非自治動力系統(tǒng)的D-拉回漸近緊性

韓英豪, 常譯方, 崔曉旭，傅 雪

(遼寧師范大學 數(shù)學學院，遼寧 大連 116029)

拉回吸引子是隨著參數(shù)變化而變化的緊集族，它能夠一致地“拉回”吸引任意有界集合，并沿著系統(tǒng)的軌跡不變．此概念是理解非自治動力系統(tǒng)長時間動力行為的一個恰當而有力的工具．T. Caraballo，G．ukaszewicz和J．Real[1]提出了所謂D-拉回吸引子的概念．D-拉回吸引子的特點是不再吸引所有有界集，而是吸引所給定的隨著參數(shù)而變化的一類集族．這一概念是一般拉回吸引子概念的推廣和提升，一般拉回吸引子是D-拉回吸引子的特殊情況．D-拉回吸引子的概念更適用于對具體問題的分析．然而，對于這類吸引子，需要改進相應(yīng)的緊性的概念．因而人們給出了拉回漸近緊的概念，并給出了相應(yīng)的證明方法．G．ukaszewicz和W. Sadowski[2]利用能量方程對非自治動力系統(tǒng)引進了一致漸近緊的概念，并利用此概念證明了Magneto-Micropolar方程的一致吸引子的存在性．此后，T. Caraballo等[3]把此方法改變成適合于拉回漸近緊的形式．然而，這種緊性一般不適用于無界區(qū)域的拋物型和有界區(qū)域的雙曲型方程．對這些情況通常采用分解方程或采用函數(shù)等幾種方法．對于拉回吸引子，C．Y.Sun，Y．H．Wang等[4-5]利用收縮函數(shù)來證明了非自治動力過程的拉回漸近緊性．作者利用此方法證明了具有臨界增長率的波動方程的拉回吸引子的存在性．

然而，對于D-拉回吸引子來說迄今為止證明漸近緊性的方法并不多．本文基于上述結(jié)果提出了“D-拉回漸近緊”的概念，給出了D-拉回漸近緊的等價條件，并利用收縮函數(shù)給出了D-拉回漸近緊判定定理．

1 非自治動力系統(tǒng)及其相關(guān)概念

首先,介紹非自治動力系統(tǒng)相關(guān)概念及預(yù)備知識．關(guān)于非自治動力系統(tǒng)的相關(guān)概念有眾多不同版本，本文主要參考文獻[3]和[6-7]．

設(shè)Q是一個非空集合,θ={θt}t∈是Q上的一個映射族，若滿足下列性質(zhì)：

(1)θ0(q)=q, ?q∈Q;

(2)θt+τ(q)=θt(θτ(q)), ?t,τ∈,

則稱θ為Q上的一個參數(shù)動力系統(tǒng)．

令(X,d)為一個完備的度量空間．如果映射φ：+×Q×X→X滿足如下條件：

(1)φ(0,q,x)=x, ?(q,x)∈Q×X;

(2)φ(t+s,q,x)=φ(s,θt(q),φ(t,q,x))?s,t∈+,(q,x)∈Q×X;

(3)映射φ(t,q,·)：X→X是連續(xù)的，?(t,q)∈+×Q，

則稱映射φ為在X上由參數(shù)空間Q上的參數(shù)動力系統(tǒng)θ驅(qū)動的上循環(huán)．

用D來記一類X的一些非空集族構(gòu)成的集合：

D={D={Dq?X∶Dq≠?,q∈Q}}．

定義1設(shè)X中給定一類有界的集族D．集族B={Bq}q∈Q稱為φ的一個D-拉回吸收集，如果對任意q∈Q和X的任意D={Dq}q∈Q?D,存在t0=t0(q,D)>0，使得

φ(t,θ-t(q),Dθ-t(q))?Bq,?t≥t0.

定義2設(shè)φ為在X上由參數(shù)空間Q上的參數(shù)動力系統(tǒng)θ驅(qū)動的上循環(huán)，D在X上是有界的．在X上的一族非空緊集A={Aq}q∈Q稱為φ的一個D-拉回(或上循環(huán))吸引子，如果對任意q∈Q，滿足

(1)φ(t,q,Aq)=Aθt(q),?t∈+(稱φ-不變)，

對任意ε>0，集合D?X的ε-開鄰域定義為

Nε(D)={x∈X：d(x，D)<ε}．

2 D-拉回漸近緊性判定定理

首先,給出D-拉回漸近緊性的概念;然后,利用D-拉回漸近緊性給出D-拉回吸引子存在性的充分條件;最后，利用收縮函數(shù)給出一個上循環(huán)是D-拉回漸近緊的充分條件．

定義4設(shè)φ為在X上由參數(shù)空間Q上的參數(shù)動力系統(tǒng)θ驅(qū)動的上循環(huán)，D在(X，d)上是有界的．那么上循環(huán)φ稱為在D={Dq}q∈Q?D上是拉回漸近緊的，如果對任意q∈Q，以及任意序列(xn,tn)n∈,xn∈Dθ-tn(q),tn→∞，序列φ(tn,θ-tn(q),xn)在X中存在收斂子序列．如果對任意D={Dq}q∈Q?D上φ是拉回漸近緊的，則稱φ是D-拉回漸近緊的．

定理1設(shè)φ為在X上由參數(shù)空間Q上的參數(shù)動力系統(tǒng)θ驅(qū)動的上循環(huán)，D為有界，并關(guān)于鄰域是封閉的．假設(shè)有界族B={Bq}q∈Q∈D是φ的D-拉回吸收集，且φ在B上是拉回漸近緊的，則φ存在唯一D-拉回吸引子A={Aq}q∈Q∈D，這個吸引子就是B關(guān)于φ的ω-拉回極限集:

證文獻[8]中證明了當φ具有有界拉回吸收集，并D-拉回漸近緊的時候φ具有拉回吸引子．因而只需證明，當φ在B上拉回漸近緊的時候φ是D-拉回漸近緊的．

假設(shè)D={Dq}q∈Q?D,對給定的q∈Q,(xn,tn)n∈,xn∈Dθ-tn(q),tn→∞.由于B是D-拉回吸收集，B∈D，因而存在t′1>0，滿足

φ(t,θ-t(q),Bθ-t(q))?Bq,?t≥t′1.

又由于B是D-拉回吸收集，D={Dq}q∈Q∈D,因而存在t″1>0，有

φ(t,θ-t(q),Dθ-t(θ-t′1(q)))?Bθ-t′1(q),?t≥t″1.

令B1=Bθ-t′1(q),n1=min{i:ti≥t′1+t″1,i=1,2,…},tn1=min{ti:ti≥t′1+t″1,i=1,2,…},y1=φ(tn1-t′1,θ-(tn1)(q),xn1).則y1∈B1,φ(t′1,θ-t′1(q),y1)∈Bq.

利用歸納法，假設(shè)Bi,ni,t′i,t″i以及yi已經(jīng)有定義．如同上述證明，存在t′i+1>t′i，使得

φ(t,θ-t(θ-t′i(q)),Bθ-t(θ-t′i(q)))?Bi=Bθ-t′i(q),?t≥t′i+1-t′i，

以及存在t″i+1>0，使得

φ(t,θ-t(θ-t′i+1(q)),Dθ-t(θ-t′i+1(q)))?Bθ-t′i+1(q),?t≥t″i+1.

令Bi+1=Bθ-t′i+1(q),ni+1=min{j:tj≥t′i+1+t″i+1,j=ni+1,ni+2,…},tni+1=min{tj:tj≥t′i+1+t″i+1,j≥ni+1},以及yi+1=φ(tni+1-t′i+1,θ-tni+1(q),xni+1).則

yi∈Bi=Bθ-t′i(q),φ(t′i,θ-t′i(q),yi)=φ(tni,θ-tni(q),xni)∈Bq,i=1,2,…

由于φ在B上為拉回漸近緊的，因而存在子序列{yik}k∈?{yi}i∈,使得φ(t′ik,θ-t′ik,yik)∈Bq收斂．因而，序列{xnik}k∈?{xi}i∈,得使φ(tnik，θ-tnik(q),xnik)∈Bq收斂．

下面給出驗證上循環(huán)φ是D-拉回漸近緊的一種方法，為此需要給出以下概念(參見文獻[4])．

定義5設(shè)X是一個Banach空間，φ為在X上由參數(shù)空間Q上的參數(shù)動力系統(tǒng)θ驅(qū)動的上循環(huán)，B?X為一個有界集合，在B×B上的一個函數(shù)Ψ(·，·)稱為收縮的，如果對任意序列{xn}n∈?B，存在子序列{xnk}k∈?{xn}n∈，使得

定理2設(shè)X是一個Banach空間，φ為在X上由參數(shù)空間Q上的參數(shù)動力系統(tǒng)θ驅(qū)動的上循環(huán)，D為一些有界非空集族構(gòu)成的集合．B={Bq}q∈Q∈D為φ的一個D-拉回吸收集．假設(shè)對任意ε>0,q∈Q,t0>0，存在t=t(ε，B,q,t0)≥t0和一個定義在Bθ-t(q)×Bθ-t(q)上的收縮函數(shù)Ψt,q,B(·，·)，使得

‖φ(t,θ-t(q),x)-φ(t,θ-t(q),y)‖X≤ε+Ψt,q,B(x,y) ?x,y∈Bθ-t(q),

其中,Ψt,q,B依賴于t,q,B．那么φ在X中是D-拉回漸近緊的．

證設(shè)給定任意q∈Q,任意序列{tn}n∈,tn→+∞和一個序列xn∈Bθ-tn(q)，將證明序列{φ(tn,θ-tn(q),xn)}n∈有一個收斂子列．

首先，由于B={Bq}q∈Q為φ的一個D-拉回吸收集，B∈D，因而存在t′0>0，當t≥t′0時,

φ(t,θ-t(q),Bθ-t(q))?Bq.

(1)

其次，給定一個序列{εi:εi>0,i∈},滿足：由假設(shè)，對εi，存在t″i=t″i(εi,B,t′0)≥t′0和一個定義在Bθ-t″i(q)×Bθ-t″i(q)上的收縮函數(shù)Ψt″i,q(·,·),使得

(2)

φ(t-t″i,θ-(t-t″i)(θ-t″i(q)),Bθ-(t-t″i)(θ-t″i(q)))?Bθ-t″i(q).

因而，當tn≥t′i時，

φ(tn-t″i,θ-(tn-t″i)(θ-t″i(q)),xn)∈Bθ-t″i(q).

對給定的i，對任意滿足tn≥t′i的n∈，記

yn=φ(tn-t″i,θ-(tn-t″i)(θ-t″i(q)),xn)∈Bθ-t″i(q).

則有yn∈Bθ-t″i(q),由式(1),有φ(tn,θ-tn(q),xn)=φ(t″i,θ-t″i(q),yn)∈Bq,因而根據(jù)式(2)有

(3)

對任意n，m∈i：={n∈：tn≥t′i}．由于Ψt″1,q是在Bθ-t″1(q)上的收縮函數(shù)，因而序列,yn∈Bθ-t″1(q)}存在一個子列以及N′1>0，使得

從而,對任意k1,k2≥N′1,存在k(1,2)>0,使得tnk(1,2)≥t′1，而且

(4)

結(jié)合式(3)與式(4)，對任意k1,k2≥N′1,有