基于核心素養(yǎng)下“三內(nèi)角和定理”的反思

摘?要：三角形內(nèi)角和定理等價于平行公理，對三角形內(nèi)角和定理的教學(xué)歷來都是初中幾何教學(xué)的重要課程，教學(xué)過程中教師對教學(xué)的內(nèi)容、教學(xué)現(xiàn)狀的把握和自我的定位有著重要的指導(dǎo)意義，研究旨在以“核心素養(yǎng)”教育理念為指導(dǎo)，以“三角形內(nèi)角和定理”教學(xué)案例為例，對初中幾何數(shù)學(xué)教學(xué)提出教學(xué)思考和建議。

關(guān)鍵詞：三內(nèi)角和定理;教學(xué)案例;初中數(shù)學(xué)教學(xué)

由羅增儒教授主講的“第五屆基于核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)教師專業(yè)發(fā)展高級研修班”于2019年8月12至14日在陜西師范大學(xué)雁塔校區(qū)舉辦。筆者作為學(xué)員第一次零距離聆聽大師的講解，深感幸運。因為這次的學(xué)習(xí)既不是學(xué)校的安排，也不是工作室的學(xué)習(xí)，純粹的是因為關(guān)注的中學(xué)數(shù)學(xué)參考公眾號，發(fā)現(xiàn)假期有個講座，抱著看看、豐富自己的態(tài)度來體驗的。經(jīng)歷培訓(xùn)后感受到了一個中學(xué)教師的魅力應(yīng)該是怎樣的，感覺到對于今后自己的模樣看得見摸得著的感覺，也從心底感受到了數(shù)學(xué)教學(xué)文化的厚重感。借用羅增儒教授的話，我很贊同“數(shù)學(xué)家創(chuàng)造數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)教師創(chuàng)造數(shù)學(xué)的理解”這種觀點，從小我們有個數(shù)學(xué)家的夢想，現(xiàn)在明白數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家是很有區(qū)別的，這種界定要在心中明確，原來我是個搬運工。

培訓(xùn)回來后，意識到自己處于數(shù)學(xué)教育改革的轉(zhuǎn)折點，也意識到區(qū)里舉行的核心素養(yǎng)教研并非是口號、是形式，而是數(shù)學(xué)教學(xué)所應(yīng)追尋的更高階教學(xué)，理解并實行核心素養(yǎng)教學(xué)是現(xiàn)今教師專業(yè)發(fā)展的品質(zhì)培養(yǎng)進(jìn)階之路。就以羅增儒教授在8月14日上午《案例分析與教師專業(yè)發(fā)展》中提到了三角形內(nèi)角和定理的一個教學(xué)案例，談?wù)勎业捏w會。

一、 三內(nèi)角和定理的教學(xué)現(xiàn)狀

在文中，課堂教學(xué)前，教師布置給學(xué)生預(yù)習(xí)思考題：三內(nèi)角和等于180°，你能用幾種方法證明這個結(jié)論？通過老師的引導(dǎo)和學(xué)生的思考不同的證法。

文中采取提問：三角形三個內(nèi)角有什么關(guān)系？（當(dāng)然，具體問的是數(shù)量關(guān)系），經(jīng)過學(xué)生的測量與思考“發(fā)現(xiàn)”三內(nèi)角和等于180°，從而受到啟發(fā)，在教師的幫助下完成證明。文中，通過老師的引導(dǎo)和學(xué)生的思考展現(xiàn)了學(xué)生7種不同的證法（詳請參閱文獻(xiàn)[1]），對于這7種方法是否都是通過學(xué)生的自主探索而得到的（學(xué)生會查資料），不得而知（畢竟課堂只有45分鐘，完全依賴于學(xué)生的創(chuàng)新難度大），但是這種前置探究的方式確實是一種新的教學(xué)嘗試。

文中采取“體驗”的方式設(shè)置特定的數(shù)學(xué)活動，如通過量角器“量一量”三內(nèi)角再求和、利用“折紙”或者“剪拼”再觀察的方式對情景中的問題通過動手操作，主動認(rèn)識和驗證研究對象的特征，從而獲得一些經(jīng)驗，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)領(lǐng)悟。

通過老師的引導(dǎo)和學(xué)生的思考呈現(xiàn)了7種不同的證法（詳請參閱文獻(xiàn)[1]），在教學(xué)中我們大多會發(fā)現(xiàn)學(xué)生用如下幾種方法：

方法1（實驗操作）

1. 借助量角器測量給定三角形的三個內(nèi)角再求和，估算和猜測得到“三角形三內(nèi)角和等于180°”。

2. 通過手工操作的方式，將三角形沿如圖1的折痕翻折或者如圖2方式裁剪拼湊，操作后得到“三角形三內(nèi)角和是一個平角”。

方法2（幾何證明）

1. 證明：如圖3，過點C作∠A=∠ACE，延長BC于點D

∵∠A=∠ACE

∴CE∥BA（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）

∴∠B=∠2（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

∴∠A+∠B+∠C

=∠1+∠2+∠C（等量代換）

=180°（平角的定義）

2. 證明：如圖3，延長BC于點D，過點C作∠A=∠ACE（略）

思考：1采取先作∠A=∠ACE再延伸BC于點D，而2先延伸BC于點D再作∠A=∠ACE，自然而然有個問題，就是CE為什么會在∠ACE的內(nèi)部？二者之間看似只是順序的改變，實則都是默認(rèn)了外角大于內(nèi)角的定理應(yīng)用，而此時學(xué)生并未證明過該定理。所以這樣的描述方式有邏輯循環(huán)的嫌疑，我們應(yīng)該提醒學(xué)生有這方面的思考，既為后面“三角形內(nèi)角和定理的推論”作鋪墊，也培養(yǎng)了學(xué)生的思維嚴(yán)謹(jǐn)性。

改進(jìn)：過點C作CE∥BA（CE的唯一性，避免了討論∠ACE的位置），延伸BC于點D。因此，也可以有圖3、圖4的輔助線添加方式。

3. 證明：如圖4，過點C作CD∥BA。

∵CD∥BA

∴∠A=∠1（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

∠B+∠BCD=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）

∴∠A+∠B+∠C

=∠1+∠B+∠C

=∠B+∠BCD

=180°（等量代換）

4. 證明：如圖4，過點C作∠1=∠A。（略）

思考：3采取作平行線，注意取的哪個角（如圖取∠1）要說明，4采取在△ABC外部作已知角，二者利用都是利用前面所學(xué)的平行線的判定和性質(zhì)這一知識解決問題，符合學(xué)生的實際。當(dāng)點C在三角形內(nèi)部或者外部時，仍成立，讀者可自行證明。

總結(jié)初中幾何證明步驟：（三段論）

第一步：將三個內(nèi)角的和角轉(zhuǎn)化到一個新的角上

第二步：新的角是平角

第三步：三個內(nèi)角的和等于180°

方法3（代數(shù)方程）

分析：如圖5，過點A作射線AD交BC于點D

則∠A=∠1+∠2，∠BDC=∠3+∠4=180°

由于我們討論的是三角形的內(nèi)角和度數(shù)問題，即隱含三角形內(nèi)角和是一個確定的值，既然學(xué)生已學(xué)一元一次方程，那么不妨將三角形內(nèi)角和看作未知數(shù)，將證明題轉(zhuǎn)化為求方程的解的問題。

解：設(shè)三角形的內(nèi)角和為x。則在△ABC、△ADB、△ADC中有：

∠1+∠B+∠3=x

∠2+∠4+∠C=x

∠BAC+∠B+∠C=x

∴∠1+∠B+∠3+∠2+∠4+∠C=2x

∠3+∠4+∠1+∠2+∠B+∠C=2x

∠3+∠4+∠BAC+∠B+∠C=x

180°+x=2x

解得：x=180°

二、 三內(nèi)角和定理包含的核心素養(yǎng)

通過上面的案例展示和研究，我認(rèn)為包含著邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)。學(xué)生數(shù)形結(jié)合，通過圖形的測量、剪拼找到三內(nèi)角和的關(guān)系或轉(zhuǎn)化途徑;角的分割、轉(zhuǎn)移、合并，產(chǎn)生求和式的拆項、交換和結(jié)合轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，在輔助線的添加過程中，變中含有不變。角的改變，而和不變。既如此，從方程角度思考，其和為不變量，則三內(nèi)角和是一個定值，將未解決或較難的三角求和問題化為已解決或較易解決的加法運算或一元一次方程問題，這些都需要學(xué)生的運算能力。

三、 總結(jié)與建議

我們習(xí)慣從圖形上將角進(jìn)行拆湊，卻容易忽視背后所對應(yīng)量的值之間的加減運算關(guān)系，因為中間有了數(shù)形結(jié)合的思想方法，二者的銜接就是教師應(yīng)該做的事情。作為教師，應(yīng)該用我們的“雙眼”發(fā)現(xiàn)生活中的數(shù)學(xué)原型和數(shù)學(xué)應(yīng)用，然后再“搬”到學(xué)生的面前，褪去“數(shù)學(xué)”的外套，讓學(xué)生零距離的感知“數(shù)學(xué)”，而不應(yīng)該僅僅將數(shù)學(xué)教學(xué)落腳于學(xué)科知識和思想方法的傳授，現(xiàn)今的挑戰(zhàn)是如何抓住其背后包含的核心素養(yǎng)，幫助學(xué)生跨過數(shù)學(xué)思維的難關(guān)，成為用數(shù)學(xué)眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)思維思考世界、用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界，成為一個擅觀察、勤思考，好交流的21世紀(jì)新學(xué)生。

參考文獻(xiàn)：

[1]陳恩忠.《三角形內(nèi)角和定理》教學(xué)實錄與反思[J].初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2015（8）：17-18.

[2]羅增儒.點評：教師的設(shè)計要適合學(xué)生的實際[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，1996（6）：20-22.

[3]鄧清，夏小剛.基于“三教”理念的初中幾何教學(xué)的認(rèn)識與思考-以“三角形內(nèi)角和定理”的教學(xué)為例[J].中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2019（6）：22-24.

[4]龍顯邦.三角形內(nèi)角和定理證明方法[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2011（14）：97-98.

作者簡介：

沈艷，貴州省貴陽市，溪南高中。