雙曲導(dǎo)數(shù)的Schwarz-Pick不等式的一個(gè)推論

李曉焱

(榆林學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，陜西 榆林 719000)

Schwarz引理在單復(fù)變函數(shù)論中的重要理論,被人們熟知并廣泛應(yīng)用。從幾何觀點(diǎn)來(lái)看，它主要闡述對(duì)于任意的解析變換(滿足)，當(dāng)它把單位圓變換到一個(gè)單位圓內(nèi)的區(qū)域上時(shí)，圓內(nèi)任意非零點(diǎn)矩坐標(biāo)原點(diǎn)的距離沒(méi)有它的像距坐標(biāo)原點(diǎn)的距離近，如果某一點(diǎn)的像和該點(diǎn)離坐標(biāo)原點(diǎn)距離相同，則這個(gè)區(qū)域是單位圓，變換只是旋轉(zhuǎn)而已。1881年，Poincaré,J.H引入單位圓盤的非歐度量后，得出在單位圓解析自同構(gòu)映射下，Poincaré度量是不變的。1916年，Pick,G.A在此基礎(chǔ)上進(jìn)行推廣，將Schwarz引理重述為在非歐度量下，每一個(gè)單位圓盤到它自身的解析映射是距離逐減的映射，即任意兩點(diǎn)的像點(diǎn)間的Poincaré度量小于等于這兩點(diǎn)的Poincaré度量。

Schwarz-Pick不等式主要探討解析函數(shù)的局部性質(zhì)，同樣也是研究解析函數(shù)的主要問(wèn)題。因此，眾多數(shù)學(xué)學(xué)者在此方面進(jìn)行了大量分析研究并推導(dǎo)。

1 Schwarz-Pick引理[1]及相關(guān)定理

(1)Poincaré度量

在單位圓盤D內(nèi)，對(duì)于∶?z∈D，有

稱這個(gè)度量為單位圓盤上的Poincaré度量,或是雙曲度量。在這個(gè)度量下,稱

為D內(nèi)一條可求長(zhǎng)弧y的非歐弧長(zhǎng)。

在單位圓盤D∈復(fù)平面C上,兩點(diǎn)間的雙曲度量d為

在文獻(xiàn)2中，已證明在單位圓解析自同構(gòu)映射下，Poincaré度量是不變的。任意可求長(zhǎng)的曲線的Poincaré度量與其像的Poincaré度量都是相同的。因此，在單位圓內(nèi)，連接任意兩點(diǎn)的最短線是一條圓弧，它所在的圓周與單位圓周垂直，這條弧的非歐長(zhǎng)度就是兩點(diǎn)間的非歐距離。

設(shè)?Z1，Z2∈D,則z1,z2間的Poincaré距離為

在Poincaré度量下，這兩點(diǎn)的距離可定義為連接這兩點(diǎn)的曲線弧長(zhǎng)的下確界。

對(duì)于上述命題，首先可證明z=0到z=r(0

設(shè)r是連接0到r的一條曲線，則

若f是分式線性變換，且保持單位圓不變，把z1變?yōu)?，z2映在正實(shí)軸上，取

要使f(z2)>0，選取適當(dāng)使其滿足。設(shè)r=f(z2)，那么z1和z2間的Poincaré距離為

Pick,G.A將Schwarz引理進(jìn)行改述并推廣,設(shè)f∶D→D是解析的，則對(duì)?z1，z2，有

由此可知，單位圓到其自身的解析映射使得兩點(diǎn)間的非歐距離和弧的非歐長(zhǎng)度減少。

若式取z=0，后式z1=Z和Z2=0,就是Schwarz引理的結(jié)論。上述結(jié)論即為Schwarz-Pick不等式。

(2)Schwarz-Pick不等式

若f是單位圓盤D內(nèi)的一個(gè)解析函數(shù),且有f(D)?D,設(shè)d(*·*)表示單位圓盤內(nèi)任意兩點(diǎn)間的Poincaré距離,則

d(f(x1)，f(x2))≤d(x1，x2)，?x1，x2∈D

當(dāng)且僅當(dāng)f∈AutD時(shí)取等號(hào),上式被稱為Schwarz-Pick不等式。

這一引理旨在說(shuō)明任意解析函數(shù)在雙曲度量下是不增的，僅僅是一個(gè)收縮。于是,Peter.R.Mercer[3]在1997年給出雙曲導(dǎo)數(shù)的Schwarz-Pick不等式的加強(qiáng)定理。

(3)雙曲導(dǎo)數(shù)[3]

設(shè)f(z)是雙曲度量下的解析函數(shù),在單位圓盤D內(nèi)賦予雙曲度量

那么在點(diǎn)z處,f(z)的雙曲導(dǎo)數(shù)f*(z)是

(4)Schwarz-Pick不等式的相關(guān)定理

由此可知,兩個(gè)雙曲導(dǎo)數(shù)間的雙曲度量是可測(cè)的。所以Beardon建立了有關(guān)雙曲度量下導(dǎo)數(shù)的Schwarz-Pick不等式，即得以下定理。

定理1[4]若在單位圓盤D內(nèi),f∶D→D是解析函數(shù)，但未必是D上的共形自同構(gòu)，且有f(0)=0,則

d(f*(0),f*(z))≤2d(0,z)

?z∈D,等號(hào)成立的條件是f(z)=z2。

苑文法在此基礎(chǔ)上,對(duì)前式作改進(jìn),得出在雙曲度量下得導(dǎo)數(shù)更強(qiáng)的Schwarz-Pick不等式，即下述定理2。

定理2[5]若在單位圓D盤內(nèi),f∶D→D是解析函數(shù),但不是D上的共形自同構(gòu)，且有

f(0)=0,z∈D，

則

d(f*(0),f*(z))≤2d(0,z)-2B0,

其中

這里A0即為上述所定義.?z∈D,當(dāng)f(z)=Z2時(shí),等號(hào)成立。

定理3[6]若在單位圓盤D內(nèi),f∶D→D是解析函數(shù),但不是D上的共形自同構(gòu),且有f(0)=0,z∈D,則d(f*(0).f*(z))≤2d(0,z)-3B0

這里B0和A0亦是上述所定義的.?z∈D,當(dāng)f(z)=z2時(shí),等號(hào)成立。

2 雙曲導(dǎo)數(shù)的Schwarz-Pick不等式的推論

從以上定理可看出，在雙曲度量下，導(dǎo)數(shù)的Schwarz-Pick不等式是動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離,自然而然,我們會(huì)想到是否可以將這一不等式進(jìn)行推廣呢,于是得到以下推論。

推論 若在單位盤D內(nèi),f∶D→D是解析函數(shù),但不是D上的共形自同構(gòu),且f(0)=0,z1,z2∈D,

則

d(f*(z1),f*(z2))≤2[d(0,z1)+d(0,z2)],

其中

是雙曲導(dǎo)數(shù)。

證明：由定理2 有

d(f*(0),f*(z1))≤2d(0,z1)-2B0,

d(f*(0),f*(z2))≤2d(0,z2)-2B0,

以上兩式相加,如上定義,可得到

d(f*(z1),f*(z2))≤d(f*(0),f*(z1))+d(f*(0),f*(z2))≤2[d(0,z1)+d(0,z2)]證畢。

3結(jié)語(yǔ)

綜上所述，在非歐度量下，Pick將Schwarz引理重述為任一個(gè)單位圓盤到自身的解析映射是逐減的映射。并給出了Schwarz-Pick引理的積分形式和微分形式，說(shuō)明在非歐度量下，弧長(zhǎng)在單位圓盤到它自身的解析映射也是逐漸的映射。再對(duì)Schwarz-Pick不等式作進(jìn)一步研究，得到雙曲度量下導(dǎo)數(shù)的Schwarz-Pick不等式。而關(guān)于這一不等式，多數(shù)是研究動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的,本文推導(dǎo)出兩動(dòng)點(diǎn)之間的Schwarz-Pick不等式自然具有一定的理論意義和普遍性。