高考圓錐曲線中定點與定值問題解析

張靜 徐小琴

摘?要：圓錐曲線定點、定值問題是歷年高考的重要內(nèi)容之一，分析近年高考試題不難發(fā)現(xiàn)此部分內(nèi)容有章可循.解決定點、定值問題有三種主要方法：先猜后證，特殊化;推理運算，邏輯化;運用推論，技巧化.

關鍵詞：圓錐曲線;定點;定值

圓錐曲線中的定點與定值問題求解是該部分的重點內(nèi)容，也是歷年高考考查的高頻考點.探究圓錐曲線定點、定值問題主要有三種方法：第一，先猜后證，即特殊化法，先根據(jù)特殊位置或特殊數(shù)值求出定點或定值，再證明這個點或值與變量無關;第二，直接推理計算，在推理計算過程中消去變量得到定點或定值，此法解題的關鍵在于找到問題中的結論與題設之間的關系，建立合理的方程或函數(shù)，再利用等量關系統(tǒng)一變量，最后通過消元得到結果;第三，運用重要推論，即直接運用圓錐曲線重要推論，減少運算.

1?定點問題

定點問題主要有兩種，一種是證明定點存在，另一種是探究定點存在性，使某條件或結論成立.由于在解題之前不知道定點是什么，因而這類題目對考生而言具有一定的難度.定點問題的解決主要有特殊化法、推理法及重要推論法三種.

11?先猜再證（特殊化）

先猜再證是利用特殊情形（特殊位置、特殊值等）猜出定點，然后證明定點適用于一般情形.該方法將求解問題轉化為證明問題，不僅明確了我們的證明方向，而且增多了解題的方法和手段，從而拓寬了學生的解題思路.

例1?（2015年全國Ⅰ卷理科第20題）在直角坐標系xOy中，曲線C∶y=x24與直線l∶y=kx+a（a>0）交于M，N兩點.

（1）當k=0時，分別求曲線C在點M和N處的切線方程;

（2）y軸上是否存在點P，使得當k變動時，總有∠OPM=∠OPN？請說明理由.

分析?第（2）問是探求定點的存在性，首先假設其存在，由∠OPM=∠OPN，即PM與PN兩條直線的斜率互為相反數(shù)，兩直線斜率的和為定值0.令k=0將題目特殊化，利用圖象的對稱性易得y軸上存在點P滿足條件，最后證明y軸上存在點P，使得當k變動時，總有∠OPM=∠OPN.

解析?（1）所求切線方程分別為 ax-y-a=0和 ax+y+a=0.

（2）第一步：猜.猜定點的坐標并不是毫無根據(jù)的亂猜，而是因特殊化處理而產(chǎn)生的合情推理.由于題意與直線斜率k無關，因此選定一個特殊的k值得到一個特殊的定點值.令k=0，則直線l與曲線C的交點分別為2 a，a和-2 a，a，即點M，N關于y軸對稱，根據(jù)曲線C拋物線圖象的對稱性，得P0，-a.

故猜y軸上存在點P0，-a，使得當k變動時，總有∠OPM=∠OPN.

第二步：證明.當k變動時，y軸上存在點P（0，-a），總有∠OPM=∠OPN，即PM與PN兩直線斜率的和為定值0.

設Mx1，y1，Nx2，y2，直線PM，PN的斜率分別為k1，k2.

又P0，-a，故k1=y1+ax1，k2=y2+ax2.

聯(lián)立方程y=kx+a，y=x24，化簡整理得x2-4kx-4a=0.

因為△>0，有x1+x2=4k，x1x2=-4a.

又點M，N在直線l上，故y1=kx1+a，y2=kx2+a.

所以k1=kx1+2ax1，k2=kx2+2ax2.

則k1+k2=kx1+2ax1+kx2+2ax2=2kx1x2+2ax1+x2x1x2.

所以k1+k2=2k·-4a+2a·4k-4a=0.

所以無論k為何值，都有k1+k2=0，即y軸上存在點P0，-a，使得當k變動時，總有∠OPM=∠OPN.

12?直接推理計算

當題目不適用先猜后證時，即根據(jù)已知條件難以確定一個特殊的位置關系時，只能采用更一般的通性通法，即直接推理計算進行求解.直接推理計算是指根據(jù)題目條件，通過幾何關系或代數(shù)式的轉化，直接得到定點或得到方程，再通過方程求出定點.

例2?（2017年全國Ⅰ卷理科第20題）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0，四點P11，1，P20，1，P3-1， 32，P41， 32中恰有三點在橢圓C上.

（1）求C的方程;

（2）設直線l不經(jīng)過點P2且與C相交于A，B兩點，若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1，證明：l過定點.

分析?第（2）問屬于證明直線過定點問題，即探求直線的點斜式方程y=kx+b中k，b的關系，根據(jù)題目條件得到直線方程，從而求出定點.題設中給出一定值條件（直線的斜率之和為-1）是問題解決的核心要素，結合直線斜率的存在情況分類討論，也是本題設置的易錯難點.該題從特殊情形入手不能得到定點，因此只能通過題目所給的條件，直接推理計算得到結果.

解析?（1）橢圓C的方程為x24+y2=1.

（2）設直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2，則k1+k2=-1.

①當斜率不存在時，設直線l為x=m，由題意得m≠0且m<2.

則Am， 4-m22，Bm，- 4-m22.

故k1+k2= 4-m2-22m- 4-m2+22m=-1.

解得m=2，不合題意.

②當斜率存在時，設直線l為y=kx+tt≠1.

設Ax1，y1，Bx2，y2，聯(lián)立y=kx+t，x24+y2=1，化簡整理得4k2+1x2+8ktx+4t2-4=0.

因為△=164k2-t2+1>0，則x1x2=4t2-44k2+1，x1+x2=-8kt4k2+1.

所以k1+k2=2kx1x2+t-1x1+x2x1x2=-1.

故2k+1·4t2-44k2+1+t-1·-8kt4k2+1=0.

解得k=-t+12.

當且僅當t>-1時，△>0，則直線l為y=-t+12x+t，變形得到y(tǒng)+1=-t+12x-2.

所以直線l過定點2，-1.

13?運用重要推論

推論1[1]?過圓錐曲線上的任意一點P（x0，y0）作互相垂直的直線交圓錐曲線于點A，B，則直線AB必過一定點（等軸雙曲線除外）.

推論2[2]?過圓錐曲線的準線上任意一點P作圓錐曲線上的兩條切線，切點分別為點A，B，則直線AB必過焦點.

圓錐曲線方程前提條件等價條件圖形

橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0點P是準線上任意一點，點A，B在橢圓上

①直線AB過焦點F2

②AB⊥PF2

③點A，B為切點

④kPB·kOB=-b2a2

雙曲線x2a2-y2b2=1a>0，b>0，a≠b點P是準線上任意一點，點A在雙曲線上

①直線AB過焦點F2

②PF2⊥BF2

③點B為切點

④kPB·kOB=b2a2

拋物線y2=2pxp>0點P是準線上任意一點，點A，B是拋物線的切點

①直線AB過焦點F

②PA⊥PB

③AB⊥PF

推論3?過圓錐曲線外一點P作圓錐曲線上的兩條切線，切點分別為點A，B，則直線AB已知且必過定點.

例3?（2019年全國Ⅲ卷理科第21題）已知曲線C∶y=x22，點D為直線y=-12上的動點，過點D作C的兩條切線，切點分別為點A，B.

（1）證明：直線AB過定點;

（2）若以E0，52為圓心的圓與直線AB相切，且切點為線段AB的中點，求四邊形ADBE的面積.

分析?第（1）問是探求直線過定點問題，由于直線AD和BD為曲線的兩條切線，故可以直接利用推論3切點弦的性質寫出切線AD和BD的方程，從而得出直線AB的方程，易知直線AB過定點.

解析?（1）設Ax1，y1，Bx2，y2，Dt，-12，又因為點A，B為曲線C的切點，故切線AD為y+y1=xx1，切線BD為y+y2=xx2.

代入Dt，-12有-12+y1=tx1，-12+y2=tx2.

故直線AB的方程為-12+y=tx.

所以直線AB過定點0，12.

（2）略.

2?定值問題

定值問題[3]是指某些量的大小或某些表達式的值始終是一個定值，即與題目中的參數(shù)無關的問題.類比定點問題，這類題型主要也有兩種，一種是證明結論為定值，另一種是探究在某條件或結論下是否存在某定值.由于定值問題需要在變中找不變，因而這類題目對考生而言具有一定的難度.對于該類問題，可以從以下三個方面進行歸納總結.

21?先猜后證（特殊化）

先猜后證即是從特殊情形入手，找到定值，再證明該值與變量無關.該方法適用于求定值的問題，可將求解問題轉化為證明問題，從而幫助學生求解此類問題.

例4（2016年全國Ⅰ卷理科第20題）設圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A，直線l過點B1，0且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點，過點B作AC的平行線交AD于點E.

（1）證明EA+EB為定值，并寫出點E的軌跡方程;

（2）設點E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M，N兩點，過點B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.

分析?第（1）問是對定值問題的探求，由題可知直線l與x軸不重合，故將題目特殊化，設直線過點B且與x軸垂直，利用數(shù)形結合及平面幾何的知識易得該情形下EA+EB的值，已知EA+EB為定值，故猜想該值即為所求定值.猜出定值后不僅為該題的證明提供了方向，同時也可以檢驗計算結果是否正確.

解析?（1）因為AD=AC，EB//AC，故∠DBE=∠ACD=∠ADC.

所以EB=ED.

所以EA+EB=EA+ED=AD.

又因為圓的標準方程為x+12+y2=16，

所以AD=4.即EA+EB=4.

由題設A-1，0，B1，0，AB=2，由橢圓定義可得點E的軌跡方程為x24+y23=1y≠0.

（2）略.

2.2?直接推理計算

類比定點問題，當題目不適用先猜后證或其他方法時，我們可以使用一般方法對題目進行求解.根據(jù)題目條件，通過幾何關系或代數(shù)式的轉化，在計算的過程中消去變量，直接得到定值.

例5?（2019年全國Ⅱ卷理科第21題）已知點A（-2，0），B2，0，動點Mx，y滿足直線AM與BM的斜率之積為-12.記動點M的軌跡為曲線C.

（1）求C的方程，并說明C是什么曲線;

（2）過坐標原點的直線交C于P，Q兩點，點P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為點E，連接QE并延長交C于點G.

①證明：△PQG是直角三角形;

②求△PQG面積的最大值.

分析?第（2）問需證明△PQG是直角三角形，可以將問題轉化為定值證明問題，即證明kPQ·kPG為定值-1，因此只能通過題目所給的條件，直接推理計算得以證明.在證明△PQG是直角三角形的基礎上，通過平面幾何知識和代數(shù)知識易得△PQG面積的最大值.

解析?（1）C的方程為x24+y22=1x≠2，所以曲線C是焦點在x軸上不含長軸端點的橢圓.

（2）①設直線PQ的方程為y=kxk>0，聯(lián)立y=kx，x24+y22=1，解得x=±2 2k2+1.

令u=2 2k2+1，則Pu，uk，Q-u，-uk，E（u，0），故直線GQ的斜率為k2，方程為y=k2x-u.

聯(lián)立y=k2x-u，x24+y22=1.

得k2+2x2-2uk2x+u2k2-8=0

因為△>0，x1+x2=2uk2k2+2，又點E，G在直線上，設GxG，yG，則xG=u3k2+2k2+2，yG=uk3k2+2.

由點P，G可得直線PG的斜率為-1k，所以PQ⊥PG.即△PQG是直角三角形.

②略.

23?運用重要推論

推論4[4]?過圓錐曲線上的任意一點P（x0，y0）作斜率和為0的兩條直線交圓錐曲線于A，B兩點，則kAB為定值.

推論5?設點A，B是橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）上關于原點對稱的兩點，點P是該橢圓上不同于A，B兩點的任意一點，直線PA，PB的斜率分別是k1，k2，則k1·k2=-b2a2.

設點A，B是雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0，a≠b）上關于原點對稱的兩點，點P是該雙曲線上不同于A，B兩點的任意一點，直線PA，PB的斜率分別是k1，k2，則k1·k2=b2a2.

推論6?過圓錐曲線的焦點F的直線（斜率存在）交圓錐曲線于P，Q兩點，PQ的中垂線交x軸于點M，則MFPQ=e2，e為圓錐曲線的離心率[5].

推論7?過圓錐曲線的焦點F的直線交圓錐曲線于A，B兩點，過點A，B分別作較近準線l的垂線AA1，BB1，垂足分別為點A1，B1，設準線l與焦點所在軸交于點P，M為PF中點，則（1）AA1與BB1過點M;（2）1AF+1BF為定值[6].

參考文獻：

[1]田彥武，徐艷芳.圓錐曲線的弦對定點張直角的一組性質[J].中學數(shù)學雜志，2006（09）：31-32.

[2]趙楓.圓錐曲線中的切點弦相關定理[J].福建中學數(shù)學，2014（12）：4-5.

[3]謝錦輝.解析幾何中的定點與定值問題[J].中學數(shù)學教學參考，2019（Z1）：118-122.

[4]姜文.一類圓錐曲線定值和定點問題的研究與推廣[J].中學數(shù)學研究，2016（11）：25-28.

[5]李新橋.圓錐曲線中的幾個定值定點問題[J].中學數(shù)學，2018（15）：59-60.

[6]周浩.淺談一種模型在圓錐曲線定點定值問題中的應用[J].中學數(shù)學，2011（07）：29-30.

（收稿日期：2019-09-21）