幾何中的動(dòng)點(diǎn)問題之最值問題

幾何圖形的知識(shí)一直是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，它的特點(diǎn)是空間想象力和抽象思維的能力體現(xiàn)，而動(dòng)點(diǎn)問題就要求更高，本文拿幾何動(dòng)點(diǎn)最值計(jì)算問題為例來說明如何解決這類題型。為解決有關(guān)運(yùn)動(dòng)問題的最值計(jì)算，通常需用到兩種基本模型和一個(gè)基本原理：

模型一 點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，如下圖，點(diǎn)P 在直線l 上運(yùn)動(dòng)，則直線外定點(diǎn)A 與點(diǎn)P 的最小距離為AP 1 時(shí)AP 的長最?。创咕€段最短）；

基本原理 當(dāng)點(diǎn)P 跟隨另一點(diǎn)A 運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)時(shí)，我們把點(diǎn)A 叫作主動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P 叫作從動(dòng)點(diǎn).若主動(dòng)點(diǎn)A 在某一直線l 上運(yùn)動(dòng)，則從動(dòng)點(diǎn)P 也在直線上運(yùn)動(dòng)（可能是直線l 也可能是直線m）；若主動(dòng)點(diǎn)A 在圓上運(yùn)動(dòng)，則從動(dòng)點(diǎn)P 也在圓上運(yùn)動(dòng)。

掌握以上兩個(gè)基本模型及原理，可以快速有效地解決有關(guān)運(yùn)動(dòng)為背景的最大（?。┲祮栴}。

例1 如圖1-1，等邊三角形ABC 的邊長為4，點(diǎn)D 在AC 邊上運(yùn)動(dòng)，以BD為斜邊在BD 上方作含30°角的直角三角形BDE，連接AE，則AE 的最小值為_________。

解析：①點(diǎn)E 隨著點(diǎn)D 的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng),點(diǎn)D 在AC 邊上運(yùn)動(dòng)（在直線上運(yùn)動(dòng)），故點(diǎn)E 也在直線上運(yùn)動(dòng)，如圖1-2；②AE 的最小值就是當(dāng)AE 與直線垂直時(shí)的長，點(diǎn)E 運(yùn)動(dòng)軌跡（直線）在哪呢（如何確定）？應(yīng)找兩個(gè)特殊點(diǎn)來確定——當(dāng)D 與C 重合時(shí)，E為AC 中點(diǎn)（如圖1-3）；當(dāng)D 在AC中點(diǎn)處時(shí)，E 在AB 上（如圖1-4），所以點(diǎn)E 實(shí)際就是在圖1-4 中的直線DE 上運(yùn)動(dòng).顯然在Rt

例2 （河南）如圖2-1，在△ABC 與△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC=10,AD=AE=4,把△DAE 繞著點(diǎn)A 在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，M、P、N 始終分別為DE、CD、BC 的中點(diǎn)，求△PMN 面積的最大值和最小值。

解析：1、在△PMN 中，N是定點(diǎn)，P、M 隨著△ADE 的旋轉(zhuǎn)而運(yùn)動(dòng)，易證△PMN是等腰直角三角形，故△PMN 的面積===即△PMN 的面積隨著邊長的增大而增大；

2、如何求邊長的最大值呢？

①對(duì)于邊長MN，N是定點(diǎn)，M是動(dòng)點(diǎn).點(diǎn)M是DE 的中點(diǎn)，AM=，在△ADE 繞點(diǎn)A 旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)M 也繞點(diǎn)A 旋轉(zhuǎn)（點(diǎn)M 在以A為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，如圖2-2），顯然MN 最大為，?MN 最小為，?故△PMN 的面積最大為，最小為；②對(duì)于邊長PN，N是定點(diǎn)，P是動(dòng)點(diǎn)，但點(diǎn)P 的運(yùn)動(dòng)軌跡無法判斷（圓心不好確定），因此我們必須找到PN 的“親戚”來幫助（自己解決不了的事，就要善于找人代勞，這就是所謂的“轉(zhuǎn)化”，“不轉(zhuǎn)化，無數(shù)學(xué)”），由中位線性質(zhì)可知，于邊長BD，B是定點(diǎn)，D是動(dòng)點(diǎn)（顯然點(diǎn)D 在以A為圓心，4為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，如圖2-3），因此最大為BDAD=10-4=6，MN 最小為AB-AD=10-4=6，同理可求△PMN 的面積最大為，最小為；③對(duì)于邊長PM，可轉(zhuǎn)化為CE 來解決，不再贅述。

例3 如圖3-1，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)A（2，0），B （5，0），動(dòng)點(diǎn)P 與A 的距離為2，以P為直角頂點(diǎn)，BP為直角邊作等腰直角三角形BPM，求線段AM 的最大值及此時(shí)點(diǎn)P 的坐標(biāo)。

解析：由題意可知，①點(diǎn)P 在以A為圓心，2為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)；②△PBM為等腰直角三角形,其邊長隨著點(diǎn)P 的運(yùn)動(dòng)而變化；③點(diǎn)M 也隨著點(diǎn)P 的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng),雖然知道其運(yùn)動(dòng)軌跡為圓，但卻無法確定其圓心；④由∠BPM=90°，所以點(diǎn)M可能在P 的上方也可能在P 點(diǎn)下方，如圖3-2，求解時(shí)需分類討論。

我們以PA為直角邊作等腰直角三角形APA’，如圖3-3,就將AM 轉(zhuǎn)化為A’ B 了（即AM=A’ B,求線段AM 的最大值就是求A’ B 的最大值），在△AA’ B 中，AB=3，所以A’ B 的最大值為，此時(shí)A’ 恰好在射線BA 上，P 在線段AA’的垂直平分線上.當(dāng)M 在x 軸上方時(shí)，點(diǎn)P 坐標(biāo)為（，）如圖3-4；當(dāng)M 在x 軸下方時(shí)，點(diǎn)P 坐標(biāo)為（，-）如圖3-5.

求解有關(guān)運(yùn)動(dòng)為背景的最值問題，要訣是①畫出草圖；②明確運(yùn)動(dòng)類型（沿直線運(yùn)動(dòng)，還是沿圓周運(yùn)動(dòng)？）；③若有多個(gè)動(dòng)點(diǎn)，需進(jìn)一步明確誰是主動(dòng)點(diǎn)，誰是從動(dòng)點(diǎn)？④無法直接求出，則需轉(zhuǎn)化。