應(yīng)用力系簡(jiǎn)化原理求解分布力向任意一點(diǎn)簡(jiǎn)化問題的研究

董 茹，王小東

(1.榆林學(xué)院 建筑工程學(xué)院，陜西 榆林 719000;2.榆林學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，陜西 榆林 719000)

課程《工程力學(xué)》幾乎是全國(guó)高校工程類專業(yè)必須開始的專業(yè)基礎(chǔ)課，本人在教授本課程的同時(shí)，參考了大量的工程力學(xué)、材料力學(xué)等教材，對(duì)課本中的知識(shí)進(jìn)行了深入的研究，力求提高教學(xué)能力，能讓學(xué)生更好的理解一些難點(diǎn)或者復(fù)雜問題[1-2]。工程力學(xué)的所有教材中對(duì)于分布力等效于集中在分布長(zhǎng)度中點(diǎn)的一個(gè)集中力這一問題，都是簡(jiǎn)單的一筆帶過，學(xué)生也將其作為一個(gè)記憶性的知識(shí)點(diǎn)，就是單純的記住。也未有文獻(xiàn)對(duì)這一問題進(jìn)行研究和說明。經(jīng)過研究和思考，本文將提出將分布力等效于一個(gè)平行力系，利用高等數(shù)學(xué)微積分方法依托工程力學(xué)課程力系簡(jiǎn)化原理解決分布力向任意一心簡(jiǎn)化的復(fù)雜力學(xué)問題的思路，研究結(jié)果對(duì)于工程力學(xué)中分布力簡(jiǎn)化的問題具有很好的補(bǔ)充和解釋。

1 《工程力學(xué)》課程的重要性

《工程力學(xué)》課程的理論性高、實(shí)踐性強(qiáng)，是一門重要的工科專業(yè)基礎(chǔ)課[3]。榆林學(xué)院作為培養(yǎng)應(yīng)用型人才的本科院校[4]，開設(shè)工程力學(xué)課程的工科專業(yè)有建筑工程學(xué)院土木工程專業(yè)、給排水科學(xué)與工程專業(yè)等4個(gè)專業(yè)、生命科學(xué)學(xué)院水土保持、設(shè)施農(nóng)業(yè)2個(gè)專業(yè)，還有能源工程學(xué)院的幾個(gè)專業(yè)將近有數(shù)十個(gè)專業(yè)。工程力學(xué)課程作為所有工科專業(yè)必須開設(shè)的一門專業(yè)基礎(chǔ)課，其重要性顯而易見[5]。工程力學(xué)與建筑、石油化工、航天航空等很多領(lǐng)域的工程密切相關(guān)，包含的內(nèi)容是很廣泛的，不僅要培養(yǎng)學(xué)生扎實(shí)的基礎(chǔ)理論知識(shí)，而且要培養(yǎng)學(xué)生的全面素質(zhì)和創(chuàng)造能力[6-7]；工程力學(xué)教育不僅可以培養(yǎng)學(xué)生的力學(xué)素質(zhì)，而且可以加強(qiáng)學(xué)生的工程概念，對(duì)于學(xué)生向其他學(xué)科或其他工程領(lǐng)域擴(kuò)展是很有利的[8]。

在全國(guó)高校都在進(jìn)行工程類專業(yè)工程教育認(rèn)證的新形勢(shì)下，創(chuàng)新人才培養(yǎng)模式、深入推進(jìn)本科教育教學(xué)改革，深入開展工程教育專業(yè)認(rèn)證勢(shì)在必行[1]。工程教育認(rèn)證中要求學(xué)生具有解決復(fù)雜問題的能力[2]，工程力學(xué)課程作為工科專業(yè)重要的專業(yè)基礎(chǔ)課，在課堂教學(xué)中教師就要培養(yǎng)學(xué)生這方面能力的提升。因此在課程教學(xué)內(nèi)容改革中也應(yīng)考慮如何培養(yǎng)學(xué)生解決復(fù)雜問題的能力，本文以工程力學(xué)課程中分布力的簡(jiǎn)化這一復(fù)雜問題為研究對(duì)象，引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)思考，運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決復(fù)雜工程問題，最終利用高等數(shù)學(xué)微積分原理解決分布力向任意一點(diǎn)簡(jiǎn)化的復(fù)雜力學(xué)問題，期望能夠達(dá)到工程教育專業(yè)認(rèn)證要求，能夠培養(yǎng)學(xué)生解決復(fù)雜工程問題的能力。

2 力系簡(jiǎn)化在工程力學(xué)課程中的重要性

力系簡(jiǎn)化是工程力學(xué)課程中非常重要的一部分內(nèi)容，起到承前啟后的作用。力系簡(jiǎn)化對(duì)靜力學(xué)中靜力學(xué)平衡方程的推導(dǎo)得出，以及材料力學(xué)中簡(jiǎn)化連續(xù)分布的內(nèi)力系最終的得到6個(gè)內(nèi)力分量[9]等問題都起到至關(guān)重要的作用?？梢哉f，沒有力系簡(jiǎn)化原理，工程力學(xué)中的很多問題都難以解決。所以，在課堂教授過程中，一定要讓學(xué)生能夠深刻的理解力系簡(jiǎn)化的過程、及簡(jiǎn)化的結(jié)果，同時(shí)要培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用力系簡(jiǎn)化原理解決一些簡(jiǎn)單的甚至是復(fù)雜的力學(xué)問題以及實(shí)際工程問題的能力，學(xué)以致用。以下為課堂教學(xué)中此部分內(nèi)容的教學(xué)改革的介紹，即應(yīng)用力系簡(jiǎn)化原理求解分布力向任意一點(diǎn)簡(jiǎn)化的復(fù)雜問題。

3 應(yīng)用力系簡(jiǎn)化原理求解分布力向任意一點(diǎn)簡(jiǎn)化的復(fù)雜問題

3.1 力系簡(jiǎn)化原理

3.1.1 力系簡(jiǎn)化的概念

所謂力系簡(jiǎn)化，就是將有若干個(gè)力和力偶所組成的力系，變成一個(gè)力或一個(gè)力偶，或一個(gè)力與一個(gè)力偶的簡(jiǎn)單而等效的情形。如圖1所示，即將力F1、F2、F3、F4、F5以及力偶M向O點(diǎn)簡(jiǎn)化得到一個(gè)力FR和一個(gè)力偶M。

圖1 平面力系簡(jiǎn)化

3.1.2 力系簡(jiǎn)化的基礎(chǔ)是力向一點(diǎn)平移定理

作用在剛體上力的F，可以平移到其上任一點(diǎn)，但必須同時(shí)附加一力偶，力偶矩等于力對(duì)平移點(diǎn)之矩。如圖2所示，將力F由作用點(diǎn)A平移至作用點(diǎn)B，但必須附加一個(gè)力偶，附加的力偶等于力F對(duì)B點(diǎn)之矩。在求證力向一點(diǎn)平移定理時(shí)用到了加減平衡力系原理。

圖2 力向一點(diǎn)平移

3.1.3 力系簡(jiǎn)化的結(jié)果

由力向一點(diǎn)平移定理，可以將平面力系向作用面內(nèi)任意一點(diǎn)簡(jiǎn)化，一般情形下，得到一個(gè)力和一個(gè)力偶。所得力的作用線通過簡(jiǎn)化中心，這一力稱為力系的主矢，它等于力系中所有力的矢量和；所得力偶仍作用于原平面內(nèi)，其力偶矩稱為原力系對(duì)于簡(jiǎn)化中心的主矩，數(shù)值等于力系中所有力對(duì)簡(jiǎn)化中心之矩的代數(shù)和。平面力系簡(jiǎn)化過程及結(jié)果如圖3所示。

圖3 平面力系簡(jiǎn)化過程及結(jié)果

3.2 應(yīng)用力系簡(jiǎn)化原理求解分布力向任意一點(diǎn)簡(jiǎn)化的復(fù)雜問題

3.2.1 分布力的概念

如圖4所示，橋面對(duì)橋梁的作用，接觸面積比較大，力在整個(gè)接觸面上分布作用，這時(shí)的作用力稱為分布力，通常用單位長(zhǎng)度的力表示沿長(zhǎng)度方向上的分布力的強(qiáng)弱程度，稱為載荷集度，用記號(hào)q表示，單位為N/m。

圖4 分布力示意

3.2.2 分布力簡(jiǎn)化的關(guān)鍵難點(diǎn)問題

如圖4所示的均布荷載，可以理解為作用在L長(zhǎng)度上均勻分布著大小為q的力，q的大小為箭頭長(zhǎng)度、方向向下，作用點(diǎn)為L(zhǎng)長(zhǎng)度上的每一點(diǎn)，也可以理解為L(zhǎng)長(zhǎng)度上均勻分布的大小為q的無數(shù)個(gè)平行力系。因此，分布力簡(jiǎn)化的問題實(shí)則就是平行力系簡(jiǎn)化的問題，就是將無數(shù)個(gè)平行力所組成的平行力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化的問題，也就是將無數(shù)個(gè)平行力向一點(diǎn)平移的問題。那么這里面有兩個(gè)非常重要的難點(diǎn)問題就是：其一是向哪一點(diǎn)去簡(jiǎn)化的問題，其二是如何解決無數(shù)個(gè)力平移的問題。如果能將這兩個(gè)關(guān)鍵問題解決，那么分布力的簡(jiǎn)化問題就迎刃而解了。

3.2.3 應(yīng)用高等數(shù)學(xué)積分的思路求解分布力簡(jiǎn)化的問題

針對(duì)以上提出的兩個(gè)關(guān)鍵問題，采用數(shù)學(xué)微積分的方法解決無數(shù)個(gè)力平移的問題，同時(shí)，為了不將問題特殊化，將分布力向作用長(zhǎng)度上的任意一點(diǎn)去簡(jiǎn)化，提高了問題的復(fù)雜性，力求所得結(jié)論的通用性。

如圖5，建立數(shù)學(xué)模型：以分布力作用長(zhǎng)度左端為坐標(biāo)原點(diǎn)，以分布力作用長(zhǎng)度所在直線為x軸，以分布力作用線所在方向?yàn)閥軸方向。

分布力中無數(shù)個(gè)平行力q向L長(zhǎng)度上任意一點(diǎn)C簡(jiǎn)化，定義C點(diǎn)距離坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為a，如下圖5所示：

圖5 建立數(shù)學(xué)模型

應(yīng)用力向一點(diǎn)平移原理，將無數(shù)個(gè)大小為q的平行力向C點(diǎn)平移，同時(shí)附加無數(shù)個(gè)力偶，附加的力偶等于q對(duì)C點(diǎn)取矩。由于C點(diǎn)兩側(cè)的力向C平移時(shí)附加的力偶的轉(zhuǎn)向不同，因此將L長(zhǎng)度上作用的無數(shù)個(gè)q分成C點(diǎn)左側(cè)(0≤x≤a)和C點(diǎn)右側(cè)(a≤x≤L)兩部分，最終簡(jiǎn)化的結(jié)果主矢為FR, 主矩為MC,，應(yīng)用高等數(shù)學(xué)微積分的思路列式計(jì)算主矢和主矩分別為式(1)和式(2)。

(1)

(2)

對(duì)上述結(jié)果進(jìn)行討論得出：分布力向任意一點(diǎn)簡(jiǎn)化的結(jié)果為：

可以看出，將分布力向作用長(zhǎng)度的中點(diǎn)簡(jiǎn)化，所得結(jié)果只有主矢，沒有主矩。這也就是課本中所說的分布力可以與作用在中點(diǎn)的集中力等效的原因。

4 總結(jié)

本文以《工程力學(xué)》課程中分布力等效于一個(gè)集中力這個(gè)課本中結(jié)論性的記憶知識(shí)點(diǎn)為研究，應(yīng)用力系簡(jiǎn)化原理及高等數(shù)學(xué)微積分的方法求解分布力向任意一點(diǎn)簡(jiǎn)化的復(fù)雜問題，得出分布力向任意一點(diǎn)簡(jiǎn)化后的主矢和主矩的計(jì)算公式，并對(duì)所得公式討論，最終解決了一個(gè)看似簡(jiǎn)單實(shí)則復(fù)雜的一類問題。在課堂中，這樣講解分布力簡(jiǎn)化的問題之后，發(fā)現(xiàn)學(xué)生表現(xiàn)出了極大的興趣和探索精神，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)積極性，也得到了良好的教學(xué)效果，也達(dá)到了達(dá)到工程教育專業(yè)認(rèn)證對(duì)培養(yǎng)學(xué)生解決復(fù)雜工程問題的能力的要求。