ZA型蝸輪的精確建模與修形

吳海兵，王 昆，許兆美，陳前亮

（1.淮陰工學院先進制造技術實驗室，江蘇 淮安 223003；2.江蘇省金象傳動設備股份有限公司，江蘇 淮安 223001）

1 引言

ZA型（阿基米德）蝸輪蝸桿傳動由于摩擦較大，效率不高，但是自鎖性好、多齒嚙合的特點使其在沖擊載荷場合得到了廣泛的應用[1]。

ZA蝸桿齒面在軸向截面內(nèi)是非常簡單的直線，但是蝸輪齒面卻是相當復雜的空間曲面。蝸輪的傳統(tǒng)加工方式是在滾齒機上利用滾刀（與蝸桿相似）滾切而成，這種加工方式在大批量生產(chǎn)中效率較高，但是滾刀價格昂貴，蝸輪副的修形比較復雜[2]。在單件小批量加工方式下，蝸輪采用通用五軸數(shù)控加工是重要的發(fā)展方向[3-4]。

五軸數(shù)控加工采用CAD/CAM技術，需要精確的三維數(shù)字模型。目前很多文獻[5-7]采用沿曲線掃描等近似方法建立蝸輪齒面，這些方法建立的蝸輪模型誤差太大，與蝸桿模型裝配時會出現(xiàn)干涉，無法在實際中應用。也有文獻[8]采用Soliworks等三維軟件二次開發(fā)技術，調(diào)用軟件提供的API函數(shù)接口，利用代碼仿真滾刀滾切蝸輪毛坯的展成運動，對蝸輪毛坯進行實時的實體布爾減操作，可以得到較準確的蝸輪齒面。但仿真法的齒面存在每次布爾操作產(chǎn)生的棱線，不能直接應用，后續(xù)還需要光順化處理，整體效率不高。蝸輪副在實際使用中還需要修形，以改善潤滑條件。大多數(shù)文獻[9-10]關于蝸輪副的修形都是基于滾切加工，即通過滾刀修形來得到與蝸桿失配的蝸輪。在蝸輪采用五軸數(shù)控加工方式的情況下，這種方法不適用。

為此以微分幾何與齒輪嚙合理論為基礎，推導蝸輪蝸桿齒面數(shù)學方程，依據(jù)方程計算出蝸輪齒面的點集。為了簡化修形工藝，蝸桿不修形即蝸桿保持標準蝸桿不變，從而蝸桿的加工工藝保持不變；只對蝸輪齒面進行修形，因為蝸輪采用五軸數(shù)控加工，故可以充分利用數(shù)控加工的柔性。根據(jù)蝸輪副嚙合斑點標準的要求，對蝸輪齒面原始點集進行法向向內(nèi)偏移操作，從而修鼓蝸輪齒面。蝸輪齒面修形后的點集導入UG軟件中可以直接擬合生成精度很高的NURBS曲面，進而生成三維實體模型。

2 蝸輪標準齒面

蝸輪標準齒面就是不修形的原始齒面，其點云計算推導過程如下：推導得出車刀刃口直線在車刀坐標系下的方程，將之轉(zhuǎn)換到蝸桿坐標系中即得出蝸桿齒面方程，蝸桿齒面方程轉(zhuǎn)換到蝸輪坐標系中并同時與蝸桿蝸輪嚙合方程聯(lián)立，即可得到蝸輪齒面方程，對蝸輪齒面方程中的參變量進行迭代求解可以獲得齒面點云坐標。

2.1 車刀刃口直線方程

車刀安裝示意圖，如圖1所示。圖中：ouxuzu—車刀坐標系；M—車刀刃口上的任意一點；α—蝸桿的齒形角。

圖1 車刀安裝示意圖Fig.1 Tool Installation Diagram

容易得出車刀刃口的參數(shù)方程如下：

2.2 蝸桿齒面方程

車削蝸桿坐標系，如圖2所示。圖中：ouxuyuzu—車刀坐標系；o1x1y1z1—蝸桿坐標系。車刀車削蝸桿時，假設蝸桿坐標系不動，則車刀相對于蝸桿做螺旋運動。θ是車刀轉(zhuǎn)過的角度，車刀每旋轉(zhuǎn)一圈則沿著z1軸方向移動pθ。p是蝸桿的導程參數(shù)，即直母線繞z1軸旋轉(zhuǎn)單位角度時，直母線沿z1軸移動的距離。

圖2 車削蝸桿坐標系Fig.2 Coordinate System of Worm Turning

車刀坐標系變換到蝸桿坐標系的變換關系式如下：

將式（1）代入式（2）即可得出蝸桿齒面方程：

式中：h、θ—獨立參變量。

2.3 蝸輪蝸桿嚙合坐標系及坐標變換

蝸桿傳動嚙合坐標系，如圖3所示。圖中：o1x1y1z1—蝸桿坐標系；o2x2y2z2—蝸輪坐標系；oxyz—空間固定坐標系，z軸與z1軸重合，opxpypzp是輔助空間固定坐標系，y軸與yp軸重合。opxpypzp與oxyz的坐標軸方向完全相同，僅在x向相差a，a是蝸輪蝸桿的中心距。當蝸桿繞z1軸旋轉(zhuǎn)φ1時，蝸輪同時繞y2軸旋轉(zhuǎn)φ2。

圖3 蝸桿傳動嚙合坐標系Fig.3 Coordinate System of Worm Meshing

蝸桿坐標系變換到蝸輪坐標系的變換關系式如下：

2.4 蝸輪齒面方程

限于篇幅，這里直接給出蝸輪蝸桿的嚙合方程如下：

將式（3）～式（5）聯(lián)立即為蝸輪齒面方程：

式中：獨立參變量是 φ1、h、θ。

2.5 蝸輪齒面點云的計算

蝸輪副的一對齒從嚙入到嚙出的過程中，對于每一個φ1，蝸桿齒面上都有一條嚙合線對應，如圖4所示。參變量h、θ分別對應蝸桿齒面上點的周向線與徑向線。由圖4可以看出，當嚙合方程有解時：h線與嚙合線有兩個交點，即嚙合方程有兩個解；θ線與嚙合線只有一個交點，即嚙合方程只有一個解。因此迭代求解嚙合線的點集時，應當先迭代θ，后迭代h，這樣就避開了迭代求解嚙合方程出現(xiàn)的多解問題。

圖4 蝸桿齒面上的瞬間嚙合線Fig.4 Instantaneous Meshing Line on Worm Surface

對于給定的φ1，將所有符合嚙合方程的 h、θ代入式（6），可以求得蝸桿齒面的一條嚙合線點集坐標［x1，y1，z1］，再代入式（6）即可得出蝸輪齒面的一條嚙合線點集坐標［x2，y2，z2］。對φ1進行迭代，可以求出蝸輪齒面上所有的嚙合線點集，也就是蝸輪齒面的點云。

3 蝸輪齒面修形

蝸輪副在嚙合過程中，為了改善潤滑條件，蝸輪齒面的入口區(qū)部分不能參與嚙合，嚙合區(qū)需要集中在蝸輪齒面的出口區(qū)部分。為了簡化工藝并充分利用數(shù)控加工的柔性，在此只對蝸輪修形。在蝸輪齒面出口區(qū)選取一點作為修形基準點，該點保持不動，齒面上其余點向齒內(nèi)法向偏移，偏移量取決于與基準點的距離，距離越大偏移量越大。蝸輪齒面將被修鼓，保證了嚙合區(qū)集中在齒面出口區(qū)。

3.1 建立齒面切平面坐標系

根據(jù)蝸桿頭數(shù)查出標準JB2318-79中關于接觸區(qū)占比以及位置的規(guī)定，從而可以確定接觸區(qū)中心點在蝸輪齒面上的位置，以該點作為齒面修形的基準點。根據(jù)前文的方法，可以算出該點的坐標以及該點處的齒面單位法向量，則過該中心點可以建立齒面的切平面。齒面上其它點投影到切平面上，就可以方便計算它們與基準點之間的距離。將蝸輪軸向向量投影到切平面上即為切平面坐標系的X軸，Y軸由切平面法向量與X軸向量的叉乘得出，坐標系原點即修形基準點。

3.2 齒面點向切平面投影

式中：xpoj、yproj—點投影后的坐標；x、y、z—點投影前的坐標；xc、yc、zc—齒面修形基準點的坐標；ix、jx、kx—切平面坐標系 X 軸的單位向量；iy、jy、ky—切平面坐標系Y軸的單位向量。

蝸輪齒面的點投影到切平面上，投影點坐標公式為：

3.3 齒面點偏移量

實踐證明，嚙合區(qū)呈橢圓形時齒輪嚙合性能較好。故齒面點偏移量的公式如下：

式中：c1、c2—橢圓方程系數(shù)。

在橢圓形嚙合區(qū)邊界上的齒面點偏移量應該等于齒輪副接觸判斷距離。該距離應該等于齒輪副輕載彈性變形量與滾檢染色劑顆粒直徑之和，齒輪副輕載彈性變形量一般認為是0.00635mm，滾檢染色劑顆粒直徑大約0.02mm，故蝸輪副接觸判斷距離dis=0.02635mm。

因此可以得出式（8）的系數(shù)公式如下：

式中：Kl、Kh—嚙合區(qū)在齒寬、齒高方向的占比系數(shù)，蝸桿頭數(shù)不同，占比系數(shù)不同，可參見標準JB2318-79中對于蝸輪副嚙合區(qū)大小的規(guī)定；W、H—蝸輪的寬度與齒高。

3.4 齒面點偏移

將式（7）、式（9）代入式（8），可以計算得出蝸輪齒面上點的偏移量，則齒面點偏移后的坐標公式如下：

式中：xmod、ymod、zmod—點偏移后的坐標；x、y、z—點投影前的坐標；nx、ny、nz—每個點處的齒面單位法向量，方向指向輪齒內(nèi)部。將齒面偏移后的點坐標輸出，導入UG軟件，擬合成高次光滑曲面，進而生成蝸輪實體模型。

4 建模實例

選取某ZA型右旋蝸輪副參數(shù)如下：模數(shù)m=5.8mm，蝸桿頭數(shù)Z1=5，蝸輪齒數(shù) Z2=25，分度圓導程角 γ=30°25′，齒頂高系數(shù)=1，頂隙系數(shù)c*=0.2，蝸輪變位系數(shù)χ=0.772。蝸輪齒面偏移點云導入UG中，將點云擬合成面并與蝸輪齒根面互相修剪，利用修剪片體對蝸輪修剪，對齒根倒圓角，對齒槽陣列，即可得到最終的蝸輪實體模型，如圖5所示。將蝸輪修形齒面與未修形齒面進行比較，得到的橢圓形嚙合區(qū)圖，如圖6所示?？梢姖M足標準的要求。

圖5 蝸輪實體模型Fig.5 Solid Model of Worm Gear

圖6 嚙合區(qū)圖Fig.6 Map of Meshing Zone

5 結論

（1）利用微分幾何與齒輪嚙合理論，推導得出ZA蝸輪齒面的方程，并指明避開蝸輪蝸桿嚙合方程多解的技巧；

（2）在蝸輪齒面建立切平面，將齒面上的點云投影到切平面上，通過切平面上的橢圓方程來計算每個點的修形量；

（3）通過五頭蝸輪副實例計算得到蝸輪齒面的嚙合區(qū)圖，表明給出的建模、修形方法符合標準規(guī)定的實際使用要求。