平面復(fù)合連桿機構(gòu)設(shè)計及可動性分析

張 春，胡小春，林佳裔

（合肥工業(yè)大學(xué)機械工程學(xué)院，安徽 合肥 230009）

1 引言

平面連桿機構(gòu)是由若干剛性構(gòu)件通過低副聯(lián)接而成，低副的制造成本較低，接觸面積大，承載能力較強，在送料機、沖床、內(nèi)燃機、壓縮機、鶴式起重機等各類機械中得到廣泛應(yīng)用[1]。平面四桿機構(gòu)的設(shè)計研究已經(jīng)取得豐碩的成果，對于平面五桿機構(gòu)的設(shè)計研究有待完善，平面四桿和五桿復(fù)合機構(gòu)的研究甚少。

平面連桿機構(gòu)的常見設(shè)計方法有同源機構(gòu)法、矢量環(huán)方程法、矩陣約束法。文獻[2]利用數(shù)值圖譜法進行曲柄滑塊機構(gòu)連桿軌跡的尺度綜合，并探討同源機構(gòu)在尺度綜合中的應(yīng)用。文獻[3]利用胚圖插點的方法分析了平面兩自由度五桿、七桿、九桿機構(gòu)。文獻[4]根據(jù)連桿機構(gòu)基本尺寸與其轉(zhuǎn)角函數(shù)的關(guān)系，建立了連桿曲線數(shù)值圖譜，以及推導(dǎo)了連桿機構(gòu)實際尺寸、連桿上點的位置和安裝尺寸參數(shù)理論公式。文獻[5]以平面可調(diào)五桿機構(gòu)為研究對象，利用機構(gòu)的閉環(huán)矢量方程，運用SIMULINK進行機構(gòu)運動學(xué)分析。文獻[6]通過分析齒輪五桿曲柄滑塊機構(gòu)的尺寸約束條件，利用復(fù)矢量理論和Fourier級數(shù)理論建立了機構(gòu)連桿軌跡的數(shù)學(xué)模型。文獻[7]根據(jù)五桿機構(gòu)的裝配條件，研究了五桿機構(gòu)雙曲柄存在的充要條件。文獻[8]采用拆運動鏈法分析了平面鉸鏈五桿機構(gòu)曲柄存在的條件。文獻[9]應(yīng)用“桿組法”研究了含RPRⅡ級桿組的雙自由度五桿機構(gòu)雙曲柄存在的充要條件。文獻[10]通過研究兩自由度多環(huán)混合驅(qū)動機構(gòu)的可動性分析，提出了適用于多自由度多環(huán)混合驅(qū)動機構(gòu)可動性分析的方法。文獻[11]將單環(huán)運動鏈的可動性條件與其工作空間相結(jié)合，分析、求解平面多環(huán)、多自由度機構(gòu)可動性。文獻[12]根據(jù)機構(gòu)輸入輸出的速度Jacobian矩陣，提出了求解平面多環(huán)多自由度機構(gòu)奇異位形的一般方法。文獻[13]分析了閉環(huán)機構(gòu)運動時所存在的各種奇異性。文獻[14]分析了四個三自由度對稱零扭矩并聯(lián)機構(gòu)的奇異性。

利用解析法和矢量環(huán)方程法設(shè)計平面四桿和五桿滑塊復(fù)合機構(gòu)，運用Grashof法則分析并得到復(fù)合機構(gòu)的桿長關(guān)系，根據(jù)機構(gòu)的位置矩陣和速度矩陣分析符合機構(gòu)的各種奇異性。

2 機構(gòu)設(shè)計

2.1 曲柄滑塊機構(gòu)設(shè)計

曲柄滑塊機構(gòu)在刨床、沖床、壓縮機等各類機械有著廣泛應(yīng)用。曲柄滑塊機構(gòu)常用的設(shè)計方法有作圖法、解析法、同源機構(gòu)法、矢量環(huán)方程法、矩陣約束法等。采用解析法設(shè)計曲柄滑塊機構(gòu)。

已知曲柄滑塊機構(gòu)的行程速比系數(shù)K、最大行程S、偏心距e，確定該機構(gòu)曲柄長度u和連桿長度x的尺寸，如圖1所示。圖中：C1和C2—滑塊的極限位置；S—距離；茲—該機構(gòu)的極位夾角。

圖1 曲柄滑塊機構(gòu)設(shè)計簡圖Fig.1 Design Sketch of Slider Crank Mechanism

平面四桿機構(gòu)的行程速比系數(shù)表達式為：

所以平面四桿機構(gòu)的極限夾角表達式為：

∠C1AC2為機構(gòu)的極限夾角。在駐OC1C2中，∠C1OC2=2∠C1AC2=2茲，所以：

在 駐AC1C2中：

根據(jù)式（3）和式（5），推導(dǎo)得到琢表達式為：

由式（1）～式（6），可推導(dǎo)出曲柄和連桿的長度參數(shù) u，x，其表達式如下：

2.2 五桿滑塊機構(gòu)設(shè)計

隨著機械產(chǎn)品的發(fā)展，平面五桿機構(gòu)被廣泛地應(yīng)用，如串聯(lián)式機器人和機械臂；其常用設(shè)計方法：同源機構(gòu)法、矢量環(huán)方程法、矩陣約束法等。因平面五桿機構(gòu)具有2個自由度，將五桿滑塊機構(gòu)與曲柄滑塊機構(gòu)采用復(fù)合方式降低機構(gòu)自由度，如圖2所示。

矢量環(huán)方程法是設(shè)計平面鉸鏈機構(gòu)的有效方法，但對于復(fù)合機構(gòu)和五桿滑塊機構(gòu)涉及較少。采用矢量環(huán)方程法設(shè)計復(fù)合機構(gòu)中五桿滑塊機構(gòu)的公共連桿CD長度y和連桿DE長度z，其機構(gòu)簡圖，如圖3所示。

圖3 機構(gòu)簡圖Fig.3 Schematic Diagram of Mechanism

曲柄從B位置運動到Bi位置的機構(gòu)簡圖，如圖3所示。ABCCiBiA和EDCCiDiEiE分別組成封閉的矢量環(huán)，因此可列出方程：

式中：j—虛數(shù)單位；茲1i—曲柄AB到達ABi位置所旋轉(zhuǎn)的角度；茲2i—三角形BCD到達BiCiDi所旋轉(zhuǎn)的角度；茲3i—桿件DE到達DiEi所旋轉(zhuǎn)的角度。

由式（8）可推導(dǎo)出：

當(dāng)給定復(fù)合機構(gòu)中AB和BC轉(zhuǎn)角茲1i、茲2i和DE轉(zhuǎn)角茲3i和滑塊運動矢量di棕的三個運動位置，由克萊姆法則得到DE和CD矢量z和y，其表達式為：

3 復(fù)合機構(gòu)的可動性分析

五桿滑塊機構(gòu)（如圖4所示）是平面鉸鏈五桿機構(gòu)（如圖5所示）演化而成，其演化原理與曲柄滑塊機構(gòu)的演化機理一致。所設(shè)計的五桿滑塊機構(gòu)只能存在單曲柄，所以演化后的平面鉸鏈五桿機構(gòu)只存在一個曲柄。

圖4 五桿滑塊機構(gòu)簡圖Fig.4 Sketch Diagram of Five-Bar Slider Mechanism

圖5 平面五桿機構(gòu)簡圖Fig.5 Sketch of Planar Five-Bar Mechanism

根據(jù)演化過程可得到lg=∞，ls=∞+e′，所以ls是最長桿長。l為u，a，z中的最大值，m+n=u+a+z-l。根據(jù)格拉斯霍夫準(zhǔn)則[15]可知：當(dāng)平面鉸鏈五桿機構(gòu)滿足ls+m+n

當(dāng)u

當(dāng)該機構(gòu)中a

4 復(fù)合機構(gòu)的奇異性分析

機構(gòu)奇異性關(guān)系到機構(gòu)穩(wěn)定性和安全性；機構(gòu)發(fā)生奇異時，機構(gòu)不穩(wěn)定、不可控、機構(gòu)特性較差。根據(jù)機構(gòu)的位置約束方程：F（茲，f）=0可以推導(dǎo)得到速度矩陣Af˙+B茲˙＝0，當(dāng)det（A）=0或det（B）=0時，機構(gòu)將產(chǎn)生奇異性，f和茲分別表示輸入?yún)?shù)和輸出參數(shù)。

根據(jù)機構(gòu)正向運動學(xué)分析可推導(dǎo)出：

根據(jù)式（14）可推導(dǎo)出復(fù)合機構(gòu)中曲柄滑塊機構(gòu)的速度矩陣，其表達式可表示為：

根據(jù)機構(gòu)產(chǎn)生奇異的條件并結(jié)合式（15）可知：cos茲2=0或sin（茲2-茲1）=0。由于 u≠x，所以曲柄滑塊機構(gòu)產(chǎn)生奇異的條件為：茲1=此時機構(gòu)瞬間增加自由度。

根據(jù)式（14）可推導(dǎo)出復(fù)合機構(gòu)中五桿滑塊機構(gòu)的速度矩陣，其表達式可表示為：

根據(jù)機構(gòu)產(chǎn)生奇異的條件并結(jié)合式（16）可知：cos茲3=0或sin時，此時五桿滑塊機構(gòu)正逆向運動學(xué)同時產(chǎn)生奇異；當(dāng) 茲2+琢＝茲1或 茲2+琢＝茲1+π 時，此時五桿滑塊機構(gòu)逆向運動學(xué)產(chǎn)生奇異，機構(gòu)瞬間減少自由度。

5 實例

根據(jù)上述的設(shè)計方法，設(shè)計出平面四五桿滑塊機構(gòu)的設(shè)計尺寸，其尺寸參數(shù)，如表1所示。通過計算機仿真，機構(gòu)運動過程中構(gòu)件角度變化規(guī)律，如圖6所示。

表1 實例機構(gòu)的設(shè)計尺寸（單位：mm）Tab.1 Example Mechanism of Design Dimensions

圖6 構(gòu)件的角度變化規(guī)律Fig.6 Angle Change Law of Component

6 結(jié)論

根據(jù)圖1所示曲柄滑塊機構(gòu)桿件參數(shù)的幾何關(guān)系，推導(dǎo)得到曲柄滑塊機構(gòu)中曲柄參數(shù)連桿參數(shù)的解析表達式；由圖3所示復(fù)合機構(gòu)并利用矢量環(huán)方程法推導(dǎo)得到五桿滑塊機構(gòu)的桿件參數(shù)；根據(jù)復(fù)合機構(gòu)的裝配條件和格拉斯霍夫準(zhǔn)則，分析得到機構(gòu)存在曲柄的條件；根據(jù)該復(fù)合機構(gòu)的正向運動學(xué)推出該機構(gòu)的位置矩陣和速度矩陣，分析得到該機構(gòu)產(chǎn)生奇異的位置。