(shè)計提供參考。

圖8 關(guān)節(jié)X方向力矩理論曲線和仿真曲線的對比Fig.8 Comparison of Moment Theory Curve and Simulation Curve of Joint X Direction Torque

3.3 三指靈巧手靜力學分析

靈巧手與外界物體接觸時，為確定手指抓取力與關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩之間的關(guān)系以方便可靠地抓取物體，需要對靈巧手進行靜力學分析。在靜態(tài)條件下，由虛功原理可以知道，關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩子和指尖與物體的接觸力FP之間的關(guān)系為：子＝JTFP，在避免出現(xiàn)奇異狀態(tài)的條件下，計算靈巧手與外部環(huán)境的接觸力的關(guān)系式為：

從式（5）中可以看出手指接觸力與關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩以及關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角之間的關(guān)系?？紤]到設(shè)計的靈巧手結(jié)構(gòu)與抓取性能，其關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角分為 A∈［-30°，0］，B∈［30°，60°］。在關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩即電機力矩選定的條件下，手指接觸力FP取決于關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角，其隨關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角的變化分布，如圖9所示。給定了電機驅(qū)動力矩，接觸力的大小范圍隨之確定；反之也一樣，并且由此可以為電機選型提供參考。

圖9 接觸力隨關(guān)節(jié)角度的分布圖Fig.9 The Distributed Chart of Contact Force with Joint Angle

4 多指手接觸力規(guī)劃與計算

多指手抓取或操作物體時，各手指對物體需要施加一定大小的力以避免抓取力過大對物體造成變形與損傷。文獻[6]提出了一種基于抓取力矢量的線性約束梯度流力優(yōu)化方法，該算法不需要線性化摩擦錐，但需要在迭代前給出滿足非線性摩擦錐約束的初始抓取力才能求取最優(yōu)抓取力。文獻[7]提出一種以序列二次規(guī)劃算法為核心的fmincon函數(shù)對非線性規(guī)劃問題求解，簡化了求解過程，但也需要求解對fmincon函數(shù)影響很大的接觸力初始值。文獻[7]提出通過調(diào)節(jié)手指法向接觸力的權(quán)值系數(shù)來獲得滿足非線性摩擦錐約束的初始抓取力的方法，該方法簡單通用，不過求得初始力后需要結(jié)合梯度流算法進行優(yōu)化，這樣就顯得比較繁瑣。此外，這些算法均沒有考慮關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩對手指接觸力的約束，無法確保優(yōu)化計算得到的接觸力可以由關(guān)節(jié)力矩提供。

借鑒文獻[8]利用格朗日乘子法即通過迭代不斷調(diào)整其系數(shù)來獲得滿足非線性摩擦錐約束的初始抓取力，然后引入一個穩(wěn)定對其優(yōu)化得到多指手抓取力。通過對仿真對比，驗證了該方法的有效性。

這里以抓取球體為例，如圖10所示。將手指與物體之間的接觸視為一般情況下的有摩擦接觸，第i個手指與物體之間的接觸力可以表示為：FPi=（FPix，F(xiàn)Piy，F(xiàn)Piz）T，F(xiàn)Pix、FPiy、FPiz分別為FPi在手指笛卡爾坐標系三個方向的分力。手指接觸力FPi與物體受到的合力F0之間為線性映射關(guān)系，即為抓取矩陣G∈R6×3m，則有如下靜力平衡方程成立：

為實現(xiàn)抓取的穩(wěn)定性，滿足手指抓取的力封閉性，物體需要滿足靜力平衡條件、滿足摩擦錐約束及單項力約束，式（6）給出了抓取的靜力平衡方程，摩擦錐約束與單項力約束表示如下：

對于相容性方程（5）而言，其一般解為：

式中：FM—平衡物體受到的外力，即操作力；FN—抓取內(nèi)力，對手指的抓取穩(wěn)定性及手指物體之間的接觸穩(wěn)定性起決定性作用；V—任意n維矢量；I—9×9的單位矩陣。

通過式（8），可以推導出，調(diào)節(jié)內(nèi)力的大小可以獲得滿足要求的接觸力與較優(yōu)性能的內(nèi)力，使得抓取內(nèi)力不會過大引起物體的虛位移變形，也不會過小導致抓取的不穩(wěn)定?；诖?，構(gòu)造如下目標函數(shù)：

目標函數(shù)中的α是調(diào)節(jié)各手指抓取內(nèi)力的系數(shù)向量，通過動態(tài)調(diào)節(jié)α的大小，可以獲得滿足摩擦錐約束的初始抓取力。對任意給定的初始 α，以 β（β>1）對其進行線性變換，通過 αk+1＝βαk調(diào)整系數(shù)向量α的大小，從而得到合適的初始抓取力。由文獻[8]可以知道，α即為手指接觸力中法向力權(quán)值系數(shù)。

圖10 抓取球體示意圖Fig.10 Diagram of Grasping Sphere

根據(jù)前面設(shè)計的三指靈巧手，選取球的直徑為60mm，考慮抓取的穩(wěn)定性，三指指尖與球體的接觸點A、B、C在圓球大圓上均勻分布，手指與球體的摩擦系數(shù)為0.3，求出抓取矩陣G為：

抓取矩陣G是行滿秩矩陣，從而G+=GT（GGT）-1。設(shè)定各接觸力的法向力權(quán)值系數(shù)初值α=0.3，線性變換因子β=1.2，純外力螺旋F0=［0.15 0.173 0.3 0 0 0］T，則得到滿足摩擦錐約束及單項力約束的初始抓取力：

在Matlab中進行驗算得：

計算得到的結(jié)果均位于手指接觸的摩擦錐內(nèi)，但很明顯，接觸力與摩擦錐邊界很接近，因而并不具備較強的抗干擾能力。定義一個摩擦錐的穩(wěn)定接觸系數(shù)λ（λ>1），用于手指抓取的穩(wěn)定性程度。從而對摩擦錐約束進行修正，這里取λ＝1.2，約束λ，重新計算可以得到各手指接觸力：

與優(yōu)化前的抓取力相比較，引入穩(wěn)定接觸系數(shù)λ后，各手指的法向接觸力變大，這樣使得抓取時可以避免因抓取的細微擾動造成抓取的不穩(wěn)定，有利于靈巧手的穩(wěn)定抓取。由前面得到的接觸力曲線可以知道，關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩是可以滿足優(yōu)化后的接觸力的，靈巧手抓取示意圖，如圖11所示。

圖11 靈巧手抓取仿真示意圖Fig.11 Grasping Simulation Diagram of Dexterous Hand

5 結(jié)論

首先對三指靈巧手進行結(jié)構(gòu)設(shè)計，包括對其進行構(gòu)型、零部件的布置及相關(guān)部件的選型，建立其三維模型。然后建立靈巧手單手指動力學數(shù)學模型，運用MATLAB對動力學方程進行數(shù)值分析并繪制力矩曲線；將模型導入到ADAMS中建立虛擬樣機，進行仿真分析，獲得其關(guān)節(jié)力矩曲線、關(guān)節(jié)點與末端點的速度與位移曲線，分析了靈巧手指的運動狀態(tài)特性，說明了靈巧手結(jié)構(gòu)設(shè)計的合理性；并且將仿真力矩曲線與理論力矩曲線進行對比，偏差較小，驗證了動力學理論分析的正確性。利用拉格朗日乘子法求取抓取力初值，對其優(yōu)化得到了手指抓取力，驗證了其在關(guān)節(jié)力矩約束下的合理性，簡化了多指手抓取力的計算。