磁通耦合神經(jīng)元模型的穩(wěn)定性及Hopf分岔分析

于歡歡, 安新磊, 路正玉, 王文靜

(蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院, 蘭州 730070)

由于神經(jīng)元模型中包含大量的神經(jīng)元, 但僅較少的神經(jīng)元可單獨(dú)完成大腦信息處理, 因此對神經(jīng)元集群動力學(xué)行為的研究已引起人們廣泛關(guān)注[1-2]. 兩個神經(jīng)元耦合在一起可構(gòu)成最小的神經(jīng)元集群. 近年來, 關(guān)于神經(jīng)元系統(tǒng)的穩(wěn)定性及分岔分析等非線性動力學(xué)的研究已拓展到耦合神經(jīng)元系統(tǒng), 如鄔開俊等[3-4]研究表明, 耦合神經(jīng)元系統(tǒng)在Gauss白噪聲和時滯的作用下更易達(dá)到同步； Wang等[5]研究了時滯耦合Hindmash-Rose(HR)神經(jīng)元的穩(wěn)定性及平衡態(tài)的分岔, 結(jié)果表明, 其具有對稱和非對稱平衡點(diǎn); 楊雨潼等[6]研究了FitzHugh-Nagumo-Morris-Lecar(FHN-ML)耦合模型的多種簇放電模式和分岔. 目前, 對耦合神經(jīng)元模型的分岔分析以及分岔類型的研究文獻(xiàn)報道較少, 當(dāng)神經(jīng)系統(tǒng)的分岔參數(shù)超過某臨界值時, 發(fā)生Hopf分岔現(xiàn)象, 在平衡點(diǎn)處出現(xiàn)極限環(huán)使神經(jīng)元興奮.

突觸間隙連接[7]是神經(jīng)元間傳遞及表達(dá)信號的有效途徑, 神經(jīng)元和神經(jīng)元之間可通過電突觸耦合與化學(xué)突觸耦合有效進(jìn)行信息傳遞. 如Wang等[8-9]研究了含化學(xué)突觸神經(jīng)元模型分岔行為的演變, 結(jié)果表明, 神經(jīng)元在突觸驅(qū)動下可做出不同響應(yīng); Ma等[10]提出了應(yīng)用磁場耦合實(shí)現(xiàn)信號在神經(jīng)元間的傳遞. 由于突觸耦合和電耦合均可有效準(zhǔn)確地實(shí)現(xiàn)信號傳遞, 但在電磁場作用下, 神經(jīng)元更易選擇磁通耦合, 且磁通耦合對神經(jīng)元的非線性特性影響較大, 并可抑制或激勵神經(jīng)元. 因此, 本文采用磁通耦合方法研究耦合神經(jīng)元的非線性動力學(xué)行為. 基于文獻(xiàn)[11], 先通過磁通耦合得到磁通耦合神經(jīng)元系統(tǒng), 再利用磁通量的變換完成信號在神經(jīng)元之間的傳遞. 首先分析該模型的平衡點(diǎn)穩(wěn)定性, 其次計算得到Hopf分岔的方向及分岔周期解, 并研究耦合強(qiáng)度C與外界刺激電流I對模型分岔的影響, 最后通過數(shù)值模擬驗(yàn)證所得理論.

1 模型描述

基于文獻(xiàn)[11], 通過磁場耦合的方式將兩個磁通神經(jīng)元耦合, 將耦合后的系統(tǒng)稱為磁通耦合神經(jīng)元模型, 該模型的微分方程為

(1)

其中x1和x2分別表示兩個神經(jīng)元的膜電位；y1和y2分別表示兩個神經(jīng)元恢復(fù)變量的慢電流；z1和z2分別表示兩個神經(jīng)元的自適應(yīng)電流；φ1和φ2表示穿過兩個神經(jīng)元細(xì)胞膜的磁通量;a,b,c,d,s,r,χ為模型參數(shù);I為神經(jīng)元外界添加的刺激電流;C表示模型磁通耦合的耦合強(qiáng)度;kW(φ1)x1和kW(φ2)x2分別表示兩個磁通神經(jīng)元膜電位上的反饋電流;k,k1,k2表示反饋增益. 由憶阻器的記憶電導(dǎo)描述電荷對磁通量的依賴性, 其表達(dá)式為

系統(tǒng)的部分參數(shù)為：a=1,b=3,c=1,d=5,α=0.1,β=0.02,χ=-1.6,r=0.006,s=4.

2 穩(wěn)定性分析

2.1 局部穩(wěn)定性

為討論平衡點(diǎn)s*附近的穩(wěn)定性, 可將模型(1)等價變?yōu)?/p>

計算可得系統(tǒng)(1)的Jacobi矩陣為

(2)

其中：

其對應(yīng)的特征方程為

ξ8+a1ξ7+a2ξ6+a3ξ5+a4ξ4+a5ξ3+a6ξ2+a7ξ+a8=0,

(3)

其中：

由Routh-Hurwitz判據(jù)[12]可知, 當(dāng)滿足

時, 在平衡點(diǎn)s*處是漸近穩(wěn)定的.

2.2 平衡點(diǎn)穩(wěn)定性

給定一組參數(shù)k=0.5,k1=0.9,k2=0.5,I=2, 經(jīng)計算可得模型的唯一平衡點(diǎn)為

s1(-1.078 229,-4.812 89,2.087 084,-1.940 812,-1.078 229,-4.812 89,2.087 084,-1.940 812),

其對應(yīng)的Jacobi矩陣特征值為:

在該組參數(shù)下得到8個特征值的實(shí)部均為負(fù)數(shù), 虛部均為0, 根據(jù)Routh-Hurwitz判據(jù)可知, 模型在平衡點(diǎn)s1處是漸近穩(wěn)定的, 且s1是穩(wěn)定結(jié)點(diǎn). 在平衡點(diǎn)s1對應(yīng)的生理意義為神經(jīng)元受外界刺激后回歸到靜息態(tài).

給定一組參數(shù)k=0.5,k1=0.9,k2=0.5,I=3.506, 同理可得模型的唯一平衡點(diǎn)為

s2(0.058 501,-0.982 888,6.634 004,0.105 301,0.058 501,-0.982 888,6.634 004,0.105 301),

其對應(yīng)的Jacobi矩陣特征值為:

在該平衡點(diǎn)處所得6個特征值的實(shí)部均為負(fù)數(shù), 2個特征值的實(shí)部為0, 可知s2為非雙曲點(diǎn), 且不穩(wěn)定. 由于該平衡點(diǎn)處的穩(wěn)定性會突然消失而產(chǎn)生周期解, 因此模型的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)發(fā)生了變化.

3 Hopf分岔的方向及分岔周期解

3.1 Hopf分岔的存在性

當(dāng)一個系統(tǒng)出現(xiàn)Hopf分岔時, 其產(chǎn)生的周期震蕩會導(dǎo)致系統(tǒng)狀態(tài)失穩(wěn)或引起混沌行為. 為保證神經(jīng)元細(xì)胞活動的穩(wěn)定性, 需對其分岔進(jìn)行研究.

先考慮特征方程關(guān)于分岔參數(shù)I的偏導(dǎo)數(shù)：

假設(shè)系統(tǒng)存在一個復(fù)數(shù)根ξ(I)=α(I)+iω(I), 將其代入式(4)并求解, 可得分離方程的實(shí)部和虛部分別為

(5)

其中:

整理可得

當(dāng)滿足參數(shù)條件式(6)及Ruth-Hurwitz判據(jù)時, 系統(tǒng)(1)發(fā)生上述分岔現(xiàn)象. 從而可得系統(tǒng)(1)的Hopf分岔解析解為ξ=iω0.

3.2 Hopf分岔的方向和周期解

對于系統(tǒng)(1), 定義矩陣

P=(Rev1,-Imv1,v3,v4,v5,v6,v7,v8),

且滿足

(x1,y1,z1,φ1,x2,y2,z2,φ2)T=P(xa1,ya1,za1,φa1,xa2,ya2,za2,φa2)T.

從而可得

由Hassard方法[13-15]計算相關(guān)量, 進(jìn)一步判斷Hopf分岔的方向及分岔周期解的穩(wěn)定性, 通過計算可得:

定理1當(dāng)分岔參數(shù)I超過臨界值時, 模型在平衡點(diǎn)處發(fā)生Hopf分岔. 若μ2<0(μ2>0), 則Hopf分岔為超臨界(亞臨界)； 當(dāng)β2<0(β2>0)時, 分岔周期解是穩(wěn)定的(不穩(wěn)定的)； 若ε2<0(ε2>0), 則周期減少(增加).

構(gòu)造矩陣

通過計算可得:

g20=-2.544 278-1.893 581i;g02=3.194 898+0.534 079i;g11=1.309 539-3.224 258i;

g21=-0.069 521+0.013 348i;η(I)=-7.764 472-45.568 936i.

從而可得:

μ2=163.016 4>0;β2=-1.552 90<0;ε2=113.296 4>0.

因此該模型發(fā)生了亞臨界Hopf分岔, 且有一個周期增加的穩(wěn)定周期解. 隨著外界電流的增大, 神經(jīng)元會產(chǎn)生處于1周期狀態(tài)的極限環(huán), 即系統(tǒng)由周期放電和簇放電等狀態(tài)轉(zhuǎn)化為靜息態(tài).

4 數(shù)值模擬

磁通耦合神經(jīng)元模型在變量及參數(shù)影響下具有復(fù)雜的動力學(xué)行為, 選取外界刺激電流I為分岔參數(shù), 當(dāng)外界刺激電流1.6≤I≤3.6, 參數(shù)k=0.5,k1=0.9,k2=0.5,C=0.1時, 模型(1)的數(shù)值仿真結(jié)果如圖1所示.

圖1 系統(tǒng)(1)的時間響應(yīng)和分岔圖

由圖1(F)可見: 當(dāng)I=1.6時, 系統(tǒng)呈穩(wěn)定的1周期狀態(tài), 隨著分岔參數(shù)I的增加, 由1周期放電轉(zhuǎn)變?yōu)?周期和3周期放電, 即系統(tǒng)呈加周期放電現(xiàn)象； 當(dāng)I=2.88時, 由3周期分岔為6周期, 6周期分岔為12周期, 呈典型的倍周期分岔現(xiàn)象, 經(jīng)較短的倍周期分岔后進(jìn)入混沌狀態(tài); 當(dāng)I=3.408時, 模型(1)從混沌放電進(jìn)入穩(wěn)定的8周期放電狀態(tài), 在I=3.412時由逆倍周期進(jìn)入4周期放電, 在I=3.429時由4周期進(jìn)入2周期放電, 最終在I=3.506時回歸到穩(wěn)定的1周期狀態(tài); 出現(xiàn)周期窗口, 在周期窗口同樣發(fā)生了逆倍周期分岔行為. 由圖1(A)～(E)可見, 當(dāng)I=1.7時, 模型(1)呈1周期放電現(xiàn)象, 當(dāng)I=2.4,2.7時, 系統(tǒng)呈周期數(shù)為2和3的簇放電現(xiàn)象, 當(dāng)I=3.45時, 系統(tǒng)呈不規(guī)則的放電現(xiàn)象, 繼而轉(zhuǎn)入2周期放電. 其放電行為與分岔過程相對應(yīng).

當(dāng)耦合強(qiáng)度C=0.1時, 系統(tǒng)(1)呈加周期以及倒倍周期分岔現(xiàn)象, 隨著耦合強(qiáng)度的增加, 系統(tǒng)分岔現(xiàn)象發(fā)生變化, 即出現(xiàn)了Hopf分岔現(xiàn)象. 當(dāng)參數(shù)k=0.5,k1=0.9,k2=0.5,C=0.2, 外界刺激電流1.6≤I≤3.6時, 系統(tǒng)的數(shù)值仿真結(jié)果如圖2(A)所示. 由圖2(A)可見, 模型(1)隨著分岔參數(shù)I的增加而呈現(xiàn)周期的分岔現(xiàn)象, 當(dāng)I=3.412時, 由4周期轉(zhuǎn)入混沌態(tài)后又轉(zhuǎn)入4周期, 再轉(zhuǎn)入混沌態(tài), 重復(fù)周期-混沌的動力學(xué)行為, 最終達(dá)到1周期的穩(wěn)定狀態(tài). 即分岔參數(shù)超過某閾值時, 神經(jīng)元的膜電位處于靜息態(tài).

當(dāng)參數(shù)k=0.5,k1=0.9,k2=0.5,C=0.3時, 其數(shù)值仿真結(jié)果如圖2(B)所示. 由圖2(B)可見, 隨著耦合強(qiáng)度的增加, 系統(tǒng)的混沌區(qū)域增加, 系統(tǒng)由穩(wěn)定的1周期放電狀態(tài)進(jìn)入短暫的混沌態(tài), 再進(jìn)入穩(wěn)定的2周期、 3周期和4周期放電狀態(tài), 經(jīng)由4周期進(jìn)入混沌態(tài), 隨著分岔參數(shù)I的增加, 系統(tǒng)呈復(fù)雜的的動力學(xué)行為, 如圖2(C)～(F)所示. 當(dāng)分岔參數(shù)3.42≤I≤3.45時, 系統(tǒng)由混沌放電狀態(tài)經(jīng)周期放電后, 系統(tǒng)出現(xiàn)Hopf分岔行為, 隨著分岔參數(shù)I的增大, 系統(tǒng)又回歸到穩(wěn)定的5周期放電狀態(tài), 如圖2(C)所示. 將圖2(C)中方框內(nèi)部分放大得到圖2(D), 由圖2(D)可見, 系統(tǒng)經(jīng)歷了相似的運(yùn)動狀態(tài), 且出現(xiàn)更多的Hopf分岔點(diǎn). 由圖2(E)可見, 系統(tǒng)呈混沌-周期反復(fù)的分岔行為. 當(dāng)分岔參數(shù)I=3.508時, 模型(1)達(dá)到穩(wěn)定的1周期放電狀態(tài), 如圖2(F)所示. 即模型(1)產(chǎn)生了Hopf分岔, 之后該模型在平衡點(diǎn)處穩(wěn)定性消失, 產(chǎn)生極限環(huán), 神經(jīng)元即會產(chǎn)生興奮性. 在該分岔參數(shù)范圍內(nèi), 同時出現(xiàn)了倒倍周期分岔現(xiàn)象及較多的周期窗口.

圖2 系統(tǒng)(1)的分岔圖

綜上, 本文采用磁場耦合方法將磁通神經(jīng)元系統(tǒng)耦合形成磁通耦合神經(jīng)元系統(tǒng), 根據(jù)Routh-Hurwitz判據(jù)和數(shù)值模擬分析了模型的平衡點(diǎn)穩(wěn)定性. 先用Hopf分岔定理給出了模型Hopf分岔的存在性及分岔方向, 并確定系統(tǒng)有一個周期增加的穩(wěn)定周期解, 再通過選取外界刺激電流I作為分岔參數(shù), 研究了耦合強(qiáng)度對分岔的影響. 結(jié)果表明, 在給定參數(shù)下系統(tǒng)發(fā)生了Hopf分岔.