約束條件對(duì)最優(yōu)化問(wèn)題的影響

張立國(guó)

【摘要】本文結(jié)合兩個(gè)經(jīng)濟(jì)學(xué)實(shí)例說(shuō)明約束條件對(duì)最優(yōu)化問(wèn)題的影響，分析約束條件使目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)選擇出現(xiàn)偏差的原因，并給出具體的解決方法.

【關(guān)鍵詞】約束條件;可行域;目標(biāo)函數(shù)

在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，最常見(jiàn)的選擇標(biāo)準(zhǔn)是最大化目標(biāo)（如廠商利潤(rùn)最大化、消費(fèi)者效用最大化等）或最小化目標(biāo)（如在給定產(chǎn)出下使成本最小化等），這些追求目標(biāo)函數(shù)的最大化問(wèn)題和最小化問(wèn)題統(tǒng)稱最優(yōu)化問(wèn)題.當(dāng)目標(biāo)函數(shù)受到條件約束時(shí)，最優(yōu)化問(wèn)題就成了條件極值問(wèn)題.

由于約束條件的影響，容易造成目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)選擇出現(xiàn)偏差，因而需要深入研究和解析產(chǎn)生偏差的原因.有些學(xué)者也做過(guò)這方面的討論，但不夠徹底.本文以兩類常見(jiàn)經(jīng)濟(jì)學(xué)案例為引例，說(shuō)明約束條件對(duì)最優(yōu)化問(wèn)題的影響，分析約束條件使目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)選擇出現(xiàn)偏差的原因，并給出具體的解決方法.

一、引例與解法錯(cuò)誤

例1 設(shè)某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，當(dāng)產(chǎn)量分別為x，y（單位：千件）時(shí)，其利潤(rùn)函數(shù)為L(zhǎng)（x，y）=6x-x2+16y-4y2-2（單位：萬(wàn)元）.

已知生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品時(shí)，每千件產(chǎn)品各需消耗原料2000 kg，現(xiàn)有該原料12000 kg，問(wèn)：兩種產(chǎn)品各生產(chǎn)多少千件時(shí)，總利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少？

解 約束條件2000x+2000y=12000，即x+y=6.因此，問(wèn)題是在x+y=6的條件下，求利潤(rùn)函數(shù)L（x，y）的最大值.把x+y=6變形為y=6-x，代入L（x，y），得F（x）=-5x2+38x-50.對(duì)變量x求導(dǎo)并令其為零，得F′（x）=-10x+38=0，解得x=3.8，y=2.2.

F″（x）=-10<0，因此當(dāng)x=3.8時(shí)，F(xiàn)（x）有極大值，且F（3.8）=22.2（萬(wàn)元）.因?yàn)橹挥幸粋€(gè)駐點(diǎn)（3.8，2.2），且實(shí)際問(wèn)題的最大值是存在的，所以駐點(diǎn)（3.8，2.2）是L（x，y）的最大值點(diǎn)，最大值為L(zhǎng)（3.8，2.2）=22.2（萬(wàn)元）.

注：事實(shí)上，當(dāng)x=3，y=2時(shí)，L（3，2）=23（萬(wàn)元），即不需消耗所有原料儲(chǔ)量，產(chǎn)值已經(jīng)超過(guò)22.2萬(wàn)元.此題解法的錯(cuò)誤在于把不等式（平面區(qū)域）約束條件看成等式（直線）約束條件，導(dǎo)致結(jié)果出現(xiàn)偏差.

例2 某公司兩個(gè)工廠生產(chǎn)同樣的產(chǎn)品，所需的成本不同：A工廠生產(chǎn)x單位產(chǎn)品與B工廠生產(chǎn)y單位產(chǎn)品時(shí)的總成本為C（x，y）=x2+2y2+5xy+700.

若公司的生產(chǎn)任務(wù)是500個(gè)單位產(chǎn)品，問(wèn)：如何分配任務(wù)才能使總成本最??？

解 約束條件為x+y=500，因此，問(wèn)題是在x+y=500的條件下求總成本函數(shù)C（x，y）的最小值.把x+y=500變形為y=500-x，代入C（x，y），得F（x）=-2x2+500x+500700.

對(duì)變量x求導(dǎo)并令其為零，得F′（x）=-4x+500=0，解得x=125，則y=375.此時(shí)總成本為531950.

注：不難驗(yàn)證（125，375）是目標(biāo)函數(shù)的最小值點(diǎn)，但遺漏了最小值點(diǎn)（500，0）.此題解法的錯(cuò)誤是沒(méi)有考慮直線可行域的邊界點(diǎn).

二、理論分析

通過(guò)例1與例2的求解不難發(fā)現(xiàn)，這屬于條件極值的漏解問(wèn)題.漏解問(wèn)題是復(fù)雜的，它不僅與求解方法的不嚴(yán)謹(jǐn)性有關(guān)，與約束條件的復(fù)雜性也有著密切的關(guān)聯(lián).由于理論依據(jù)與適用范圍的限制，導(dǎo)致代入法與拉格朗日乘數(shù)法只適用部分條件極值問(wèn)題的求解.因而當(dāng)約束條件達(dá)不到求解方法的要求時(shí)，條件極值就會(huì)出現(xiàn)漏解現(xiàn)象.

1.約束條件確定了目標(biāo)函數(shù)的可行域

條件極值就是目標(biāo)函數(shù)f（x，y）在約束條件φ（x，y）確立的可行域上的極值.若可行域是有界閉區(qū)域，且目標(biāo)函數(shù)f（x，y）在可行域上連續(xù)，那么目標(biāo)函數(shù)f（x，y）在可行域上必定取得最大值和最小值.其中最值點(diǎn)既可能在可行域的內(nèi)部，也可能在可行域的邊界上.在可行域內(nèi)部，f（x，y）的所有駐點(diǎn)與偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)均可能成為目標(biāo)函數(shù)的最值點(diǎn).而例1和例2的錯(cuò)誤就是考慮問(wèn)題片面造成的.

2.約束條件決定條件極值的解法

求解條件極值的常用方法有兩種，即拉格朗日乘數(shù)法和代入法.現(xiàn)有的大部分高等數(shù)學(xué)教材都把這兩種方法列為重點(diǎn)，以例題的方式詳細(xì)介紹如何利用這兩種方法，卻對(duì)理論依據(jù)和適用范圍避而不談.其實(shí)，它們的理論依據(jù)和適用范圍都與約束條件φ（x，y）有著密切的關(guān)系.

（1）利用代入法求解條件極值

代入法是從約束條件的m個(gè)方程中將其中m個(gè)變量解出，用其余（n-m）個(gè)變量表示，然后直接代入目標(biāo)函數(shù)中，這樣就變?yōu)橐粋€(gè)求（n-m）個(gè)變量函數(shù)的無(wú)條件極值問(wèn)題，因而約束條件顯化是使用代入法的前提條件，否則，使用代入法就會(huì)出現(xiàn)漏解情況.

例3 求原點(diǎn)到曲線x2-（y-1）3=0的最短距離.

解1 目標(biāo)函數(shù)：z=x2+y2，約束條件：φ（x，y）=x2-（y-1）3=0.

將約束條件變形為x2=（y-1）3，代入目標(biāo)函數(shù)，得z=（y-1）3+y2.對(duì)y求導(dǎo)且令其為零，得 z′=3（y-1）2+2y=3y2-4y+3=0.由于判別式Δ<0，此一元二次函數(shù)無(wú)實(shí)數(shù)解.

解2 將約束條件變形為y=1+x2[]3，代入目標(biāo)函數(shù)，得z=x2+（1+x2[]3）2.對(duì)x求導(dǎo)，得 z′=2x+4[]3（1+x2[]3）x-1[]3，無(wú)穩(wěn)定點(diǎn)，不可導(dǎo)點(diǎn)x=0.根據(jù)一元函數(shù)取得極值的第一充分條件可知，（0，1）為所求最小值點(diǎn).

上述兩種解法都采用了代入法，通過(guò)代入實(shí)現(xiàn)消元降維，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的無(wú)條件極值問(wèn)題，但結(jié)果卻不同，這說(shuō)明使用代入法求解條件極值是有條件的.從代數(shù)的角度可以看出，當(dāng)約束條件φ（x，y）變形為單值函數(shù)時(shí)結(jié)果正確，而變?yōu)槎嘀岛瘮?shù)時(shí)結(jié)果卻錯(cuò)誤，這說(shuō)明條件極值的漏解現(xiàn)象與約束條件φ（x，y）是否顯化有關(guān).

① 當(dāng)約束條件φ（x，y）=0可以顯化時(shí)，代入法可以把條件極值等價(jià)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的極值問(wèn)題，而一元函數(shù)的極值點(diǎn)只有駐點(diǎn)與不可導(dǎo)點(diǎn)兩類，故不會(huì)產(chǎn)生漏解的情況.

② 若約束條件φ（x，y）=0不能顯化時(shí)，約束曲線φ（x，y）=0上的點(diǎn)與其在坐標(biāo)軸上的投影點(diǎn)之間是多對(duì)一的映射.如果極值點(diǎn)鄰域內(nèi)的點(diǎn)出現(xiàn)投影折疊時(shí)，極值點(diǎn)的投影或與非極值點(diǎn)的投影重合，或?yàn)閰^(qū)間端點(diǎn)，它們都不是z=f[x，y（x）]在定義域內(nèi)的極值點(diǎn)，此時(shí)使用代入法會(huì)遺漏條件極值點(diǎn).

例4 求函數(shù)f（x，y）=x2+y2在星形線x2[]3+y2[]3=a2[]3上的最值與對(duì)應(yīng)的最值點(diǎn).

解 目標(biāo)函數(shù)：f（x，y）=x2+y2，約束條件：φ（x，y）=x2[]3+y2[]3-a2[]3=0.

根據(jù)對(duì)稱性，只討論y>0的情形：

將約束條件變形為y 2=（a2[]3- x2[]3）3，代入目標(biāo)函數(shù)，得F（x）=x2+（a2[]3-x2[]3）3.

對(duì)x求導(dǎo)，得 F′（x）=2x-2（a2[]3-x2[]3）2x-1[]3，得駐點(diǎn)x=±2a[]4.F（x）不可導(dǎo)點(diǎn)x=0.

經(jīng)比較，最大值F（0）=a2，最小值F±2a[]4=a2[]4，因此f（x，y）的最大值與最小值分別為a2，a2[]4.

由于f（x，y）與φ（x，y）具有對(duì)稱性，因此最小值點(diǎn)為

2a[]4，2a[]4，- 2a[]4，2a[]4，2a[]4，- 2a[]4，- 2a[]4，- 2a[]4;

最大值點(diǎn)為（0，a），（0，-a），（a，0），（-a，0）.

注：將約束條件φ（x，y）分為x軸上、下兩部分，利用對(duì)稱性解決問(wèn)題.

結(jié)合本例可以看出，利用代入法求解條件極值問(wèn)題時(shí)，應(yīng)全面考慮約束條件的具體狀況，才能避免出現(xiàn)漏解現(xiàn)象.

（2）利用拉格朗日乘數(shù)法求解條件極值

設(shè)函數(shù)f（x，y），φ（x，y）在點(diǎn)P（x0，y0）的某鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，φ（x0，y0）=0.若[φx（x0，y0）]2+[φy（x0，y0）]2≠0時(shí)，可用拉格朗日乘數(shù)法求解.這里要求約束條件φ（x，y）滿足隱函數(shù)存在定理，而且是不可或缺的.當(dāng)[φx（x0，y0）]2+[φy（x0，y0）]2=0時(shí)，使用拉格朗日乘數(shù)法就會(huì)出現(xiàn)漏解情況.

例5 利用拉格朗日乘數(shù)法求解例3.

解 目標(biāo)函數(shù)：z=x2+y2，約束條件：φ（x，y）=x2-（y-1）3=0.

構(gòu)造拉格朗日函數(shù)F（x，y，SymbollA@）=x2+y2+SymbollA@[x2-（y-1）3].

對(duì)各變量求偏導(dǎo)并令其為零，得

Fx（x，y，λ）=2x+2λx=0，F(xiàn)y（x，y，λ）=2y-3λ（y-1）2=0，F(xiàn)λ（x，y，λ）=x2-（y-1）3=0，

方程組無(wú)解，遺漏條件極值點(diǎn)（0，1）.

例5的求解采用拉格朗日乘數(shù)法，這是不依賴消元而直接使用的方法.它將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二元函數(shù)的無(wú)條件極值，但結(jié)果卻無(wú)解，這說(shuō)明拉格朗日乘數(shù)法求條件極值是有使用條件的.而例5的漏解是因?yàn)榧s束條件φ（x，y）在極值點(diǎn)（0，1）不滿足隱函數(shù)存在定理的條件造成的，這與拉格朗日乘數(shù)法的使用要求相吻合.因而解決由拉格朗日乘數(shù)法造成的漏解問(wèn)題必須圍繞約束條件φ（x，y）是否滿足隱函數(shù)存在定理展開討論.

① 若約束條件φ（x，y）滿足隱函數(shù)存在定理，即[φx（x0，y0）]2+[φy（x0，y0）]2≠0時(shí)，條件極值可以用拉格朗日乘數(shù)法求解，在理論上不會(huì)漏解.拉格朗日乘數(shù)法將條件極值等價(jià)轉(zhuǎn)化為輔助函數(shù)F（x，y，SymbollA@）的無(wú)條件極值問(wèn)題.而二元函數(shù)的駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，因此拉格朗日乘數(shù)法求得結(jié)果只是可能的極值點(diǎn)，而且必定含有所有極值點(diǎn).

② 若約束條件φ（x，y）不滿足隱函數(shù)存在定理時(shí)，拉格朗日乘數(shù)法就不再適合作為求解條件極值的方法.如果繼續(xù)使用此方法，可能出現(xiàn)漏解情況，而且遺漏的可能極值點(diǎn)就是φ（x，y） 的駐點(diǎn)或偏導(dǎo)數(shù)不全存在的點(diǎn).

例6 利用拉格朗日乘數(shù)法解例4.

解 目標(biāo)函數(shù)：f（x，y）=x2+y2，約束條件：φ（x，y）=x2[]3+y2[]3-a2[]3=0.

構(gòu)造拉格朗日函數(shù)F（x，y，SymbollA@）=x2+y2+SymbollA@（x2[]3+y2[]3-a2[]3）.

對(duì)各變量求偏導(dǎo)并令其為零，得

Fx（x，y，λ）=2x+23λx- 1[]3=0，F(xiàn)y（x，y，λ）=2y+23λy- 1[]3=0，F(xiàn)λ（x，y，λ）=x2[]3+y2[]3-a2[]3=0，

解得拉格朗日函數(shù)的駐點(diǎn)：2a[]4，2a[]4，-2a[]4，2a[]4，2a[]4，-2a[]4，-2a[]4，-2a[]4.

遺漏條件極值點(diǎn)：（0，a），（0，-a），（a，0），（-a，0）.結(jié)果與例4相同.

注：① 約束條件φ（x，y）在遺漏條件極值點(diǎn)（0，a）的偏導(dǎo)數(shù)不存在，其余遺漏條件極值點(diǎn)情況類似.

② 拉格朗日函數(shù)的駐點(diǎn)與約束條件φ（x，y）偏導(dǎo)數(shù)不全存在的點(diǎn)是目標(biāo)函數(shù)f（x，y）的可能條件極值點(diǎn).

綜上所述，條件極值的極值點(diǎn)或是約束條件φ（x，y）的駐點(diǎn)、φ（x，y）偏導(dǎo)數(shù)不全存在的點(diǎn)，或是拉格朗日函數(shù)的駐點(diǎn).不過(guò)由于約束條件的限制，使用拉格朗日乘數(shù)法時(shí)，前兩種可能極值點(diǎn)經(jīng)常被遺漏，因此為避免漏解問(wèn)題，需要補(bǔ)充考察這兩類點(diǎn).

三、解決問(wèn)題

條件極值處理最優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，應(yīng)當(dāng)考慮可行域上的所有可能極值點(diǎn)，才能避免出現(xiàn)漏解現(xiàn)象，因而條件極值處理最優(yōu)化問(wèn)題的解題過(guò)程如下.

首先，找出約束條件φ（x，y）確定的可行域.

其次，找出可行域內(nèi)可能的最值點(diǎn)：

① 找到φ（x，y）的所有偏導(dǎo)數(shù)不全存在的點(diǎn)：{（xi，yi）|φx（xi，yi），φy（xi，yi）不存在，i=1，2，…，n}.

② 找到φ（x，y）的駐點(diǎn)：{（xi，yi）|[φx（xi，yi）]2+[φy（xi，yi）]2=0，i=1，2，…，n }.

③ 找到φ（x，y）的邊界點(diǎn)：{（xi，yi）|φ（x，y）=0，i=1，2，…，n }.

④ 找到所有拉格朗日駐點(diǎn)：{（xi，yi）| i=1，2，…，n }.

最后，比較上述所有點(diǎn)處的函數(shù)值，取滿足題目要求的條件極值.

約束條件不僅決定目標(biāo)函數(shù)的可行域，還影響著條件極值的解法.在最優(yōu)化問(wèn)題上，需要謹(jǐn)慎處理約束條件，否則會(huì)使最優(yōu)選擇出現(xiàn)偏差，因此，正確理解和分析約束條件是至關(guān)重要的.

【參考文獻(xiàn)】

張麗，張藝玲，朱德剛.條件極值問(wèn)題中約束條件的一個(gè)注記[J].高等數(shù)學(xué)研究，2018，21（2）：30-31.