基于陷波器的永磁電機(jī)振蕩抑制

畢京斌，賈智軍，孔宴偉，夏 猛

(1.中車(chē)青島四方車(chē)輛研究所有限公司, 青島 266112； 2.中國(guó)鐵路成都局集團(tuán)有限公司成都動(dòng)車(chē)段, 成都 610000)

0 引 言

永磁系統(tǒng)能夠準(zhǔn)確跟蹤或復(fù)現(xiàn)輸入指令，憑借其良好的動(dòng)態(tài)響應(yīng)性能、高的準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性，在各行各業(yè)中得到了廣泛應(yīng)用[1]。近年來(lái)，隨著科學(xué)技術(shù)的快速發(fā)展，數(shù)控機(jī)床的精確定位，導(dǎo)彈武器的精確制導(dǎo)，零件器件的精密加工以及大功率設(shè)備的拖動(dòng)等各個(gè)領(lǐng)域，都對(duì)永磁系統(tǒng)提出了更高更嚴(yán)格的指標(biāo)要求。有關(guān)永磁控制研究熱點(diǎn)的主要方面有：低速爬行問(wèn)題、振蕩抑制問(wèn)題、快速精確定位、減速再起動(dòng)等。這些都是永磁精確控制的關(guān)鍵問(wèn)題，想進(jìn)一步提高永磁系統(tǒng)的性能，就必須解決以上問(wèn)題，本課題主要針對(duì)永磁控制中的振蕩抑制問(wèn)題進(jìn)行研究。系統(tǒng)的穩(wěn)定性是系統(tǒng)工作的前提，機(jī)械諧振導(dǎo)致永磁統(tǒng)在諧振頻率處不穩(wěn)定，為了保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，應(yīng)使諧振頻率在閉環(huán)帶寬以外，即需嚴(yán)格控制系統(tǒng)的帶寬。機(jī)械諧振不僅限制了系統(tǒng)閉環(huán)帶寬，也限制永磁系統(tǒng)的控制器增益，導(dǎo)致動(dòng)態(tài)性能下降，降低了系統(tǒng)的控制精度[2-3]。機(jī)械諧振導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定，設(shè)備發(fā)生強(qiáng)烈振動(dòng)產(chǎn)生噪音的同時(shí)也對(duì)機(jī)械部件造成磨損，大大縮短了設(shè)備使用時(shí)間。機(jī)械諧振還會(huì)使永磁電機(jī)產(chǎn)熱增加，造成不必要的能源損耗。由此可見(jiàn)，機(jī)械諧振的危害極大，在投入使用前必須對(duì)其進(jìn)行有效抑制。

如果系統(tǒng)長(zhǎng)時(shí)間工作在振蕩狀態(tài)下，會(huì)對(duì)機(jī)械系統(tǒng)中的聯(lián)軸節(jié)、傳動(dòng)齒輪、傳動(dòng)軸、軸承等零件造成嚴(yán)重?fù)p傷，特別針對(duì)中高壓大功率電機(jī)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，如果諧振抑制不當(dāng)產(chǎn)生斷軸等事故，后果十分嚴(yán)重。對(duì)于數(shù)控機(jī)床、激光加工設(shè)備等加工精度要求較高的應(yīng)用場(chǎng)合，機(jī)械諧振會(huì)對(duì)產(chǎn)品的加工質(zhì)量造成嚴(yán)重影響，無(wú)法滿(mǎn)足生產(chǎn)要求。為了提高永磁驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)帶寬、快速減小階躍響應(yīng)的偏差，需要提高控制環(huán)路的增益，而機(jī)械諧振的存在限制了控制環(huán)路增益的提高。機(jī)械振蕩還會(huì)發(fā)出噪聲，在其工作環(huán)境中產(chǎn)生噪聲污染。

諧振頻率是影響永磁系統(tǒng)穩(wěn)定性和控制性能非常重要的參數(shù)，對(duì)永磁系統(tǒng)的閉環(huán)帶寬、動(dòng)態(tài)性能以及穩(wěn)定性都有很大影響，所以機(jī)械諧振的抑制對(duì)于保證系統(tǒng)性能尤為重要。抑制機(jī)械諧振首先要檢測(cè)出系統(tǒng)的諧振點(diǎn)的位置，在測(cè)得系統(tǒng)的諧振頻率點(diǎn)之后再加入相應(yīng)的控制環(huán)節(jié)的方法加以抑制，因此，如何快速準(zhǔn)確得檢測(cè)諧振頻率點(diǎn)變得尤為關(guān)鍵，對(duì)后續(xù)的諧振抑制也有重要指導(dǎo)意義。隨著對(duì)永磁系統(tǒng)機(jī)械諧振研究的不斷深入，在諧振頻率檢測(cè)方面也取得了較大進(jìn)展。根據(jù)諧波檢測(cè)的發(fā)展歷程，已經(jīng)存在了幾種檢測(cè)方法[4-5]：基于模擬濾波器進(jìn)行諧波檢測(cè)；基于傅里葉變換的諧波測(cè)量方法[6-8]；基于小波變換方法的諧波測(cè)量[9]；基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的檢測(cè)方法[10]。為抑制檢測(cè)到的諧振頻率，文獻(xiàn)[11]采用數(shù)字陷波濾波器來(lái)抑制機(jī)械諧振，但是這種陷波器的在中心頻率點(diǎn)的陷波幅值很大，會(huì)對(duì)系統(tǒng)性能造成較大影響，此外陷波幅值和寬度由同一參數(shù)控制，不容易調(diào)節(jié)。文獻(xiàn)[12]在傳統(tǒng)的陷波器的基礎(chǔ)上，經(jīng)過(guò)擴(kuò)展提出了一種改進(jìn)的陷波器。通過(guò)參數(shù)的適當(dāng)設(shè)置使陷波中心頻率點(diǎn)衰減的幅值與諧振引起的幅值大體抵消，在抑制諧振的同時(shí)盡量提高系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。

在實(shí)際永磁系統(tǒng)中，諧振頻率點(diǎn)的位置及其幅值受外界環(huán)境變化、負(fù)載慣量變化和以及系統(tǒng)自身特性變化的影響，經(jīng)常會(huì)發(fā)生變化，采用傳統(tǒng)的濾波器具有很大的局限性。永磁系統(tǒng)的諧振頻率點(diǎn)的偏移通常會(huì)導(dǎo)致陷波濾波器抑制諧振的失效，因此又有人提出了自適應(yīng)陷波器的方法。自適應(yīng)陷波器能夠?qū)崟r(shí)監(jiān)測(cè)系統(tǒng)諧振頻率的變化，并根據(jù)諧振頻率點(diǎn)的變化修正濾波器參數(shù)達(dá)到機(jī)械諧振抑制的目的，彌補(bǔ)了傳統(tǒng)陷波器的不足。文獻(xiàn)[13,14]提出了一種自適應(yīng)陷波器，將其加入控制器中在一定程度上抑制了永磁系統(tǒng)的機(jī)械諧振。文獻(xiàn)[15]提出了一種諧波檢測(cè)和傳統(tǒng)陷波濾波器相結(jié)合構(gòu)成自適應(yīng)陷波器進(jìn)行在線(xiàn)抑制諧振的方法。

本論文主要研究使用陷波濾波器抑制機(jī)械諧振。針對(duì)實(shí)際系統(tǒng)中發(fā)生的機(jī)械諧振，需要研究運(yùn)行過(guò)程中在線(xiàn)自動(dòng)辨識(shí)其諧振特征的方法，并根據(jù)諧振辨識(shí)出的諧振情況，自動(dòng)配置陷波濾波器參數(shù)，實(shí)現(xiàn)自動(dòng)抑制機(jī)械諧振的目的。

1 永磁電機(jī)控制振蕩系統(tǒng)模型搭建

1.1 交流永磁電機(jī)數(shù)學(xué)模型

交流永磁同永磁電機(jī)的數(shù)學(xué)模型比直流電機(jī)要復(fù)雜的多，為了便于分析，在建立數(shù)學(xué)模型之前，做了如下假設(shè)：

(1)忽略磁滯損耗的影響。(2)不考慮鐵心飽和。(3)不計(jì)渦流損耗。(4)轉(zhuǎn)子上無(wú)阻尼繞組。(5)永磁材料的電導(dǎo)率為零。

交流永磁永磁電機(jī)在A-B-C坐標(biāo)系上的電壓方程為

(1)

式中，ua、ub、uc為三相定子相電壓的瞬時(shí)值，ia、ib、ic為三相定子相電壓的瞬時(shí)值，Rs為定子電阻，ψa、ψb、ψc為定子相繞組磁鏈瞬時(shí)值。

以矩陣形式表示電壓方程，可得：

(2)

式中，p為微分算子。永磁體磁鏈的幅值為ψf，其在三相繞組中可以表示為

(3)

式中，ψra、ψrb、ψrc為轉(zhuǎn)子相繞組磁鏈瞬時(shí)值，θ為永磁體磁鏈與定子繞組夾角。定子磁鏈方程為

(4)

電磁轉(zhuǎn)矩方程為

(5)

式中，Te為電磁轉(zhuǎn)矩，np為電機(jī)極對(duì)數(shù)。

1.2 雙慣量振蕩系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

雙慣量系統(tǒng)又稱(chēng)為雙質(zhì)量系統(tǒng)，在工業(yè)應(yīng)用中十分常見(jiàn)，如工業(yè)機(jī)器人、軋鋼機(jī)等，一般由永磁電機(jī)、被驅(qū)動(dòng)負(fù)載以及連接二者的傳動(dòng)軸等組成，雙慣性系統(tǒng)模型如圖1所示。

圖1 雙質(zhì)量系統(tǒng)模型

圖中，JM、JL、Ks分別為永磁電機(jī)的慣性矩、負(fù)載端的慣性矩和傳動(dòng)軸的彈性系數(shù)、Tm、Tl、ωm、ωl分別為電機(jī)轉(zhuǎn)矩、擾動(dòng)轉(zhuǎn)矩、電機(jī)轉(zhuǎn)速和負(fù)載轉(zhuǎn)速。該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)為

(6)

其中，Jall=JM+JL，wp為共振頻率，wz為反共振頻率，表達(dá)式如式(7)和式(8)：

(7)

(8)

從公式可看出，雙慣性系統(tǒng)的共振頻率和反共振頻率是由電機(jī)和負(fù)載端的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量以及軸的剛度產(chǎn)生。當(dāng)負(fù)載端轉(zhuǎn)動(dòng)慣量很大時(shí)共振頻率約等于反共振頻率，當(dāng)電機(jī)和負(fù)載轉(zhuǎn)動(dòng)慣量固定時(shí)，系統(tǒng)共振頻率只與軸的剛度有關(guān)，軸剛度為

(9)

式中，r0為軸半徑，G為剪切模量，L為軸的長(zhǎng)度。

根據(jù)圖1可知，雙慣性系統(tǒng)的狀態(tài)方程：

(10)

式中，Ts為連接永磁電機(jī)與被驅(qū)動(dòng)負(fù)載的軸的轉(zhuǎn)矩，BL、BM為負(fù)載和電機(jī)的粘滯系數(shù)。

2 基于陷波器的共振抑制方法設(shè)計(jì)

陷波中心頻率，陷波寬度以及陷波深度是影響陷波濾波器的3個(gè)重要參數(shù)。陷波中心頻率是指需要濾除的頻率點(diǎn)，深度參數(shù)是指陷波濾波器在中心頻率處提供的幅值衰減，寬度參數(shù)則是陷波器幅值衰減到-3dB時(shí)前后兩個(gè)頻率點(diǎn)的差值。合理設(shè)置陷波濾波器中心頻率，深度參數(shù)和寬度參數(shù)可以很好地對(duì)永磁系統(tǒng)的機(jī)械諧振進(jìn)行補(bǔ)償。

2.1 陷波器原理

對(duì)于一個(gè)存在機(jī)械諧振的永磁系統(tǒng)，可以通過(guò)向系統(tǒng)控制中加入陷波濾波器減小諧振頻率點(diǎn)處的幅值以達(dá)到諧振補(bǔ)償?shù)哪康?。抑制方法的基本原理如圖2所示?？梢钥闯鐾ㄟ^(guò)合理設(shè)計(jì)陷波器的參數(shù)，將諧振頻率點(diǎn)處的幅值大致抵消，最后使系統(tǒng)頻率響應(yīng)趨近平滑，達(dá)到諧振抑制目的。

圖2 基于陷波器的動(dòng)態(tài)諧振抑制原理框圖

陷波器是無(wú)限沖擊響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器，該濾波器可以用以下常系數(shù)線(xiàn)性差分方程表示：

(11)

式中,x(n)和y(n)分別為輸人和輸出信號(hào)序列，ai和bi為濾波器系數(shù)。對(duì)式(11)兩邊進(jìn)行z變換，得到數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)為

(12)

式中,zi和pi分別為傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)。

這樣零點(diǎn)、極點(diǎn)配置的濾波器稱(chēng)為單一頻率陷波器，在頻率ω0(ω0為要消除的頻率)處出現(xiàn)凹陷。而把極點(diǎn)設(shè)置在零的的徑向上距圓點(diǎn)的距離為l-μ處，陷波器的傳遞函數(shù)為

(13)

式中,μ越小，極點(diǎn)越靠近單位圓，則頻率響應(yīng)曲線(xiàn)凹陷越深，凹陷的寬度也越窄。當(dāng)需要消除窄帶干擾而不能對(duì)其他頻率有衰減時(shí)，陷波器是一種去除窄帶干擾的理想數(shù)字濾波器。

2.2 陷波器設(shè)計(jì)

實(shí)際永磁系統(tǒng)大都是采用向控制系統(tǒng)中加入濾波器的方法來(lái)進(jìn)行諧振補(bǔ)償。陷波器可有效地濾除信號(hào)中諧振成分，陷波器的傳遞函數(shù)：

(14)

式中，f為陷波中心頻率，Hz；ξ為深度參數(shù)，表征了中心頻率處幅頻特性的深度，在中心頻率處可提供-20lgξdB的幅值衰減；k為寬度參數(shù)，Hz，表示以陷波中心頻率為中心幅值下降3dB時(shí)的兩側(cè)寬度；通過(guò)調(diào)整濾波器的ξ，k兩個(gè)參數(shù)，可以得到不同陷波幅值和帶寬的頻率特性，兩個(gè)參數(shù)的整定原則:

(1)當(dāng)0<ξ<1時(shí)，且寬度參數(shù)k不變時(shí)，其頻率特性曲線(xiàn)是凹陷的，且當(dāng)ξ越小時(shí)陷波中心頻率處提供的幅值衰減越大，如圖3所示。

(2)當(dāng)深度參數(shù)ξ固定不變時(shí)，隨著寬度參數(shù) 值的增加，頻率特性曲線(xiàn)凹口的范圍逐漸大，如圖4所示。

圖3 不同ξ下陷波器幅相頻率特性曲線(xiàn)

圖4 不同k下陷波器幅相頻率特性曲線(xiàn)

圖3和圖4為參數(shù)整定原則的效果圖。圖3是在中心頻率f=10Hz，寬度參數(shù)k=8時(shí)，深度參數(shù)分別為x=0.5、x=0.25、x=0.05時(shí)的陷波濾波器的頻率特性曲線(xiàn)?？梢钥闯鲭S著深度參數(shù)的減小，中心頻率處衰減的幅值逐漸增加。圖4是在中心頻率f=10Hz，深度參數(shù)x=0.05時(shí)，寬度參數(shù)分別為k=1、k=4、k=8時(shí)的陷波濾波器的頻率特性曲線(xiàn)。隨著寬度參數(shù)k值的增加，頻率特性曲線(xiàn)凹口的范圍逐漸增大。從兩個(gè)圖中也可以看出陷波濾波器的寬度參數(shù)和深度參數(shù)可以單獨(dú)調(diào)節(jié)，這就克服了傳統(tǒng)形式的濾波器只能通過(guò)調(diào)節(jié)一個(gè)參數(shù)完成深度和寬度調(diào)節(jié)存在的問(wèn)題。

2.3 陷波器主要參數(shù)對(duì)陷波效果的影響探究

為了驗(yàn)證陷波器的正確性，模擬了一個(gè)幅度為1，頻率為10kHz的正弦波，其中摻雜著幅度為1，頻率為20kHz的正弦噪聲，用Matlab設(shè)計(jì)一個(gè)20kHz的陷波器，將摻雜了20kHz噪音的10kHz信號(hào)經(jīng)過(guò)濾波器，利用FDATool導(dǎo)出Matlab程序驗(yàn)證陷波器的正確性并導(dǎo)出陷波器系數(shù)，其濾波器前后的波形及放大波形如圖5所示。

從上面的正確性驗(yàn)證波形可知，陷波器的理論設(shè)計(jì)及仿真設(shè)計(jì)都是可行的，在永磁振蕩系統(tǒng)中，同樣需要陷波器對(duì)諧振頻率進(jìn)行抑制，消除閉環(huán)系統(tǒng)中的諧振信號(hào)，達(dá)到諧振消除的目的。由表1可知，僅改變apass參數(shù)由小變大，調(diào)節(jié)時(shí)間依次減小，但是對(duì)應(yīng)的濾波范圍變寬，“點(diǎn)”阻效果變差。由表2知，僅改變bw參數(shù)，帶寬越大，雖然抑制越快，但窄帶會(huì)變寬，即可濾頻率增多，單一性差。

圖5 20kHz陷波器陷波前后效果對(duì)比波形

表1 陷波器apass參數(shù)對(duì)陷波效果的影響

表2 陷波器bw參數(shù)對(duì)陷波效果的影響

研究證明了陷波器參數(shù)需要尋優(yōu)，即參數(shù)apass和bw之間需要折中值以滿(mǎn)足系統(tǒng)靜動(dòng)態(tài)響應(yīng)。

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

永磁同步電機(jī)參數(shù)：額定功率PN=2kW，額定線(xiàn)電壓UN=380V，額定電流IN=7.5A，定子電阻Rs=0.1Ω，直軸電感Ld=2430mH，交軸電感Lq=2430mH，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=0.23kg·m2，額定負(fù)載TL=7.5N·m，極對(duì)數(shù)p=2，額定轉(zhuǎn)速nN=2500r/min。

在上一節(jié)陷波器理論設(shè)計(jì)部分已經(jīng)對(duì)陷波器本身進(jìn)行了正確性驗(yàn)證，可實(shí)現(xiàn)特定頻率的消除，并分析和驗(yàn)證了陷波器不同參數(shù)對(duì)陷波效果的影響規(guī)律，基于以上研究，尋優(yōu)了一組合適的參數(shù)設(shè)計(jì)陷波器，將其應(yīng)用于永磁定位振蕩抑制系統(tǒng)中。由末端振蕩引起的諧波頻率一般在100～1000Hz之間，屬于中頻范圍。針對(duì)500Hz振蕩頻率，引入頻率為500Hz，幅值為10V的正弦干擾，加在速度環(huán)的反饋回路上，陷波器設(shè)計(jì)參數(shù)如下：采樣頻率fs=10000Hz，陷波頻率fnotch=500Hz，帶寬bw=400，通帶apass=15。導(dǎo)出陷波器系數(shù)后，經(jīng)雙線(xiàn)性變換得到S域的傳涵，將其置于速度環(huán)與電流環(huán)之間，首先仿真驗(yàn)證了雙閉環(huán)情況下，陷波器對(duì)500Hz諧波的抑制，有效減小了轉(zhuǎn)速穩(wěn)態(tài)誤差，如圖6所示。

圖6 500Hz陷波器對(duì)轉(zhuǎn)速的影響

圖6中給定轉(zhuǎn)速為100rad/s，轉(zhuǎn)速的上升時(shí)間為0.04s，由于陷波器的影響，在放大圖中可見(jiàn)超調(diào)了28rad/s，即超調(diào)量由20%上升到了28%。在0.4s和0.7s之間加了50%額定負(fù)載，經(jīng)過(guò)陷波器濾波后的系統(tǒng)能快速跟隨轉(zhuǎn)速響應(yīng)，可滿(mǎn)足快速性要求。在0.9s時(shí)轉(zhuǎn)速穩(wěn)態(tài)誤差明顯減小，由原來(lái)的0.6rad/s減小到了0.1rad/s，轉(zhuǎn)速振蕩得到了抑制。

同理，針對(duì)300Hz振蕩頻率，引入頻率為300Hz，幅值為10V的正弦干擾，相應(yīng)的陷波器設(shè)計(jì)參數(shù)如下：采樣頻率fs=10000Hz，陷波頻率fnotch=300Hz，帶寬bw=200，通帶apass=15。仿真驗(yàn)證了3環(huán)情況下，陷波器對(duì)300Hz諧波的抑制，有效減小了轉(zhuǎn)速穩(wěn)態(tài)誤差，如圖7所示。

圖7 300Hz陷波器對(duì)位置的影響

由圖7可知，在300Hz諧振干擾的系統(tǒng)中，給定位置信號(hào)50rad，在2s和4s之間加了50%額定負(fù)載，經(jīng)過(guò)陷波器濾波后的系統(tǒng)能快速跟隨位置響應(yīng)，可滿(mǎn)足快速性要求。速度環(huán)速度穩(wěn)定在20rad/s，轉(zhuǎn)速穩(wěn)態(tài)誤差明顯減小，由原來(lái)的2rad/s減小到了0.3rad/s，轉(zhuǎn)速振蕩得到了有效抑制。同時(shí)對(duì)A相電流濾波前后進(jìn)行了FFT分析。

圖8 300Hz陷波信號(hào)FFT分析

如圖8所示。由圖8可知，陷波前300Hz頻率含量很高，達(dá)到了基頻的160%，經(jīng)過(guò)陷波器濾波后，300Hz頻率含有量減小為20%，有效抑制了振蕩頻率。

4 結(jié) 語(yǔ)

本論文主要研究使用陷波濾波器抑制機(jī)械諧振。針對(duì)實(shí)際系統(tǒng)中發(fā)生的機(jī)械諧振，需要研究運(yùn)行過(guò)程中在線(xiàn)自動(dòng)辨識(shí)其諧振特征的方法，并根據(jù)諧振辨識(shí)出的諧振情況，自動(dòng)配置陷波濾波器參數(shù)，實(shí)現(xiàn)自動(dòng)抑制機(jī)械諧振的目的。為了驗(yàn)證效果，設(shè)計(jì)一個(gè)可以改變諧振頻率的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，并在平臺(tái)上驗(yàn)證諧振抑制效果。首先，詳細(xì)分析交流永磁永磁電機(jī)的數(shù)學(xué)模型、矢量控制系統(tǒng)的基本思路。其次，建立諧振模型，并推導(dǎo)諧振頻率表達(dá)式，通過(guò)理論分析得出引起永磁系統(tǒng)機(jī)械諧振原因。進(jìn)而針對(duì)在線(xiàn)諧振抑制問(wèn)題，采用陷波濾波器消除機(jī)械諧振的設(shè)計(jì)方法，設(shè)計(jì)數(shù)字化陷波器，研究濾陷波器的諧振抑制效果。最終對(duì)基于陷波器的永磁定位末端振蕩檢測(cè)及抑制進(jìn)行了驗(yàn)證。