基于混沌序列的量子圖像加密方案

盧愛平，李盼池

(東北石油大學計算機與信息技術(shù)學院，黑龍江 大慶 163318)

0 引 言

隨著多媒體信息技術(shù)的快速發(fā)展，使得信息安全問題的妥善解決越來越迫切。圖像加密是多媒體傳輸中常用的安全策略之一，其在經(jīng)典的數(shù)字圖像處理中已經(jīng)取得相對豐碩的成果[1-8]。然而作為新興交叉學科的量子圖像處理才剛剛起步，量子圖像加密比較經(jīng)典圖像加密，還很不成熟。量子圖像處理的研究開始于量子圖像描述。目前，量子圖像描述尚未形成統(tǒng)一的定義。從量子圖像描述的發(fā)展歷程看，主要有如下幾種：量子比特陣列模型[9]、量子糾纏序列模型[10]、基于量子比特概率幅的描述模型(FRQI)[11-14]、基于量子比特基態(tài)的描述模型(NEQR)[15-17]，與此同時，文獻[18]提出了一種音頻信號描述方法。目前NEQR是應(yīng)用最為廣泛，也是本文將要采用的描述模型。

量子圖像加密和隱寫[19-20]是量子圖像處理的重要分支之一，目前對其的研究最為活躍并已取得相對豐碩的研究成果。例如基于量子圖像幾何變換的加密方案[21-22]、基于量子比特隨機旋轉(zhuǎn)的彩色圖像加密方案[23]。上述方法都是采用量子比特的概率幅編碼顏色值，理論上需要執(zhí)行無窮多次測量才能得到精確的原始圖像。因此實際應(yīng)用時必然存在模型誤差?；诹孔颖忍鼗鶓B(tài)編碼顏色值的NEQR模型[15]將像素灰度值直接存入量子比特基態(tài)中，有效彌補了這一缺陷。

本文基于NEQR描述量子彩色圖像，采用24個量子比特描述像素的顏色值，基于3種混沌序列和受控旋轉(zhuǎn)分別提出對應(yīng)的加密方案。在經(jīng)典計算機上的仿真結(jié)果表明，加密后的直方圖呈現(xiàn)均勻分布，且解密效果對密鑰敏感，因此該方法具有較好的抗攻擊能力。

1 量子圖像的NEQR描述

對于1幅2n×2n的灰度圖像，其NEQR可寫為下式：

(1)

(2)

2 混沌序列

混沌序列是加密方案中經(jīng)常采用的策略之一?；煦缑菜齐S機但有精致的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，其特點是對局部空間有較好的遍歷性和對初值的高度依賴性。本文采用以下3種混沌序列用于量子圖像的加密。

2.1 chebyshev映射

chebyshev映射的定義如下:

x(n+1)=f[x(n)]=cos {ωarccos[x(n)]}

(3)

其中，整數(shù)ω為模型的階數(shù)，只有當ω≥2時，模型呈現(xiàn)混沌序列，其值-1

2.2 logistic映射

logistic映射是研究動力系統(tǒng)、混沌、分形等復(fù)雜系統(tǒng)行為的一個經(jīng)典模型，最初應(yīng)用于統(tǒng)計一定地域內(nèi)的昆蟲數(shù)目，因此也稱蟲口模型，具體如式(4)：

x(n+1)=μx(n)(1-x(n))

(4)

其中，μ是混沌吸引子，當μ=4時，系統(tǒng)進入混沌狀態(tài)，產(chǎn)生混沌變量x(n),n=1, 2, 3, …，其值在區(qū)間(0, 1)內(nèi)。若取0.5為閾值，可以得到取值為{-1, 1}的混沌序列。

2.3 tent映射

tent映射的數(shù)學解析式為分段線性函數(shù)，其形狀類似帳篷。它是一個二維混沌映射，廣泛運用在混沌加密系統(tǒng)中，在混沌擴頻碼的產(chǎn)生、混沌加密系統(tǒng)構(gòu)造和混沌優(yōu)化算法的實現(xiàn)中也經(jīng)常使用。tent映射的定義如下：

(5)

tent映射在其參數(shù)范圍內(nèi)是一個混沌映射，并且具有均勻的分布函數(shù)和良好的相關(guān)性。若取0.5為閾值，可以得到取值為{-1, 1}的混沌序列。

以n=256,ω=20,μ=4,a=0.3,x(0)=0.32為例，3種混沌映射序列如圖1所示。

圖1 長度為256的3種混沌序列

3 彩色圖像的量子加密方案

對于三基色顏色值范圍{0,1, … , 255}的彩色圖像，根據(jù)NEQR描述，R、G、B三通道共需24個量子比特描述。若圖像的大小為2n×2n，則NEQR模型共需要24+2n個量子比特。

3.1 彩色圖像的NEQR描述

首先，準備24+2n個初態(tài)為|0〉的量子比特|0〉?24+2n。令像素P(Y,X)的三基色顏色值為：

(6)

NEQR圖像的制備可分為2個步驟：1)在初態(tài)|0〉?24+2n上采用算子I?24?H?2n，將2n個位置比特從|0〉?2n轉(zhuǎn)換到均衡疊加態(tài)；2)采用受控非門將24個顏色比特從|0〉?24轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的基態(tài)。此時NEQR圖像如式(7)所示：

(7)

3.2 彩色圖像的量子加密

設(shè)圖像的大小為2n×2n，首先采用前面介紹的3種混沌映射分別產(chǎn)生取值于{-1, 1}且長度為24×22n的隨機序列：Scheb、Slogi、Stent，進而按下式定義旋轉(zhuǎn)角度：

(8)

單比特量子旋轉(zhuǎn)門的定義為：

(9)

(10)

整幅圖像的旋轉(zhuǎn)算子可由22n個子算子RYX組成。

(11)

3.3 加密圖像的安全性

如下2點保證了本文加密圖像的安全性：

1)加密圖像中三通道顏色值各種取值的像素數(shù)近似相等。

在對圖像實施旋轉(zhuǎn)加密后，三通道的顏色比特處于24個比特的均衡疊加態(tài)，測量得到經(jīng)典圖像后，整幅圖像呈現(xiàn)為一幅均勻分布的隨機白噪聲圖像，所有灰度級取值的概率近似相等，像素直方圖近似均勻分布。

2)解密效果對密鑰的敏感性強。

該方案的密鑰為混沌序列的初值。由混沌序列特性可知，其序列取值對處置的依賴性極其敏感，只要初值產(chǎn)生極其微小的波動，整個序列的取值就將面目全非。當混沌序列用于圖像加密時，除非密鑰被精確破解，否則即使有極其微小的誤差，也會導致破解失敗。因此該性質(zhì)有效提升了本文提出的加密方案的安全性。

3.4 彩色圖像的量子解密

在量子計算中，所有算子都是酉算子，所謂酉算子就是指該算子與其共軛轉(zhuǎn)置的乘積等于單位矩陣。因此，其自身的共軛轉(zhuǎn)置就是逆算子。由于量子計算都是可逆計算，所以在加密圖像上采用加密算子的共軛轉(zhuǎn)置即可實現(xiàn)解密。下面給出解密方案的具體實施過程。

首先，接收者采用從發(fā)送者獲得的密鑰，構(gòu)造旋轉(zhuǎn)角度進而構(gòu)造如下旋轉(zhuǎn)矩陣：

(12)

(13)

(14)

其中R+表示R的共軛轉(zhuǎn)置。具體的解密過程可描述為|I〉decryption=R|I〉encryption。

3.5 量子圖像到經(jīng)典圖像的轉(zhuǎn)換

要將量子圖像轉(zhuǎn)換為經(jīng)典圖像，唯一的方法是測量，然而這會導致量子系統(tǒng)的坍縮，從而每次測量只能得到一個像素的顏色信息。由于顏色信息存儲于基態(tài)中，盡管測量所得像素的位置具有隨機性，然而顏色值卻具有確定性。此點正是NEQR模型的長處。首先準備足夠多(盡管大量，卻是有限的)相同圖像，并對每幅圖像實施測量，所有像素的位置和顏色信息一定能夠全部獲得。該方法不但可行而且也是國內(nèi)外該領(lǐng)域研究者普遍采用的方法。

3.6 復(fù)雜度分析

從本文加密方案可知，加密需要逐個像素執(zhí)行(具體使每個顏色比特旋轉(zhuǎn))，這一過程與NEQR圖像制備過程的第2步(逐個像素賦值)是很相似的，區(qū)別僅在于，NEQR圖像的制備過程的第2步采用多比特受控非門[15]，而本文加密方案采用多比特受控旋轉(zhuǎn)門。由于單比特旋轉(zhuǎn)門和二比特受控非門都是量子計算中的基本門，因此，本文加密方案的計算復(fù)雜度與NEQR圖像制備過程第2步的計算復(fù)雜度相同，具體為O(qn22n)。解密方案的復(fù)雜度與加密方案相同。

4 經(jīng)典計算機上的仿真

在經(jīng)典計算機上，盡管無法驗證量子計算的并行性，然而可以驗證量子加密方案的執(zhí)行效果。實驗中采用了4幅512×512的彩色圖像，具體如圖2所示。

(a) Basin

(b) Woman

(c) Mandrill

(d) Lena

4.1 加密效果

3種混沌序列的長度為n=512×512×24，相關(guān)參數(shù)為ω=20,μ=4,a=0.3，初值均取0.32。采用本文提出的3種混沌加密方案加密后，加密效果如圖3所示。對加密圖像實施解密，解密效果與圖2中的原始圖像完全相同，不再重復(fù)列出。根據(jù)圖3，加密圖像不再包含原始圖像的任何信息，完全呈現(xiàn)為均勻分布的噪聲。由此可知，本文提出的加密方案具有較好的安全性。

(a) chebyshev混沌加密

(b) logistic混沌加密

(c) tent混沌加密圖3 4幅加密圖像

4.2 密鑰的敏感性分析

密鑰敏感性是描述加密方案安全性的重要指標之一。密鑰敏感性越強，則抗攻擊能力就越強。本文首先給出密鑰敏感性的定義。設(shè)正確密鑰為key，攻擊者猜測的密鑰是key′，若只有當|key-key′|<ε時，加密圖像才有可能被破解，否則加密圖像是安全的，則稱加密方案的密鑰敏感性為ε。對3種混沌序列初值(密鑰)分別施加隨機擾動(擾動幅度分別為10-1,10-2,…,10-15)，然后根據(jù)混沌序列構(gòu)造旋轉(zhuǎn)角度，實施解密。實驗結(jié)果表明，對于3種混沌序列chebyshev、logistic、tent，當擾動幅度減小至ε分別為10-15、10-13、10-14時，加密方案仍然是安全的，解密效果與圖3完全相同。再進一步減小，才會呈現(xiàn)出原圖像的輪廓。因此，3種加密方案的密鑰敏感性ε分別為10-15、10-13、10-14。

衡量加密方案安全性的另一個標準是密鑰空間的大小。ε越小，密鑰就越不易被破解，加密圖像就越安全。所以，1/ε可以看作是密鑰空間。因此，本文提出的3種加密方案的密鑰空間分別為1015、1013、1014，足以抵御蠻力攻擊。

為定量評價密鑰敏感性，首先給出峰值信噪比的定義。

(15)

其中I(i,j,k)和I′(i,j,k)分別為原始圖像和解密后的圖像。

表1給出了對密鑰施加微小擾動后，解密后4幅圖像的峰值信噪比。

表1 施加微小密鑰擾動下解密圖像的PSNR

圖像chebyshev(10-15)logistic(10-13)tent(10-14)加密解密加密解密加密解密圖2(a)7.62867.62757.63267.63677.63217.6003圖2(b)7.06537.05197.06007.06297.06547.0062圖2(c)8.77298.76988.78318.78718.76798.9476圖2(d)8.61908.61588.61298.61708.61398.7557

從表1可知，對密鑰施加微小擾動后，解密前后的PSNR幾乎沒有變化。只有2個密鑰(加密密鑰和解密密鑰)完全相同時，原始圖像才能得以精確恢復(fù)。由于本文提出的3種加密方案均有足夠大的密鑰空間，因此，若事先不能獲取高度精確的密鑰，就不可能得到正確的原始圖像。

4.3 相鄰像素的相關(guān)性分析

加密圖像中，相鄰像素的相關(guān)性越小，加密方案越理想。所以相鄰像素的相關(guān)性也是評價加密效果優(yōu)劣的重要指標。本文采用的相關(guān)系數(shù)，具體定義如下：

(16)

其中，D(x)、D(y)和E(x)、E(y)分別為彩色圖像顏色值的方差和均值。

為定量考察在不同方向上相鄰像素的相關(guān)性，對于每幅圖像，分別在水平、豎直、對角3個方向上隨機選取N對相鄰像素，然后按式(16)計算3個方向上的相關(guān)系數(shù)。為驗證本文加密方案的優(yōu)勢，本文將與文獻[22,24]中提出的量子圖像時頻域混沌加密方案對比。對比結(jié)果如表2～表4所示。

在表2～表4中，Iori表示原始圖像，Ienc表示采用本文方案加密的圖像，I[24]、I[22]分別表示采用文獻[24]方案和文獻[22]方案加密的圖像。實驗中N的具體取值為10000。

根據(jù)表2和表3，對于加密圖像的相鄰像素相關(guān)性，本文方案對圖2(a)、圖2(c)有最小值(表中用粗體表示，下同)，而文獻[24]方案對圖2(b)、圖2(d)有最小值；根據(jù)表4，本文方案對于圖2(a)、圖2(b)的相關(guān)性有最小值，而文獻[22]方案對于圖2(c)、圖2(d)有最小值。盡管如此，3種方案的相關(guān)性在數(shù)值上很接近，其差別并不明顯。這表明本文提出的加密方案達到了相關(guān)文獻提出方案的效果。與文獻[22]和文獻[24]比較，本文方案的易操作性是其主要優(yōu)點。

為進一步展示原始圖像和加密圖像相鄰像素相關(guān)性的差異，以圖2圖像的chebyshev混沌加密(圖3(a))為例，相鄰像素R、G、B顏色值分布如圖4～圖6所示，每圖中上面3個屬于原始圖像，中間3個屬于加密圖像，下面3個屬于密鑰施加幅度10-15微小擾動后的解密圖像。

表2 chebyshev加密方案相鄰像素的相關(guān)性

圖像方案水平相關(guān)豎直相關(guān)對角相關(guān)RRRGRBRRRGRBRRRGRB絕對值平均圖2(a)Iori0.99820.99150.98990.98270.95470.96620.98200.94930.95980.9749Ienc-0.0070-0.00720.00930.0011-0.0004-0.01030.01040.0034-0.00890.0065I[24]0.0049-0.0032-0.0121-0.0141-0.00300.00530.0046-0.0044-0.02080.0081I[22]-0.0097-0.0227-0.00740.0132-0.00340.0042-0.00920.0037-0.00700.0090圖2(b)Iori0.97030.95330.95710.96550.93730.93450.95030.91790.91590.9447Ienc0.0066-0.0128-0.0002-0.00100.0048-0.00610.01750.01160.00740.0076I[24]0.01640.01520.00450.0017-0.0252-0.0024-0.0053-0.00800.00470.0093I[22]0.01100.0216-0.0041-0.0057-0.00090.00200.0106-0.00930.00060.0073圖2(c)Iori0.88160.77780.88550.92350.86080.90420.87010.74660.84250.8547Ienc0.00570.00090.0022-0.0018-0.01080.0165-0.00340.00080.01880.0068I[24]0.01650.0106-0.00920.00780.00170.00390.00400.0130-0.00400.0078I[22]-0.00820.00120.0026-0.00660.0048-0.00050.0153-0.00770.03460.0090圖2(d)Iori0.99060.98370.95580.98340.97390.93730.97480.96210.92480.9652Ienc-0.00320.0056-0.0075-0.0002-0.00840.00890.00820.00750.00920.0065I[24]-0.00540.01080.0080-0.0007-0.0239-0.0039-0.01470.0093-0.00090.0086I[22]-0.0009-0.0002-0.0105-0.0143-0.0068-0.01220.0014-0.00310.00780.0063

表3 logistic加密方案相鄰像素的相關(guān)性

圖像方案水平相關(guān)豎直相關(guān)對角相關(guān)RRRGRBRRRGRBRRRGRB絕對值平均圖2(a)Iori0.99870.99220.98890.99630.99220.98790.99560.98650.98040.9910Ienc-0.00090.00440.01760.0071-0.0018-0.00440.0071-0.0065-0.00550.0061I[24]0.0049-0.0032-0.0121-0.0141-0.00300.00530.0046-0.0044-0.02080.0081I[22]-0.0097-0.0227-0.00740.0132-0.00340.0042-0.00920.0037-0.00700.0090圖2(b)Iori0.85290.86530.84240.96640.94060.93780.83380.83550.81060.8761Ienc-0.02120.00430.0105-0.00440.00090.01520.00150.00750.00150.0074I[24]0.01640.01520.00450.0017-0.0252-0.0024-0.0053-0.00800.00470.0093I[22]0.01100.0216-0.0041-0.0057-0.00090.00200.0106-0.00930.00060.0073圖2(c)Iori0.88490.78200.88370.92880.86530.89850.87150.74300.83450.8547Ienc0.00200.00170.0131-0.0017-0.0032-0.00240.02710.00430.01250.0075I[24]0.01650.0106-0.00920.00780.00170.00390.00400.0130-0.00400.0078I[22]-0.00820.00120.0026-0.00660.0048-0.00050.0153-0.00770.03460.0090圖2(d)Iori0.98980.98140.95450.98010.96740.92720.97210.95500.91320.9601Ienc0.00150.0085-0.0079-0.00090.0096-0.0142-0.00740.0061-0.00920.0073I[24]-0.00540.01080.0080-0.0007-0.0239-0.0039-0.01470.0093-0.00090.0086I[22]-0.0009-0.0002-0.0105-0.0143-0.0068-0.01220.0014-0.00310.00780.0063

表4 tent加密方案相鄰像素的相關(guān)性

圖像方案水平相關(guān)豎直相關(guān)對角相關(guān)RRRGRBRRRGRBRRRGRB絕對值平均圖2(a)Iori0.99840.99040.98760.98630.95430.97220.98580.94870.96440.9765Ienc0.00400.00140.02100.01360.01240.00440.0010-0.0080-0.00240.0076I[24]0.0049-0.0032-0.0121-0.0141-0.00300.00530.0046-0.0044-0.02080.0081I[22]-0.0097-0.0227-0.00740.0132-0.00340.0042-0.00920.0037-0.00700.0090圖2(b)Iori0.97210.95070.95450.96180.91900.92330.94670.90030.90430.9370Ienc-0.00300.00040.00400.0026-0.00520.0178-0.00320.00830.00170.0051I[24]0.01640.01520.00450.0017-0.0252-0.0024-0.0053-0.00800.00470.0093I[22]0.01100.0216-0.0041-0.0057-0.00090.00200.0106-0.00930.00060.0073圖2(c)Iori0.89320.78100.88500.92740.85640.90080.88330.74900.84510.8579Ienc-0.00540.0079-0.0157-0.00590.00310.00750.00910.0093-0.01860.0092I[24]0.01650.0106-0.00920.00780.00170.00390.00400.0130-0.00400.0078I[22]-0.00820.00120.0026-0.00660.0048-0.00050.0153-0.00770.03460.0090圖2(d)Iori0.98770.98070.95370.98190.97090.93450.96890.95260.91170.9603Ienc-0.00440.00350.0237-0.0044-0.0032-0.0160-0.00140.00350.01100.0079I[24]-0.0009-0.0002-0.0105-0.0143-0.0068-0.01220.0014-0.00310.00780.0063I[22]-0.00540.01080.0080-0.0007-0.0239-0.0039-0.01470.0093-0.00090.0086

圖4～圖6展示的結(jié)果表明，對于本文提出的基于混度序列的加密方案，加密后圖像中的相鄰像素之間在水平、豎直、對角3個方向上幾乎不具有任何相關(guān)性，完全呈現(xiàn)為一幅像素值隨機分布的噪聲圖像。

圖4 相鄰像素對于紅色的相關(guān)性

圖5 相鄰像素對于綠色的相關(guān)性

圖6 相鄰像素對于藍色的相關(guān)性

4.4 直方圖測試

直方圖反映圖像中不同灰度級像素數(shù)的分布特性。顯然直方圖分布越均勻，越能抵御蠻力攻擊。以圖2圖像為例，對于原始圖像和加密圖像(圖3)，R、G、B三通道直方圖如圖7所示。其中上面3個屬于原始圖像，中間3個屬于加密圖像，下面3個屬于密鑰施加幅度10-15微小擾動后的解密圖像。

圖7 原始圖像和加密圖像三基色直方圖對比

根據(jù)圖7展示的結(jié)果，采用本文提出的混沌加密方案，可使加密后的三基色直方圖呈現(xiàn)均勻分布，不給基于直方圖的蠻力攻擊者提供任何信息，從而使加密方案更加安全。

5 結(jié)束語

本文提出了基于混沌序列的量子彩色圖像加密方案，方法簡單直觀，物理概念清楚。分別考察了3種混沌序列的加密效果，結(jié)果表明3種方案的加密性能非常接近，實際應(yīng)用時可以任選其一。經(jīng)典計算機上的仿真結(jié)果驗證了加密方案的有效性。該方法的密鑰為混沌序列的相關(guān)參數(shù)和初值，密鑰非常簡單，但敏感性極強，從而保證了加密方案的安全性。